基于數(shù)學(xué)史的高中概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)案例綜述

楊新常

G633.6

一、數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)教學(xué)的相關(guān)研究綜述

張國定（2007）設(shè)計(jì)了海倫公式，正弦定理，勾股定理，二次方程求解問題，“數(shù)學(xué)歸納法”五個(gè)結(jié)合數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例。以課前三分鐘“數(shù)學(xué)史話”的方式教學(xué)，將案例進(jìn)行課堂教學(xué)檢驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)這種方式提高了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，成績也有顯著變化。由此得出了提出問題-引導(dǎo)閱讀（課外）-討論交流-教師的概括與提升-進(jìn)一步的閱讀的教學(xué)模式。

雷曉莉（2008）設(shè)計(jì)了變量與函數(shù)，平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算；正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；等差數(shù)列前n項(xiàng)和；圖形的初步認(rèn)識(shí)；一次不定方程、方程組的解決；一元二次方程組的解法（配方法）八個(gè)結(jié)合數(shù)學(xué)史的案例。并將案例在課堂進(jìn)行檢驗(yàn)。研究結(jié)果表明，結(jié)合數(shù)學(xué)史的課堂教學(xué)，加深了教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解和研究，提高了教師對(duì)教育理念的應(yīng)用。

劉興華（2009）從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，結(jié)合問卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)的普遍問題，選定“無理數(shù)”、“勾股定理”、“相似三角形”三部分內(nèi)容，給出不同教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)史料開發(fā)形式；根據(jù)教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)結(jié)構(gòu)體系，給出了數(shù)學(xué)史與教材內(nèi)容重新整合的不同方式；在不同教學(xué)目標(biāo)下，針對(duì)問卷中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史滲入教學(xué)的難點(diǎn)問題，結(jié)合不同授課類型，開發(fā)出三個(gè)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)。從頁展示數(shù)學(xué)史視角下的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)。在三個(gè)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)中，給出數(shù)學(xué)史料在數(shù)學(xué)課堂中三個(gè)滲入形式。由此，體現(xiàn)一定的課堂標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，實(shí)現(xiàn)教材設(shè)置的教學(xué)目標(biāo)。

朱鳳琴，徐伯華（2010）在數(shù)學(xué)教育的整體框架下，綜合考慮數(shù)學(xué)史與教學(xué)要素的關(guān)系，建構(gòu)了許多融入模式，如詮釋學(xué)模式、資源聯(lián)絡(luò)模式、歷史—心理的認(rèn)識(shí)論模式、三面向模式、“ 為何—如何” 模式.這些模式對(duì)于我國的 HPM 本土化建設(shè)有以下多方面的啟示：教師是數(shù)學(xué)史融入的主體；課程目標(biāo)是數(shù)學(xué)史融入的方向；多角度分析是數(shù)學(xué)史融入的關(guān)鍵；數(shù)學(xué)史資源急待開發(fā)；HPM 應(yīng)成為教師教育的重要內(nèi)容。

崔海燕（2011）在“數(shù)學(xué)史選講”部分設(shè)計(jì)了兩個(gè)案例，分別是周髀算進(jìn)與勾股定理，歐拉與高斯，在數(shù)學(xué)必修內(nèi)容中對(duì)函數(shù)概念，等比數(shù)列求和，平面直角坐標(biāo)系中的基本公式進(jìn)行了數(shù)學(xué)史的案例設(shè)計(jì)。這都為結(jié)合數(shù)學(xué)史的課堂教學(xué)提供可用的案例。曹麗莉（2011）細(xì)致研究了數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的滲透方法，該方法分為二個(gè)階段，第一階段：將歷史直接附加于教學(xué)過程，第二階段：融入式應(yīng)用。并為數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一般的模式。

苗蓉（2012）針對(duì)目前缺乏數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例和教師不知道如何應(yīng)用數(shù)學(xué)史編寫教學(xué)案例這一問題，開發(fā)了對(duì)數(shù)及運(yùn)算，橢圓教學(xué)兩個(gè)完整的案例。并將開發(fā)的案例應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，通過調(diào)查訪談法，得到用數(shù)學(xué)史編寫的教案可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度。

王芳（2012）設(shè)計(jì)實(shí)施了兩課時(shí)的數(shù)學(xué)史融入導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，經(jīng)過問卷調(diào)查，訪談后得到融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)模式不僅因其主觀，生動(dòng)為學(xué)生所認(rèn)同喜愛，同時(shí)因其展現(xiàn)的歷史曲折而激發(fā)了學(xué)生的自信與執(zhí)著。

楊海（2012）多維度對(duì)現(xiàn)階段數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的情況與模式進(jìn)行整體分析.對(duì)已有將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行分析，從數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的角度出發(fā)，對(duì)對(duì)數(shù)的概念、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了具體分析。自從HPM成立以來，通過以上文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)教學(xué)的研究隊(duì)伍在不斷壯大。

二、“概率與統(tǒng)計(jì)”融于高中教學(xué)的研究綜述

在國內(nèi)，華東師范大學(xué)的李俊利用SOLO分類法（structure of the observed Learning out coming，即觀察到的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)），從認(rèn)知角度對(duì)中國各個(gè)年齡段的中學(xué)生的概率概念掌握的情況進(jìn)行了調(diào)查，提出了學(xué)生對(duì)概率的認(rèn)識(shí)有五個(gè)水平層次，同時(shí)還就中小學(xué)概率教與學(xué)提出了一些原則性建議。臺(tái)灣蘇慧珍對(duì)“數(shù)學(xué)期望值”這節(jié)內(nèi)容的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)工作單的形式進(jìn)行了教學(xué)。張德然建議：營造應(yīng)用實(shí)踐空間，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題中領(lǐng)悟與發(fā)展隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維，豐富概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際背景；曹學(xué)良，鄭潔將概念圖運(yùn)用到概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，為概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)提供了一種新途徑。近年來，隨著概率進(jìn)入了新課程標(biāo)準(zhǔn)，相應(yīng)的教學(xué)研究也逐步展開。 王敏在其論文《新課程高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的設(shè)置及教學(xué)研究》中提到了課堂教學(xué)應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)模型的建立。曾宏偉（2005）研究了古典概型的數(shù)學(xué)模型，袋中取球，排序，放球入箱等問題的分析方法，并利用這些分析方法解決了一些古典概型的概率計(jì)算問題。郭朋貴（2006）在詳細(xì)介紹了概率概念的基礎(chǔ)上，從概念學(xué)習(xí)的一般形式出發(fā)，分析了概率概念的教學(xué)：概率的統(tǒng)計(jì)定義，古典概型和幾何概型都是屬于概念這一范疇，根據(jù)概念教學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀調(diào)查，建議將游戲和數(shù)學(xué)史實(shí)引入課堂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，淡化復(fù)雜計(jì)算，領(lǐng)悟古典概型，幾何概型的實(shí)質(zhì)。張玲玲（2007）介紹將數(shù)學(xué)建模思想用于概率教學(xué)中。徐傳勝（2009）細(xì)致介紹了作為中國第一本概率論史研究專著的《拉普拉斯概率理論的歷史研究》（王幼軍著）。

徐傳勝，呂建榮（2006）主要介紹了棣莫弗概率思想的發(fā)展過程，系統(tǒng)探討和分析了正態(tài)概率曲線的發(fā)現(xiàn)過程，及棣莫弗概率思想的創(chuàng)新點(diǎn)。賈小勇，徐傳勝，白欣（2006）在《最小二乘法的創(chuàng)立及其思想方法》一文中用歷史考察與數(shù)理分析的方法，探討了勒讓德和高斯對(duì)最小二乘法的兩大歷史發(fā)展過程及其創(chuàng)立者的思想與方法。徐傳勝 對(duì)惠更斯以及他的著作《論賭博中的計(jì)算》這本書進(jìn)行深入研究，細(xì)致闡述了數(shù)學(xué)期望的概念，惠更斯分析法，并嘗試解決了該著作中的5個(gè)問題，也將點(diǎn)數(shù)問題的解決做一歷史梳理，并將帕斯卡，費(fèi)馬，惠更斯的概率思想做了詳細(xì)介紹。

張弛（2006）將概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)生發(fā)展歷史，通過歷史典故，人物簡介等方式滲透教學(xué)中。蘇醒（2008）采用調(diào)查問卷的形式對(duì)“歷史發(fā)生原理”進(jìn)行驗(yàn)證，并在此理論構(gòu)想下設(shè)計(jì)了幾何概型，離散型隨機(jī)變量這兩個(gè)典型案例。張馨心（2011）對(duì)高中古典概型，隨機(jī)現(xiàn)象，數(shù)據(jù)的收集這三個(gè)主題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，介紹了一些案例的歷史背景。

蘇丹（2011）對(duì)古典概型中直接計(jì)算法，轉(zhuǎn)化法，對(duì)稱法，利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算法；這幾種方法結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了討論。魏首柳（2011）通過若干實(shí)例，給出了古典概率中的“骰子問題”的基本事件數(shù)的不同計(jì)算方法，從而得到關(guān)于“骰子問題”的較為全面的古典概率的計(jì)算方法。

張超龍，楊逢喜等（2012）針對(duì)目前一般院校的“概率統(tǒng)計(jì)”課程學(xué)生畏難，教師難把握的現(xiàn)狀，針對(duì)高校課程建議將概率統(tǒng)計(jì)中的歷史典故，著名數(shù)學(xué)家簡介，常用實(shí)例等融入教學(xué)過程中，這種方式不僅能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造力，而且還可以大大提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力以及認(rèn)識(shí)世界的深度和廣度。王文靜（2013）用試驗(yàn)、觀察、類比、歸納、猜想等合情推理的方法分別對(duì)高中概率的概念，公式以及解題三個(gè)方面提出了一些基本的教學(xué)策略。并對(duì)概率中的基本概念進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)并進(jìn)行了教學(xué)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明采用合情推理的方法對(duì)高中概率教學(xué)起到積極的作用。

吳駿（2013）根據(jù)統(tǒng)計(jì)概念發(fā)展的歷史片段，結(jié)合教材內(nèi)容，設(shè)計(jì)了八年級(jí)數(shù)學(xué)教材中平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的數(shù)學(xué)史活動(dòng)，并付諸課堂教學(xué)實(shí)踐，通過此次活動(dòng)后發(fā)現(xiàn)，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)概念的理解，而且兩位實(shí)驗(yàn)教師的統(tǒng)計(jì)知識(shí)也得到了提升，教師專業(yè)成長也更上一層。

綜上可知，越來越多的研究者將重心轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)史素材的發(fā)掘與案例研究，這種研究重心的轉(zhuǎn)移是數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)研究走向深入的必然趨勢(shì)，但與數(shù)學(xué)課程緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想的歷史研究欠缺，阻礙了數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課程案例的開發(fā)，同時(shí)現(xiàn)有的案例研究缺乏對(duì)案例有效性的關(guān)注。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程的有效性歸根到底要經(jīng)過課堂實(shí)踐的檢驗(yàn)。但由于很多原因，課堂實(shí)踐的檢驗(yàn)難度很大。早期概率與統(tǒng)計(jì)只作為學(xué)生的選修內(nèi)容，不在升學(xué)考試之列，故而，造成了教師不教，學(xué)生不學(xué)的情況，概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)沒有得到很好的重視。但從2003年 4 月教育部正式頒布實(shí)施《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，“概率與統(tǒng)計(jì)”作為必修內(nèi)容，占到整個(gè)高中階段數(shù)學(xué)新增內(nèi)容的 30%。概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容由選修到必修曲折發(fā)展過程，也是數(shù)學(xué)新課程發(fā)展與改革的必然。就目前而言，針對(duì)國內(nèi)高中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容研究也有，但從歷史視角進(jìn)行的研究并不多，大多數(shù)是對(duì)高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)史的現(xiàn)狀調(diào)查， 因此，本研究將選取高中數(shù)學(xué)中的“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容中的古典概型，幾何概型，正態(tài)分布，最小二乘法這四個(gè)主題，搜集與之相關(guān)的素材。從數(shù)學(xué)史的角度來開發(fā)案例。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐傳勝，惠更斯與概率論的奠基[J].自然辯證法通訊，2006，9（6）.

[2]徐傳勝，惠更斯的5個(gè)概率問題[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2007，11（4）.

[3]徐傳勝，從投擲問題到概率論的創(chuàng)立[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，12（4）.