立足教材理解數(shù)學(xué)優(yōu)化教學(xué)
——以《任意角的三角函數(shù)定義》為例

☉江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué) 李素文

立足教材理解數(shù)學(xué)優(yōu)化教學(xué)
——以《任意角的三角函數(shù)定義》為例

☉江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué) 李素文

章建躍博士認(rèn)為，教學(xué)的有效性，只有圍繞概念的核心展開教學(xué)，在概念的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的理解上給予點(diǎn)撥、講解，讓學(xué)生在理解概念及其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)上，對(duì)細(xì)節(jié)問題、變化的問題進(jìn)行深入思考，這樣才能實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).因?yàn)楦拍畹暮诵?、思想方法是不容易把握的，這是教師發(fā)揮主導(dǎo)作用的重點(diǎn)所在；具體細(xì)節(jié)正好是鍛煉學(xué)生應(yīng)用概念解決問題的機(jī)會(huì)，是促進(jìn)學(xué)生理解概念的平臺(tái).

任意角的三角函數(shù)的定義是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一，其教學(xué)具有重要的作用，但每次執(zhí)教這一節(jié)時(shí)，對(duì)這一概念的形成過程，總感覺不自然，講理有些牽強(qiáng).不少教師也沒有講得很清楚，大多采用書上的“規(guī)定”兩字，不加解釋，直接由銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，導(dǎo)致學(xué)生不理解其本質(zhì)，只能死記硬背，遇到角為第一象限角時(shí)會(huì)做，當(dāng)角為其他象限的角時(shí)就會(huì)出錯(cuò).針對(duì)這些疑問，筆者反思，該節(jié)課怎樣設(shè)計(jì)才能既適合學(xué)情又能讓學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)？筆者查閱文獻(xiàn)，研讀教材，依據(jù)章建躍博士倡導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)原則“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”改進(jìn)自己的教學(xué)方案，獲得師生的好評(píng).下面是本課例的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思.

一、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)舊知，溫故知新

問題1請(qǐng)同學(xué)們回顧下初中學(xué)習(xí)的特殊角30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值.

問題2請(qǐng)回憶下，在初中直角三角形中如何定義銳角三角函數(shù)的？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生初中學(xué)習(xí)過直角三角形中銳角三角函數(shù)，學(xué)生從已有的知識(shí)入手，一方面學(xué)生有熟悉感，不排斥所學(xué)的新內(nèi)容，另一方面，學(xué)生有成就感，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

（二）推進(jìn)新課，形成概念

學(xué)生活動(dòng)

問題3若以銳角α的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以角α的始邊作為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)角α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），它與原點(diǎn)的距離是你能否借助點(diǎn)P的坐標(biāo)和r表示出角α的三角函數(shù)呢？

問題4改變點(diǎn)P的位置，這三個(gè)比值改變嗎？請(qǐng)說明理由？

學(xué)生紛紛動(dòng)筆驗(yàn)證，兩分鐘后學(xué)生已經(jīng)得出結(jié)果.

生3：再另取點(diǎn)Q，作QN⊥x軸，則△OPM與△OQN相似，得到三個(gè)比值不變.

生4：我找的30°的終邊，通過測(cè)量，計(jì)算得到三個(gè)比值相等.

師：同學(xué)們做得很好！當(dāng)銳角固定時(shí)，它的三角函數(shù)值與角的終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)，只與坐標(biāo)的比值有關(guān)，當(dāng)角改變時(shí)，這三個(gè)比值還一定相同嗎？

生5：不一定相同，30°與45°的三角函數(shù)值就不同.師：很好！定義域內(nèi)的任意一個(gè)角都有唯一的比值與之對(duì)應(yīng)，你能想到之前我們學(xué)過的哪個(gè)概念？

（眾生小聲討論，有的同學(xué)想不到，有小部分學(xué)生想到函數(shù)的概念）

生6：函數(shù)的概念.

師：請(qǐng)你幫我們重溫下函數(shù)的概念吧.

生6：一般地，兩個(gè)非空數(shù)集A，B，對(duì)于集合A中的每個(gè)自變量x，根據(jù)某種對(duì)應(yīng)法則，集合B中都有唯一的值y與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)就稱為A→B的函數(shù).

眾生：是，自變量是角，函數(shù)值是三個(gè)比值.

師：這里的角是角度還是弧度呢？

生：都可以.

師：這里的角是弧度，我們引入弧度的必要性就是建立起角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.因此自變量、函數(shù)值都為實(shí)數(shù)，符合函數(shù)定義的兩個(gè)非空數(shù)集，因而我們就得到了銳角三角函數(shù)的定義.

設(shè)計(jì)意圖：銳角三角函數(shù)的定義是本課重要的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)與固著點(diǎn)，銳角是任意角的特例，從這個(gè)意義上說，任意角的三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣.從這個(gè)角度看，銳角三角函數(shù)的概念，符號(hào)sinα，cosα，tanα是本節(jié)課的基礎(chǔ)，也是本課的起點(diǎn).

問題5能否將銳角的三角函數(shù)值的定義推廣到第一象限的角的三角函數(shù)？

生8：老師，我有疑問，若角為390°，就不能做直角三角形了？

師：我們剛定義的銳角三角函數(shù)的定義與什么有關(guān)？

生：與角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān).

師：有了這個(gè)定義還需要構(gòu)造直角三角形嗎？

生：不需要，只要計(jì)算比值就可以了.

問題6能否將這一結(jié)論推廣到其他象限呢？

生：應(yīng)該可以.銳角的三角函數(shù)可以推廣到第一象限，應(yīng)該也可以推廣到其他象限.

師：通過我們的探究，可以得到任意角的三角函數(shù)的定義，此定義已經(jīng)脫離了直角三角形中靜態(tài)的邊長(zhǎng)之比，這里的銳角三角函數(shù)及任意角的三角函數(shù)都是以數(shù)即角為自變量，角的單位是弧度，對(duì)應(yīng)法則是比值的函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過問題5，6讓學(xué)生明確定義域內(nèi)的任意一個(gè)角都有唯一的比值與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義，因而sinα，cosα，tanα分別叫做角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，這三個(gè)函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

（三）數(shù)學(xué)建構(gòu)，形成結(jié)論

三角函數(shù)的定義：一般地，對(duì)任意角α，角α終邊上任意一點(diǎn)P（x，y），它與原點(diǎn)的距離是那么，

sinα，cosα，tanα分別叫做角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).

問題7根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能否得到它們的定義域及各個(gè)象限的符號(hào)？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生很容易得到各三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)，對(duì)于正、余弦函數(shù)的定義域?qū)W生很容易解決，對(duì)于正切函數(shù)的定義域時(shí)遇到困難，不知如何去求.教師啟發(fā)學(xué)生，觀察分式，若有意義滿足什么條件？滿足條件的角有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：既然三角函數(shù)是函數(shù)，必然要研究函數(shù)的定義域，讓學(xué)生回歸到函數(shù)的相關(guān)知識(shí).對(duì)于不能解決的問題，通過教師提問的方法，引導(dǎo)學(xué)生去解決，而非直接告知.

問題8你能否根據(jù)三角函數(shù)的定義求出軸線角的三角函數(shù)值？請(qǐng)舉例說明.

學(xué)生活動(dòng)：剛開始學(xué)生還有些措手無策，教師適當(dāng)提示，然后放學(xué)生去解決.學(xué)生解決了0°，90°，180°，270°，360°的三角函數(shù)值，并以表格形式列出.

設(shè)計(jì)意圖：以往的教學(xué)中，對(duì)于軸線角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，在課后習(xí)題中有所涉及，但學(xué)生出錯(cuò)率相當(dāng)高，因而，本人覺得不如放到課堂上解決，一方面，對(duì)三角函數(shù)的定義做進(jìn)一步的理解；另一方面，與其課后反復(fù)糾錯(cuò)，不如把問題展示出來，讓學(xué)生自己去解決.

（四）例題解析，概念應(yīng)用

例1已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2，-3），求角α的三角函數(shù)值.

例1及變式的解答略.

師：如果已知角的終邊上的一點(diǎn)，你能歸納出求此角的三角函數(shù)的步驟嗎？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合定義，想到（1）計(jì)算OP的長(zhǎng)度；（2）計(jì)算三個(gè)比值.

變式1已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2a，-3a）（a＞0），求角α的三角函數(shù)值.

變式2已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2a，-3a）（a≠0），求角α的三角函數(shù)值.

變式3已知角α的終邊落在直線y=3x上，求角α的三角函數(shù)值.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，對(duì)于變式1，學(xué)生解決得很好；對(duì)于變式2，部分學(xué)生缺少分類，以及當(dāng)a＜0時(shí)，出錯(cuò)較多；對(duì)于變式3，大部分學(xué)生仍然缺少了分類討論，究其原因，不清楚角的終邊是射線而非直線.在其他同學(xué)的幫助和教師的指點(diǎn)下，同學(xué)們意識(shí)到錯(cuò)誤，并改正.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的教學(xué)遵從低起點(diǎn)，小步子，多活動(dòng)，勤反饋.變式的練習(xí)提高變式能力，完善思維的嚴(yán)密性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性.學(xué)生思考后上黑板板演，做的結(jié)論和書寫雖然不盡完善，不夠規(guī)范，但這是利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源進(jìn)行教育的好機(jī)會(huì)，教育價(jià)值更高.

例2已知任意角α的終邊與單位圓交于P（x，y），證明：sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）.

設(shè)計(jì)意圖：利用單位圓定義三角函數(shù)，是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，后續(xù)學(xué)習(xí)的三角函數(shù)線，研究三角函數(shù)的值域，畫三角函數(shù)的圖像等都用到了單位圓，結(jié)合所教學(xué)生學(xué)情，在例題中講解凸顯其重要性，另外為下節(jié)課的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用.

（五）課堂總結(jié)、布置作業(yè)略

二、教學(xué)反思

由于三星級(jí)農(nóng)村高中學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，本課例在引入時(shí)沒有采用摩天輪的例子，而是采用教材（蘇教版必修4）上的例子，從直角三角形中三角函數(shù)的定義到在直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)，并對(duì)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行了著重探討，然后推廣到第一象限角的三角函數(shù)定義，最后推廣到任意角的三角函數(shù)定義.針對(duì)本課例，筆者有以下幾點(diǎn)反思.

（一）將概念形成過程還給學(xué)生，讓學(xué)生在“做”中學(xué)

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，每一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，其中都有豐富的經(jīng)歷，從對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的認(rèn)知過程的研究，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程是個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程，因而教學(xué)中要重視將概念的形成過程還原給學(xué)生.本課例中，以學(xué)生熟悉的直角三角函數(shù)中銳角三角函數(shù)定義為依托，開展探究活動(dòng)，注重了從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，分化出他的理論側(cè)面，使之變得容易理解.在概念的教學(xué)中，將概念形成的過程教給學(xué)生，在探究中對(duì)概念的形成與抽象有所體驗(yàn)，要產(chǎn)生這樣的探究體驗(yàn)，教師最好的引導(dǎo)途徑就是問題引領(lǐng).提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)構(gòu)建以問題為紐帶的課堂，要求教師在教學(xué)活動(dòng)中把學(xué)習(xí)設(shè)置到復(fù)雜的、有意義的問題情境中，通過學(xué)生自主探究解決真實(shí)性問題，所提出的問題既要符合學(xué)生的認(rèn)知需求、認(rèn)知水平，又要能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情.在本課例中，筆者提出了8個(gè)問題，整個(gè)問題串層層遞進(jìn)，不僅利于學(xué)生思維的飛躍、加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，而且通過這些經(jīng)歷得到了任意角的三角函數(shù)的定義.在解決問題時(shí)，學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，借助分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動(dòng)，使自發(fā)性概念逐漸達(dá)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍.在概念形成的過程中，學(xué)生參與到思考、探索的活動(dòng)中，成為解決問題的主體.

（二）強(qiáng)調(diào)概念本質(zhì)教學(xué)，讓學(xué)生在“學(xué)”中用

從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理過程來看，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)是一個(gè)從具體到抽象，再由抽象到具體的過程，前一階段是為了幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念，后一階段是為了讓學(xué)生加深理解并能運(yùn)用概念進(jìn)行判斷推理，因而在教學(xué)過程中，我們不但要讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，建構(gòu)任意角的三角函數(shù)的定義，還必須重視“變式”與“比較”.本課例中，在對(duì)任意角三角函數(shù)的求解時(shí)注意的事項(xiàng)，即利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，及此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等通過例1及變式進(jìn)行辨析.其實(shí)例2可以看作任意角三角函數(shù)的特殊形式，即r=1的情形，但意義重大，在三角函數(shù)中單位圓的引入為后續(xù)研究打下基礎(chǔ).

（三）重視教師的示范作用，讓學(xué)生在“惑”處釋然

張奠宙教授在《努力詮釋中國(guó)特色的數(shù)學(xué)教育理念以及實(shí)踐特色》一文中，談到中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育中，主張教師主導(dǎo)下發(fā)揮學(xué)生主體作用時(shí)說：“傳道、授業(yè)、解惑并不單指教師的作用，而主要是指教師的責(zé)任，至于怎么做，不能只以教師的主觀武斷來實(shí)行教學(xué)，要以學(xué)生為主體來安排，教師是教學(xué)的組織者、指導(dǎo)者、合作者，同時(shí)也是領(lǐng)導(dǎo)者和示范者.”并強(qiáng)調(diào)在這一過程中教師的示范很重要，對(duì)當(dāng)前課堂教學(xué)中教師作用的弱化表示很大的遺憾.在本課例中，有兩處地方，教師告知學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的，第一處在銳角三角函數(shù)定義到第一象限的三角函數(shù)的定義推廣時(shí)，學(xué)生仍然沒有脫離直角三角形，這點(diǎn)對(duì)于學(xué)生理解三角函數(shù)的本質(zhì)是很大的障礙，第二處學(xué)生建立了銳角三角函數(shù)的概念，但自變量角是弧度，學(xué)生對(duì)弧度的理解仍需要時(shí)間，甚至到高三復(fù)習(xí)時(shí)學(xué)生仍有疑慮.因此教師在此兩處選用啟發(fā)后告知，將這一知識(shí)點(diǎn)明確化.筆者曾經(jīng)讀過一篇文章，我很贊同他的觀點(diǎn)，在教學(xué)中關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生不能解決時(shí)，直接的告知也是一種有效手段.

當(dāng)然，教師的示范作用必須建立在教師研讀教材、理解教材、對(duì)教材提出的問題很好地進(jìn)行“理性重建”的基礎(chǔ)上，然后選用恰當(dāng)教學(xué)方法，精心組織教學(xué)，才能在教學(xué)中做到有的放矢，讓靜態(tài)的線性的數(shù)學(xué)知識(shí)“活”起來，“動(dòng)”起來，才能優(yōu)化教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量.

1.渠東劍.追求自然連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)過程［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（12）.

2.張紅，寧銳.努力詮釋中國(guó)特色的數(shù)學(xué)教育理念以及實(shí)踐特色［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2013（1/2）.

3.潘儉，趙雅玲.從概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知分析看數(shù)學(xué)概念教學(xué)［J］.玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2004（25）.

4.鄭良.任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015（1/2）.

5.徐小兵.教學(xué)示范是教師應(yīng)當(dāng)堅(jiān)守的責(zé)任.［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015（1/2）.