基于數(shù)學(xué)活動體驗數(shù)學(xué)思想

羅燕+李昌勇+寧銳

[摘 要] 本文以“探索直線平行的條件”一課的課例為載體，通過對課堂中兩個主要的活動的設(shè)計和教學(xué)過程進行分析，深入挖掘其中所包含的數(shù)學(xué)思想，并分析了本節(jié)課是如何在數(shù)學(xué)活動中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的，供一線老師參考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)活動；平行條件

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（后簡稱為《標(biāo)準(zhǔn)》）把數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識和技能列為同等地位的目標(biāo)，并且明確指出“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”，突出了數(shù)學(xué)思想的教育價值. 史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論（第一輯）》中寫道：“數(shù)學(xué)思想是指數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴、所依靠的思想”“至今為止，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的”；而針對最近的熱點問題“學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)”，梁秋蓮老師以“幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想”為抓手提出了落實核心素養(yǎng)的策略，可見數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教育極其重要的組成部分.

怎樣才能在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)呢？為此，筆者與一線老師以教學(xué)課例為載體合作、教研、探討了這一主題. 本文以史寧中教授提出的三種核心數(shù)學(xué)思想方法為基本框架，以北師大版七年級下冊“探索直線平行的條件”一課的課例為載體，探討如何在數(shù)學(xué)活動中滲透數(shù)學(xué)思想方法.

從經(jīng)驗活動中抽象出幾何圖形

【活動任務(wù)】 活動1：如圖1，裝修工人正在向墻上釘木條，有一根木條b與墻壁邊緣垂直，工人師傅現(xiàn)在要釘一根與b平行的木條a. 你能想到哪些辦法？

學(xué)生活動：讓學(xué)生分組討論，然后讓學(xué)生介紹做法，通過活動積累大量經(jīng)驗以供進一步探究.

【教學(xué)片斷】？搖？搖師：這是一個實際問題，同學(xué)們可以利用圖中任何可利用的條件來解決這個問題.

學(xué)生分組討論，老師巡視，給予一定的指導(dǎo).

通過充分的討論交流，老師讓每組代表陳述本組做法.

生1：與磚的橫線重合，如圖2（這種回答包含有兩種情形，a與b相距一塊磚或多塊磚的情形），或者與磚的豎線垂直，如圖3.

生2：與墻的邊緣垂直，如圖4.

生3：與地面平行，如圖5.

后面同學(xué)說的方法要復(fù)雜些，通過日常語言和比動作很難理解，于是老師進行引導(dǎo)：同學(xué)們能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言把剛才說的方法描述一次嗎？

生4：在直線b的下方做等腰直角三角形，使得三角形的直角頂點在直線b上，兩條直角邊與直線b的夾角相等，均為45°，如圖6.

生5：作直線a的垂線m，平行移動垂線一段距離得垂線n，在垂線m上取一點C，作線段CD=線段AB，則線段CD所在直線與直線a平行，如圖7.

學(xué)生的回答大致包含在上面幾種回答中，其余學(xué)生還有一些其他回答. 比如：在直線b上作圓，利用圓的性質(zhì). 由于這類方法對提煉“三線八角”這個模型作用不大，所以老師將其先放一邊，課后再對這類方法進行分析.

師：在實際問題中判斷兩根木條是否平行時，借助墻壁作為參照，你能將上述問題抽象為數(shù)學(xué)模型嗎？試著畫出示意圖，并結(jié)合示意圖進行說明.

【反思與評析】 活動1的問題取自教材上的例題，但對例題做了小改動，教材中直接問木條a與墻壁邊緣的夾角是多少度時才能使木條a與木條b平行，這樣會限制學(xué)生的思考方向，而改動后的問題則發(fā)散了學(xué)生的思維，讓學(xué)生可以盡可能地從不同角度思考解決方法，也為后面提煉出兩條直線平行的模型提供了豐富的素材. 因此，老師在設(shè)計教學(xué)活動時應(yīng)該多提一些靈活性的問題. 改動后的例題，學(xué)生給出了豐富的解題方法，根據(jù)原理大致可分為兩類：（1）借助已知平行得新的平行，如生3的方法；（2）借助第三條線的垂直關(guān)系，得到a，b的平行關(guān)系，如生2的方法. 在實際的課堂中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最初的回答很難用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言對做法進行描述，而是采用比動作、日常語言描述等方式，在老師的引導(dǎo)下，后面回答的學(xué)生逐漸嘗試使用數(shù)學(xué)語言，接著老師讓學(xué)生將開始的做法抽象成數(shù)學(xué)模型.

本問題的主要目的是讓學(xué)生通過經(jīng)驗活動，找出各種構(gòu)造平行的方法，然后從各種構(gòu)造方法中抽象出幾何圖形，實現(xiàn)從經(jīng)驗活動向抽象圖形方向超越，從而讓學(xué)生體會和感悟數(shù)學(xué)的抽象思想方法.

從幾何圖形中抽取分類幾何

模型

【活動任務(wù)】 活動2：讓學(xué)生將剛才所得的方法用示意圖表示出來，經(jīng)歷從實際問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)問題的過程，并結(jié)合圖形討論這些做法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，歸納出垂直情況下八個角之間的數(shù)量關(guān)系.

【教學(xué)片斷】 學(xué)生由前面的方法作出了示意圖，老師引導(dǎo)學(xué)生對得到的數(shù)學(xué)圖形進行分析.

師：根據(jù)所得的示意圖，同學(xué)們觀察每種方法是根據(jù)什么來證明a，b平行的.

生：圖2和圖5是利用已知平行得新的平行，圖3、圖4、圖6、圖7是借助第三條線的垂直關(guān)系.

師：觀察第二類方法的示意圖，你們可以提煉出什么數(shù)學(xué)模型？

接著學(xué)生得到這節(jié)課最重要的數(shù)學(xué)模型“三線八角”，此時是垂直的特殊情況（如圖8）.

師：a，b平行的時候，這八個角有什么性質(zhì)？

學(xué)生從相等和互補兩方面分析了這八個角的性質(zhì).

師：任意作兩條直線，我們又該如何判斷兩條直線平行呢？（由垂直過渡到一般情況）

【反思與評析】 從活動1到活動2，學(xué)生經(jīng)歷由原型結(jié)構(gòu)抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程，得到了豐富的形式化圖形，并對這些圖形進行歸類、分析，提煉出了本節(jié)課所需的數(shù)學(xué)模型，凸顯了模型思想的結(jié)構(gòu)化內(nèi)涵. 通過活動將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立的數(shù)學(xué)模型由淺入深，能夠提升學(xué)生對數(shù)學(xué)問題解決的認識，體會模型的思想. 模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決中占有重要的地位，因此在教學(xué)中滲透模型思想至關(guān)重要.

在探索條件中滲透推理思想

【活動任務(wù)】 在垂直情形的基礎(chǔ)上讓學(xué)生分組討論b，c不垂直時形成的八個角滿足什么條件時a，b平行. 讓學(xué)生充分經(jīng)歷解決問題的過程，類比垂直情況探索得到一般情況下同位角、內(nèi)錯角的數(shù)量關(guān)系，突出本節(jié)課的重點.

【教學(xué)片斷】 教師用幾何畫板對模型進行直觀演示，通過改變角的度數(shù)，讓學(xué)生觀察各個角之間的不變關(guān)系.

師：同學(xué)們可以從這些方面進行思考——（1）從垂直向一般情形轉(zhuǎn)變的過程中，角度大小有什么變化；（2）角度之間的關(guān)系有哪些變化；（3）考慮兩對角，都變小的角有什么關(guān)系，變小和變大的角有什么關(guān)系，其他角的關(guān)系是否可以通過這兩對角的關(guān)系來轉(zhuǎn)化.

生1：∠1、∠5、∠3、∠7變小了，∠2、∠6、∠4、∠8變大了；∠1=∠5，∠3=∠5，∠1+∠2=180°.

生2：∠2+∠5=180°，∠5+∠6=180°，∠2=∠6.

此處學(xué)生還有一些類似的回答，但都缺乏邏輯性.

師：以∠1為基準(zhǔn)，觀察下面的四個角與∠1分別滿足什么條件時兩直線平行，并寫出你的結(jié)論.

學(xué)生按照老師的要求對16對角之間的關(guān)系進行了有序的梳理.

師：通過這些角之間的關(guān)系我們就能判斷任意兩條直線平行. 如果按照位置對這16對角進行分類，該怎么分呢？怎么對它們命名？（下課鈴響）這兩個問題就留到下節(jié)課再討論.

【反思與評析】 由垂直情形轉(zhuǎn)化到一般情形的過程包含了由特殊到一般的思想，老師的引導(dǎo)性提問有助于學(xué)生思考. 老師先對垂直情形下八個角的關(guān)系進行分析，再由學(xué)生類比垂直情形分析一般情形，這個過程包含了類比思想. 在兩個活動中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、操作、抽象、推理、交流等過程，根據(jù)活動中獲得的數(shù)學(xué)知識與經(jīng)驗歸納出本節(jié)課的重點“兩直線平行的條件”，包含了歸納的思想，而這兩種思想就是推理思想的體現(xiàn).

在這個過程中，老師有意識地引導(dǎo)學(xué)生對問題進行有序分類，滲透了分類思想. 分類，可以使大量繁雜的材料條理化、系統(tǒng)化，能培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性、條理性，對提高學(xué)生的思維能力、解決問題的能力有很大的作用. 分類思想貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，所以將分類思想有效地融入日常教學(xué)活動中很有必要.

與教材的設(shè)計不同，本節(jié)課是將兩節(jié)課的內(nèi)容綜合在一起展開探究，主要圍繞兩個活動展開. 這節(jié)課的活動設(shè)置不同于以往老師們設(shè)計的教學(xué)活動，來源于教材卻高于教材，包含了豐富的數(shù)學(xué)思想，問題的描述也比較開放，有利于發(fā)散學(xué)生的思維. 老師在教學(xué)過程中也給學(xué)生留下了足夠的時間進行探究，讓學(xué)生在討論的過程中充分感悟其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，同時也體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.

課堂中，數(shù)學(xué)活動是引導(dǎo)學(xué)生思考、探究的有效途徑，也是數(shù)學(xué)思想的有效載體，因此好的數(shù)學(xué)活動能夠發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想的真諦，凸顯數(shù)學(xué)思想的認識價值，從而發(fā)展學(xué)生的思維. 什么樣的活動能夠包含豐富的數(shù)學(xué)思想，什么樣的問題能夠激發(fā)學(xué)生思考，需要老師們在設(shè)計教學(xué)時進行深刻的思考，而不僅僅是對教材進行復(fù)制. 希望本文可以給一線老師的活動教學(xué)設(shè)計提供參考.

本文特別感謝雙流中學(xué)實驗外國語學(xué)校羅宗緒名師工作室的支持.