☉浙江省溫嶺市第二中學 王海燕
課堂教學要充分關注學生的認知水平
——對公開課《橢圓的標準方程》的思考
☉浙江省溫嶺市第二中學 王海燕
近年以來,以公開課為載體的教研活動異常繁榮,業(yè)已成為一線教師投身教研的良好平臺.近日,筆者在一次市級教學展示活動中,聽了一節(jié)《橢圓的標準方程》的公開課,任課老師引導學生經(jīng)歷了橢圓方程的推導過程,掌握了橢圓方程的基本形式,體會了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,領略了橢圓方程顯現(xiàn)出的對稱美,使筆者深受啟發(fā),同時也促使筆者對本節(jié)課進行了更加深入的反思.本文結(jié)合筆者的思考,以課堂教學中學生的認知水平發(fā)展為切入點,對《橢圓的標準方程》的教學提出幾點看法.
重知識、輕能力曾經(jīng)是教育最為深刻的危機之一,在此背景下,廣大數(shù)學教育研究者提出了“數(shù)學為什么而教?”的追問,并達成了“為思維而教”的共識,數(shù)學課堂教學過程中學生思維活動的水平、思維能力的發(fā)展成為教學設計的焦點問題,通過對課例的學習和思考,筆者認為,就學生的認知水平而言,課例還存在著改進的空間.
(一)認知水平的分類
根據(jù)美國學者莫里斯.L.比格等人的觀點以及對數(shù)學教學現(xiàn)狀的考察,顧泠沅等學者認為,從教學結(jié)果角度可以對課堂教學做出兩種標記,即記憶型和理解型,不過記憶和理解僅僅是教學認知水平標尺上的兩個點,實際的課堂教學要復雜很多,從記憶到理解的發(fā)展過程中,對學生的思考力水平要求越來越高,學生參與課堂的深度也逐步增加,學生活動由被動轉(zhuǎn)向主動的探索.具體而言,我們可以將課堂教學的認知水平分為記憶水平、解釋性理解水平和探究性理解水平,其中記憶水平的課只是要求學生記住一些事實材料,而解釋性理解水平是指由教師變換各種角度進行講授、解釋、說明,設計各種例題和變式,使學生領會知識的本質(zhì),或者在理解的基礎上對數(shù)學解題方法歸類.探究性理解水平的課是指教師促使學生積極卷入學習過程,師生共同活動,在新的情境中探索新知識、學習新方法.
(二)課例中學生認知水平的分析
就課例《橢圓的標準方程》來看,應當說任課教師充分關注了學生的思維過程和認知水平,比如在推導橢圓方程的教學環(huán)節(jié),教師首先引導學生建立恰當?shù)淖鴺讼?,提出問題:“你認為如何建立平面直角坐標系比較合理呢?”就是一個很好的設問,具有一定的探究價值,如果此處能夠給予學生更多的探究時間和更深入的引導,這將是一個具有較高認知水平的教學片斷.但是就整體而言,課例存在學生認知水平下降的問題.
1.關于橢圓標準方程推導方法的選擇
教學片段:
師:通過上一節(jié)課的學習,同學們是否知道如何求曲線方程呢?
生:按照建系、設點、限制條件、代入坐標、化簡、驗證的步驟!
師:很好,我把它概括為“建、設、現(xiàn)(限)、代、化”!是不是更好記了呢?
生:(異常興奮地)好記!
師:好,下面我們按照這個步驟來求橢圓的方程……
毫無疑問,這句精彩的概括令學生記憶深刻,接下來的推導過程就按部就班地以“建、設、現(xiàn)、代、化”的步驟展開,學生對橢圓方程的推導方法缺乏必要的思考,幾乎是不假思索地選擇了老師告知的方法,雖然隨后的推導過程中某些步驟有解釋和探究的成分,但就整體認知水平而言,有明顯的記憶性水平的特點.
授課老師上述的引導過程局限了學生的思考,筆者以為,如果能夠讓設問更具開放性,那么學生的思維就有可能更為開闊.例如,可以將設問改進為:
問題:假設P(x,y)為橢圓上任意一點,如何根據(jù)橢圓的定義得到x與y的關系?
那么學生的思維就會更開闊一些,除了課例中提供的方法之外,還可能發(fā)現(xiàn)其他的更簡潔的方法,例如:
推導方法1:設|PF2|=r,則|PF1|=2a-r,
由余弦定理知,|PF1|2=(2a-r)2=r2+4c2-4crcos θ=r2+ 4c2-4c(c-x),
2.對教材推導方法的改進
眾所周知,人教版教材提供的橢圓方程的推導方法就是按照“建、設、現(xiàn)(限)、代、化”的步驟進行推導的,由于在方程的化簡過程中為了去掉根號,需要兩次平方,運算量極大,對學生而言有難度,但是這一難點也恰好為我們提供了提高認知水平的機會.我們先看看上述課例中授課老師的處理:
教學片段2:
師:將|PF1|+|PF2|=2a坐標化,我們得到了=2a,如何化簡這個方程呢?
生:兩邊平方!
師:同學們反應真快,兩邊平方可以去掉根號,那么,同學們再思考一下,兩邊平方一次能否去掉兩個根號呢?
生:不能,還有一個根號.
師:A同學,你來回答一下,剩下一個根號怎么辦?
生A:再平方……哦,不!太麻煩了……
師:大家說,再平方能去掉根號嗎?
眾生:可以!
師:雖然這樣作運算量較大,但是我們有沒有信心克服這個困難呢?
眾生:有.
師:好,請同學們在自己的練習本上進行化簡,我請一名同學來板演……
在本片段中個,教師對方程的化簡方法進行了引導,并鼓勵學生通過兩次平方去掉根號.筆者以為上述引導是非常必要的,因為掌握這種方法也是本節(jié)課的目標之一.但是,當學生提供了理想的推導結(jié)果之后,教師的處理又一次喪失了提高學生認知水平的機會.
教學片段3:
師:我們的同學運算水平真高!老師真為你們高興,我看到大多數(shù)同學都能夠正確地化簡出最后的方程,當然,還有個別同學沒有做完,請這些同學課后把它完成!下面我們來看我們得到的這個方程的形式……
上述片段將橢圓方程的推導方法局限于教材方法,從學生的認知水平來看,還有很大的提升空間,筆者以為,在教師肯定了學生的運算水平之后,應該進一步地追問:
問題:剛才的推導方法運算比較煩瑣,導致這種煩瑣運算的原因是什么?有沒有辦法進行改進?
通過教師的設問,學生很容易認識到復雜的運算是因為等式中有兩個根式,如果只有一個根號,那么化簡就簡便了,如何把兩個根號“分開”呢?結(jié)合定義式|PF1|+ |PF2|=2a以及等差中項的知識,學生不難想到以下的方法:
推導方法2:因為|PF1|+|PF2|=2a,所以可設|PF1|=a+d, |PF2|=a-d.于是
設b2=a2-c2即得
這種方法,巧妙地利用了參數(shù)d,回避了教材方法中繁雜的化簡過程,這種求軌跡方程的方法我們一般稱為“參數(shù)法”,學生并不陌生,同時,對于這種處理方法,學生有了等差數(shù)列的知識背景,也并非難以想到.特別是上述的追問,提升了學生的認知水平,也培養(yǎng)了學生善于總結(jié),善于思考的習慣.
3.關于課例中教師的設問
課堂設問是課堂教學設計最重要的議題之一,由于學生的反應和教師設問同屬一個思考力水平,所以,課堂設問是維持學生合理思考力水平的基本手段,但是根據(jù)筆者的了解,課堂上“隨意問、滿堂問”的現(xiàn)象確實存在,課堂設問缺乏對認知水平的思考也是教學過程中的一種“常見病”.筆者以為,克服課堂發(fā)問的隨意性,編制認知水平合理的問題是維持課堂教學認知水平的重要前提.
就筆者所見的這節(jié)課例而言,教師一共提出了7個問題,就認知水平而言,有三個問題屬記憶水平的問題,學生只需要根據(jù)對已有知識的回憶就可以作答,并不需要思考,兩個問題屬于解釋水平的問題,學生需要根據(jù)自己的理解,結(jié)合問題的情景,思考后作答.只有一個問題“如何建立橢圓的方程?”這本該是一個具有探究意義的問題,但正如前文所述,教師有意地將學生的思路引向以“建、設、限(現(xiàn))、代、化”為程序的直接法,使得學生的認知水平下降,而隨后教師又將推導過程通過幾個子問題進行引導,這種“小步走,多鋪墊”的處理,為學生的推導鋪平了道路,掃清了障礙,同時也使得推導過程能夠按照教師的預設順利進行,但從學生認知水平來講,這一做法使得學生的思考力水平進一步下降,本該是需要思考甚至探究的問題,但是由于過多的鋪墊和引導,使得學生的思考變成了填空式問答.
4.關于課例中教師的理答技巧
恰當?shù)脑O問僅僅是維持合理認知水平的前提,但是當學生對問題給出回答后,教師的反應也就是理答技巧同樣重要,因為教學的預設和生成往往會有差距,特別是學生的回答可能并沒有達到教師的預期,這就需要教師針對學生的回答給出適當?shù)幕仞?一般來說,教師的理答內(nèi)容主要包含:鼓勵和評價、歸納答案、匡補探究、合理追問這幾個方面,其中的匡補探究主要指教師對學生回答中的錯誤進行糾正,而合理的追問往往能起到提高學生認知水平的作用.
課例中教師一共處理了19位同學的回答,應當說教師特別注意對學生進行正面評價和鼓勵,也能適時總結(jié)學生的答案,也有恰時恰點的追問,師生互動頻繁、氣氛熱烈.但是有些問題的回答有改進的空間,特別是當教師對學生回答的評價除了鼓勵外,更要注重理性分析,指出優(yōu)點和缺點,并通過追問維持和提高學生的思考、認知水平.在此筆者舉兩例:
先后有兩名學生做出回答,學生B直接平方,學生C先移項后平方,但是教師的回答都是對學生的化簡“功夫”進行了贊賞,缺乏理性的分析和追問,對兩種處理方法的優(yōu)劣沒有具體分析,
問題:如何建系比較好?
應當說這一個問題具有探究性,是一個好問題,學生D給出了合理的答案,但是學生的回答僅僅是根據(jù)對稱性提出的猜想,在方程沒有推導出來之前,并不能很好的解釋其建系的合理性,這就要求教師在得出橢圓標準方程之后,追問:“如果橢圓的中心不在原點,其方程有何變化?”這樣就能使學生真正認識到將原點放在橢圓中心的合理性.
通過以上課例的研究和思考,筆者以為,就當前的教育實踐來看,學生認知水平下降是一個比較普遍的問題,維持和提高學生的認知水平,確實應該是數(shù)學教師應該努力達成的目標.
1.認知水平下降是目前普遍存在的問題
從課堂教學的三個認知水平來看,記憶水平的課思維層次低,但是數(shù)學知識也需要記憶,所以不能簡單地全盤否定,而解釋水平的課應當是大多數(shù)教師追求的目標,因為把知識講清講透是教學的基本追求,但是解釋水平的課也有不足,往往過分依賴已有的解題模式,容易形成思維定式,不利于創(chuàng)造,所以還要在達到解釋水平的基礎上,大力提倡探究水平的課.但是從教學的現(xiàn)實情況來看,以下兩個問題是普遍存在的:
(1)本該是解釋水平的課,不少教師卻將其下降為填空式問答,或者通過記憶解題模式并結(jié)合習題的反復演練進行鞏固,學生的思考力水平明顯處于低層次.
(2)本該是探究水平的課,卻由于教師過多的干預,引導,失去了探究的意義,“表面上在探究,實際上在講解”,認知水平下降.
2.如何維持和提高學生的認知水平是值得每位教師思考的問題
數(shù)學教學的過程同時也是學生思維水平發(fā)展和提升的過程,學生通過具體的認知活動使得自己的思維能力和數(shù)學素養(yǎng)得到提高,而認知水平的高低,直接關系到教學目標的達成,所以,在教學設計和實施的過程中,應當時刻關注學生認知活動的水平,根據(jù)筆者的經(jīng)驗和思考,以下幾點是值得注意的:
(1)課堂設問要關注問題的認知水平,使其合乎教學目標的要求.
(2)在學習過程中給學生必要的腳手架是必要的,但過多的鋪墊和干預會降低學生的認知水平.
(3)教學的預設和生成往往會有差距,學生對問題的回答并不一定符合教師的期望,特別是學生的回答往往缺乏必要的探究,有些答案甚至是通過猜測得出的,這樣一來學生的認知水平就需要教師通過追問來提升和維持.
(4)教師要有合理的理答技巧,除了給出必要的鼓勵,還應當給出理性的評價,從數(shù)學的角度評價學生回答的優(yōu)劣,并給出合理的建議和改進的方向.
1.王克亮.在教育價值的視角下設計教學[J].中學數(shù)學教學參考:2013(12).
2.顧泠沅.《尋找中間地帶:國際數(shù)學教育改革的大趨勢》[M].上海:上海教育出版社,2003.