巧用概率模型解決代數(shù)問(wèn)題

狄勇婧　王冕

【摘要】 概率論是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要分支，能夠通過(guò)其獨(dú)特的定義、方法，運(yùn)用一定的模型解決其他數(shù)學(xué)分支的難題.代數(shù)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，由于代數(shù)問(wèn)題的抽象性，常常使學(xué)生對(duì)代數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一種畏難心理，阻礙學(xué)生進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).基于此，文章通過(guò)將概率模型與代數(shù)問(wèn)題相結(jié)合，通過(guò)構(gòu)造一定的概率模型來(lái)解決代數(shù)難題，使學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮拇鷶?shù)問(wèn)題運(yùn)用直觀的概率模型加以表現(xiàn)、解決.本文試圖從概率模型在數(shù)列問(wèn)題、代數(shù)恒等式問(wèn)題、代數(shù)不等式問(wèn)題以及排列組合中的應(yīng)用來(lái)介紹如何通過(guò)構(gòu)建概率模型直觀地解決代數(shù)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】 概率模型；代數(shù)問(wèn)題；解決

【基金項(xiàng)目】 區(qū)級(jí)科研項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱(chēng)：基于校企合作模式的嵌入式實(shí)訓(xùn)平臺(tái)研究與建設(shè)，項(xiàng)目編號(hào)：KY2016LX101；院級(jí)教改項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱(chēng)：面向應(yīng)用型本科的《線(xiàn)性代數(shù)》的教學(xué)研究.

一、概率模型在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

數(shù)列求和問(wèn)題是學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，也是常常困擾他們的難題.有些學(xué)生通過(guò)公式記憶來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題，導(dǎo)致遇到新題型時(shí)往往不知變通.但如果仔細(xì)研究不難發(fā)現(xiàn)，有些數(shù)列問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)建一定的概率模型加以解決.

例1 數(shù)列的級(jí)數(shù)求和：

求證∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1.

解題思路：構(gòu)造與之相應(yīng)的概率模型：假設(shè)這是一個(gè)概率實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)重復(fù)、獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)條件下，若其每次只可能有兩種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即A發(fā)生和A不發(fā)生. n n+1 為第n次試驗(yàn)中A可能發(fā)生的概率，在實(shí)驗(yàn)中假設(shè)A發(fā)生則整個(gè)試驗(yàn)成功，則題目就轉(zhuǎn)換成為計(jì)算試驗(yàn)成功率的概率問(wèn)題，進(jìn)而用概率方法和原則對(duì)問(wèn)題求解.

對(duì)上述試驗(yàn)的分析得知：

（1）假設(shè)在第一次試驗(yàn)中A就發(fā)生，則其發(fā)生的概率可能性為 1 2 ；

（2）假設(shè)在第二次試驗(yàn)中A發(fā)生，第一次試驗(yàn)中A不發(fā)生，則事件發(fā)生的概率可能性為 1- 1 2 × 2 3 = 2 3！ ；

（3）假設(shè)在第三次試驗(yàn)中A發(fā)生，第一次實(shí)驗(yàn)中A不發(fā)生、第二次試驗(yàn)中A也不發(fā)生，則該事件的概率可能性為 1- 1 2 1- 2 3 × 3 4 = 3 4！ ；

如果這個(gè)實(shí)驗(yàn)在這種情況下一直循環(huán)進(jìn)行下去，那么事件成功的可能性，也即成功的概率可以表示為：

1 2！ + 2 3！ + 3 4！ +…+ n （n+1）！ +…=∑ ∞ n=1 n （n+1）！ .

由于每一個(gè)試驗(yàn)并不總是成功，因此，我們將在每一次試驗(yàn)中失敗的概率依次表示為

1- 1 2 ，1- 2 3 ，…，1- n n+1 ，….

在此基礎(chǔ)上，我們將每一次試驗(yàn)都失敗的概率表示為

lim n→∞ 1- 1 2 1- 2 3 … 1- n n+1 =lim n→∞ 1 n！ =0.

通過(guò)這個(gè)模型可以得出結(jié)論，試驗(yàn)失敗的概率為0，據(jù)此我們可以得出試驗(yàn)成功的概率為1-0=1，用公式模型表示出來(lái)就是

∑ ∞ n=1 n （n+1）！ =1.

二、概率模型在代數(shù)恒等式中的應(yīng)用

代數(shù)恒等式的證明方法有許許多多，諸如幾何法、代數(shù)法、定理證明法等等.但隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度的加大，越來(lái)越多的代數(shù)恒等式的求證問(wèn)題用傳統(tǒng)常規(guī)的運(yùn)算方法很難求解，無(wú)法快速有效地切中問(wèn)題的命脈，找出問(wèn)題的核心所在進(jìn)而快速解決該數(shù)學(xué)難題；另一方面，隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷擴(kuò)大與加深，尤其是在對(duì)概率論不斷學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，如果能巧妙地運(yùn)用所學(xué)到的概率論知識(shí)，在求解代數(shù)恒等式難題時(shí)構(gòu)建相應(yīng)的概率模型，找出問(wèn)題的核心要點(diǎn)，就能夠巧妙迅速地解決數(shù)學(xué)難題，進(jìn)而進(jìn)一步激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.

例2 求證下列代數(shù)恒等式成立：

∑ n r=0 Crn+r[（1-x）n+1xr+xn+1（1-x）r]=1.

解題思路：將該模型看作是一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際的概率應(yīng)用模型.假設(shè)A和B兩個(gè)隊(duì)伍共同參加一項(xiàng)體育競(jìng)賽，在整個(gè)競(jìng)賽中，誰(shuí)先贏得n+1場(chǎng)勝利誰(shuí)所在的隊(duì)伍就將在整場(chǎng)比賽中優(yōu)先勝出，在整個(gè)比賽中不存在平局的現(xiàn)象.由此，我們?cè)O(shè)x是A隊(duì)在每一次競(jìng)賽中勝出B隊(duì)的概率可能性，由此可以推出，1-x是B隊(duì)在每一次競(jìng)賽中勝出A隊(duì)的概率可能性.在n+1+r場(chǎng)比賽中（r=1，2，3，4，…，n），A隊(duì)要想最后獲得冠軍，必須要在最后一輪競(jìng)賽中戰(zhàn)勝B隊(duì)，在此前提下，還必須要在前n+r場(chǎng)比賽中取得n場(chǎng)勝利.由此，我們可以將A隊(duì)在n+1+r場(chǎng)比賽中獲勝的可能性用概率公式表示出來(lái)，即

P（A）=∑ n r=0 Cnn+rxn+1（1-x）r.

依據(jù)A隊(duì)勝出的概率模型的構(gòu)建，我們可以用同樣的方法構(gòu)建B隊(duì)在n+1+r場(chǎng)比賽中勝出可能性的概率模型

P（B）=∑ n r=0 Cnn+r（1-x）n+1xr.

在此基礎(chǔ)上，我們可以很清楚地看到P（A）+P（B）=1，很容易就將整個(gè)代數(shù)恒等式求證出來(lái).

三、概率模型在證明代數(shù)不等式中的應(yīng)用

不等式的證明求解也是代數(shù)學(xué)習(xí)中常常遇到的問(wèn)題，有些不等式常常由于其復(fù)雜的變量構(gòu)成及數(shù)量關(guān)系，很難用之前所學(xué)的代數(shù)、幾何、定理求解法求解，而且在代數(shù)不等式問(wèn)題中多是涉及一些抽象的變量，進(jìn)一步加深了學(xué)生的學(xué)習(xí)理解難度.為此，在不等式證明中引入概率模型的求解方法，將問(wèn)題不等式中的若干變量設(shè)置成應(yīng)用模型或試驗(yàn)中的若干相互獨(dú)立存在的事件的概率，通過(guò)一定的假設(shè)，將這些事件中的和事件看作概率論中樣本空間的一個(gè)子集，使之成為一個(gè)整體，這樣便能夠使事件概率小于或等于1，有利于在實(shí)際操作中得到題目要求的不等式.

例3 證明下列不等式成立：

a2bc+ab2c+abc2+1≤ab+ac+bc+a2b2c2，

其中a≥1，b≥1，c≥1.

解題思路：若想用概率模型求解，首先，要將不等式的總和小于或等于1，為此，先將不等式進(jìn)行變形，由觀察可得，不等式兩端同時(shí)除以a2b2c2，得到如下不等式：

1 ab + 1 ac + 1 bc + 1 a2b2c2 ≤ 1 abc2 + 1 ab2c + 1 a2bc +1，移項(xiàng)得

1 ab + 1 ac + 1 bc - 1 abc2 - 1 a2bc - 1 ab2c + 1 a2b2c2 ≤1. （1）

根據(jù)整理后的不等式構(gòu)造相應(yīng)求解的概率模型如下：假設(shè)共有三個(gè)口袋，ab球在1號(hào)口袋中，ac球在2號(hào)口袋中，bc球在3號(hào)口袋中，其中在三個(gè)袋子中都會(huì)有一枚紅球.現(xiàn)在要求試驗(yàn)者從每一個(gè)袋子中各取出一枚球.為方便起見(jiàn)，我們記A={從第i號(hào)袋中取出紅球}，i=1，2，3，則用概率中的事件表示模型可以將式子列為P（A1）= 1 ab ，P（A2）= 1 ac ，P（A3）= 1 bc .A1，A2，A3在事件中是相互獨(dú)立的事件，進(jìn)一步的將式子變?yōu)椋?/p>

P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）= 1 ab + 1 bc + 1 ac - 1 a2bc - 1 abc2 - 1 ab2c + 1 a2b2c2 .

又由題設(shè)可知P（A1∪A2∪A3）≤1.由此（1）式成立，（1）式是原題中不等式的簡(jiǎn)單移項(xiàng)變形，因此，可得原不等式成立.

四、概率模型在排列組合中的應(yīng)用

在概率問(wèn)題的求解中若想要求出題目要求的事件概率A，首先，要知道基本事件總數(shù)n以及事件A在總事件中發(fā)生的頻數(shù)m，這其中的變量m，n我們可以將其看作排列組合中的數(shù)量關(guān)系.反之，在這種思維模式導(dǎo)向下，我們?cè)诮馀帕薪M合應(yīng)用題時(shí)，也可以將所求的應(yīng)用題目轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型進(jìn)行求解，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化，可以將之前抽象的代數(shù)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成為直觀的概率模型，便于學(xué)生的學(xué)習(xí)理解.我們?cè)趯⑴帕薪M合轉(zhuǎn)化為概率模型時(shí)，首先，要通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化將所求的排列組合問(wèn)題歸結(jié)為某一類(lèi)等可能事件組成的概率模型，事件A出現(xiàn)的頻數(shù)為m，P（A）是事件A發(fā)生的概率，n表示事件的總數(shù)，那么據(jù)此就可以求出m=nP（A）是所要求的排列組合的解.

例4 有六名學(xué)生在站路隊(duì)，由于特殊原因這六名學(xué)生中有一名學(xué)生的位置既不能在排頭、也不能在排尾，問(wèn)在這樣的情況下，共有多少種可能的站法？

解題思路：將這個(gè)排列組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成概率問(wèn)題求解，就可以將這六名學(xué)生的站路隊(duì)現(xiàn)象看成一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，n=A66=720，表示該試驗(yàn)所包含的基本事件的總數(shù).記A={既不能站在排頭也不能站在排尾的學(xué)生}，B={站在排頭的某一名學(xué)生}，C={站在排尾的某一名學(xué)生}，聯(lián)系實(shí)際情況可知6名學(xué)生站在排頭排尾的情況是等可能現(xiàn)象，由此可以得出式子：

P（B）=P（C）= 1 6 ，P（A）=1-[P（B）+P（C）]=1- 1 6 + 1 6 = 2 3 ，

由此式子可以進(jìn)一步得到m=nP（A）=720× 2 3 =480.

例5 證明Ckn+1=Ckn+Ck-1n.

解題思路：首先，要將排列組合的模型轉(zhuǎn)化成為概率小于或等于1的一個(gè)基本事件，為此，首先要對(duì)原式進(jìn)行相應(yīng)的變形：

Ckn Ckn+1 + Ck-1n Ckn+1 =1.

接下來(lái)就要構(gòu)造相應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)：假設(shè)n+1是一批待出廠(chǎng)的產(chǎn)品的總量，若工廠(chǎng)的工人不小心將一個(gè)廢品混入其中，現(xiàn)要求試驗(yàn)者隨機(jī)從這批產(chǎn)品中抽取k個(gè)產(chǎn)品出來(lái)，求試驗(yàn)者抽取的產(chǎn)品中廢品的概率是多少？抽取k個(gè)產(chǎn)品中沒(méi)有抽取到廢品的概率又是多少？

證明：為了方便起見(jiàn)，我們?cè)O(shè)事件A1={抽取的k件產(chǎn)品中沒(méi)有廢品}與A2={抽取的k件產(chǎn)品中有廢品}為兩個(gè)對(duì)立事件.

P（A1）= Ckn Ckn+1 ，P（A2）=P（A1）= C11Ck-1n Ckn+1 .

本文通過(guò)將概率模型應(yīng)用在數(shù)列問(wèn)題、代數(shù)恒等式問(wèn)題、代數(shù)不等式問(wèn)題以及排列組合等問(wèn)題的解題過(guò)程中，可以看出，在解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的代數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們可以用構(gòu)造概率模型的方法創(chuàng)新解題思路，將抽象化的代數(shù)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成為相應(yīng)的更為直觀的概率解題模型，這種方法既需要不依賴(lài)相應(yīng)的代數(shù)解題公式，又能夠在一定程度上開(kāi)拓、創(chuàng)新學(xué)生的解題思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只是枯燥的記憶公式，以及遵循傳統(tǒng)的解題思路和解題方法.由此可以看出，概率模型與代數(shù)問(wèn)題的完美融合為解決復(fù)雜、抽象的代數(shù)問(wèn)題提供了一種解題的新思路和解題方法.這種創(chuàng)新的解題思路和解題方法能夠不斷地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)奧秘的熱情，使學(xué)生逐漸養(yǎng)成一種自主學(xué)習(xí)的好習(xí)慣.

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