“說錯”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐與思考

馬玉芳+王海榮

[摘 要] 數(shù)學(xué)習(xí)題糾錯，是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要內(nèi)容之一. 長期以來的以教師講評為主的課堂教學(xué)方式卻在糾錯教學(xué)的效果上難如人意. 依托課題研究中引入的“學(xué)習(xí)金字塔理論”，進(jìn)行由學(xué)生主導(dǎo)的“說錯”課堂教學(xué)實踐，把課堂還給學(xué)生，則有效地化解了傳統(tǒng)教學(xué)的弊端.

[關(guān)鍵詞] 說錯；數(shù)學(xué)教學(xué)；學(xué)習(xí)金字塔理論；實踐

緣起

習(xí)題講評，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，習(xí)題講評中糾正學(xué)生做題中的典型錯誤，則構(gòu)成了教學(xué)的重點與難點.

傳統(tǒng)的教學(xué)過程，往往是由教師主導(dǎo)，在詳細(xì)分析了學(xué)生習(xí)題中的錯誤之后，有針對性地進(jìn)行備課，然后在課堂上進(jìn)行講評、重申，換以不同角度剖析，設(shè)置針對性訓(xùn)練以強(qiáng)化，基本上就算完成了一個教學(xué)周期. 但是，這種糾錯教學(xué)的效果，總是令人不甚滿意，許多典型的錯誤，即使是教師在課堂上講評了，幾天或一周后再練，出錯率仍舊很高. 根據(jù)我們一項調(diào)研發(fā)現(xiàn)，高三學(xué)生在數(shù)學(xué)習(xí)題上的二錯率（即教師糾錯講評后一周通過變式練習(xí)重新檢測該知識、技能、方法，仍舊出錯的比率）達(dá)46%，以至于有教師無奈地嘆息：都講了N遍了，再考還錯.

“學(xué)習(xí)金字塔理論”啟示我們，傳統(tǒng)教學(xué)中的習(xí)題糾錯，是典型的被動式學(xué)習(xí)，教師在講評，但那是源于教師自己的認(rèn)知與經(jīng)驗系統(tǒng)的糾錯，是基于教師認(rèn)知水平的思維，它不是學(xué)生的思維，尤其不是出錯學(xué)生的思維與認(rèn)知路徑. 要達(dá)到效果好的主動學(xué)習(xí)，就要追求“學(xué)習(xí)金字塔理論”中的最好階層——“講給別人聽”（也譯為“教授給他人”）. 只有出自于出錯學(xué)生自己的認(rèn)知與思維，讓他們的思維用語言外化，把出錯過程暴露出來，這樣的糾錯，才可能更具有深刻性. 于是，讓學(xué)生“說錯”，把習(xí)題講評的課堂交給學(xué)生，讓學(xué)生在典型錯誤上“講給別人聽”，從而達(dá)到個體主動學(xué)習(xí)的高效，引領(lǐng)其他學(xué)生的思維趨于深刻，就成為筆者的思考和嘗試. 本文中的“說錯”的“錯”，僅指學(xué)生在做數(shù)學(xué)習(xí)題時產(chǎn)生的典型錯誤.

實踐

1. 日常習(xí)題

日常習(xí)題，即是非正規(guī)考試的日常作業(yè)類習(xí)題. 這類習(xí)題中的典型錯誤，一般是由教師發(fā)現(xiàn)后，指定具有典型性錯誤的某一學(xué)生先期準(zhǔn)備，然后，作為其后課堂教學(xué)的一個環(huán)節(jié)，讓有所準(zhǔn)備的該學(xué)生來講評，也就是來“說錯”.

基本程序：學(xué)生展示其出錯過程，分析出錯原因，指出相關(guān)的知識點、方法或技能，如何更正，其他學(xué)生補(bǔ)充，教師點評.

例1：設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比.

師：請甲同學(xué)來講評.

甲：這是我的解題過程（展示）：因為S3+S6=2S9，所以+=2，

即q3（2q6-q3-1）=0. 因為q≠0，所以 q=-或q=1.

錯誤在于q=1時，已知條件變成3a1+6a1=2·9a1，這個條件不成立. 因為忘記了檢驗.，所以導(dǎo)致了錯誤.

師：講評得很好. 是不是要解完了題再加上檢驗?zāi)?？（面向全體學(xué)生）

因為是課堂的一個環(huán)節(jié)，故而為保證教學(xué)效果，課前，教師要幫助學(xué)生規(guī)范語言甚至教態(tài). 但必須注意的是，要保證學(xué)生對其錯誤展示的原生態(tài)，是學(xué)生自己的思維而不是教師的思維. 學(xué)生的展示和剖析，雖然可能不如教師來得規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，但是筆者恰恰以為，這才是最具有學(xué)生思維特點的教學(xué).

2. 考練習(xí)題

高三年級，尤其進(jìn)入備考階段，考試是很頻繁的. 無論是章節(jié)性考試，還是綜合性考試，都是課表上計劃的重要內(nèi)容. 這類考練，都由完整的試卷構(gòu)成，試卷暴露出來的錯誤，構(gòu)成了后續(xù)教學(xué)的主要內(nèi)容. 因此，考試后的試卷講評，對習(xí)題中典型錯誤的糾錯，并以此展開更深入的、富有針對性的教學(xué)，往往有著非同一般的意義. 基于讓學(xué)生“講給別人聽”的理念，這類“說錯”的課堂，基本流程如下：

一是學(xué)生學(xué)習(xí)小組承包. 考試之前，哪個學(xué)生學(xué)習(xí)小組承包本次試卷講評，就是很明確的，便于學(xué)生提前具有“說錯”的思想準(zhǔn)備，也便于學(xué)生進(jìn)行“說錯”的課堂準(zhǔn)備.

二是承包學(xué)習(xí)小組集體備課. 承包小組的這幾位學(xué)生，會有意識地在考試后、在參與試卷評判、在全班學(xué)生中，收集典型錯例及其相關(guān)內(nèi)容，然后在教師的指導(dǎo)下集體備課，明確分工，剖析錯誤.

三是承包課堂. 該學(xué)生小組承包其后的習(xí)題講評課，進(jìn)行“說錯”教學(xué). 小組學(xué)生根據(jù)課前分工，分別對不同的題目、不同的錯例，擔(dān)當(dāng)“教師”角色，在課堂上進(jìn)行“說錯”教學(xué). 教師則做好點評、補(bǔ)臺以及安排針對性訓(xùn)練的工作. 要求教師的點評簡明扼要，不喧賓奪主.

例2：已知（x+2）2+=1，則x2+y2的取值范圍是__________.

錯在哪里？不能小于零. 忘記了在原來條件中，無論x還是y，取值都是受限制的.

由已知，（x+2）2=1-，解得-3≤x≤-1. 這時，結(jié)論該是什么呢？（學(xué)生做）

師：分析得很清楚，隱含條件往往成為“陷阱”. 那么這個題目哪位同學(xué)還有不同思路呢？

生丙：類比sin2α+cos2α=1，可用三角代換.

生?。阂阎獮橐粋€橢圓方程，為橢圓上的點到原點的距離的平方.

為了保證學(xué)生思維的完整性，要指導(dǎo)學(xué)生將“說錯”的重點放在出錯的過程上，展示出錯的思維過程，以期達(dá)到認(rèn)識上的頓悟.

在更正部分盡量讓其他學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充，鼓勵解法的多樣性. 通過“一題多解”，會更好地加深對習(xí)題所承載知識與方法的理解與掌握，激發(fā)興趣. 這種“說錯”，不僅會促進(jìn)交流，而且會增進(jìn)學(xué)生之間的思維交鋒，提高其思維的廣闊性.

思考

（1）文中“說錯”的平臺是“說題”，其中的關(guān)鍵詞是學(xué)生的“說”. 學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，就是不斷接受新認(rèn)知、不斷糾正錯誤、不斷完善知識建構(gòu)的過程. 在這個過程中，思維是核心，出錯也是思維的結(jié)果. 只不過，“思維是無聲的語言”，這種無聲是內(nèi)在，沒能充分調(diào)動外在感官的參與，因此，“講給別人聽”的“說錯”，讓言語成為出聲的思維，這就契合了課堂教學(xué)的特質(zhì). 不僅“說錯”的學(xué)生達(dá)到了很高的學(xué)習(xí)效率，而且由于學(xué)生有著相近甚至相同的思維模式，對于“聽錯”的學(xué)生來說，也達(dá)到了由教師講評糾錯所達(dá)不到的教學(xué)效果.

事實上，嘗試與實踐一個學(xué)期后，筆者再次調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的二錯率最高也不超過20%，更為可喜的是，由學(xué)生進(jìn)行“說錯”而帶來的一些變化超乎原來預(yù)料. 比如，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、參與課堂教學(xué)的熱情大大提高了. 比如，“說錯”有效地訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力，“說”的自信明顯增強(qiáng)，鍛煉了學(xué)生的口頭表達(dá)能力. 口頭表達(dá)，難度比書面表達(dá)更大，更能反映學(xué)生的理解程度.

（2）這個讓學(xué)生“說錯”的教學(xué)實踐，只是筆者在做課題《高中數(shù)學(xué)教學(xué)中基于“教授給他人”的主動學(xué)習(xí)研究》中的一個小片段，嘗試的時間較短，介入的班級也較少，相關(guān)的實踐途徑?jīng)]有進(jìn)一步拓展. 因此，結(jié)論還顯得稚嫩，實踐也難免粗陋. 但是，對于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，感覺前景很廣闊.

（3）“說錯”的理論依據(jù)是“學(xué)習(xí)金字塔理論”，但筆者感覺，“說錯”是“講給別人聽”的一種途徑，要真正構(gòu)建“學(xué)習(xí)金字塔理論”下的數(shù)學(xué)高效課堂，僅有“途徑”是不夠的，需要學(xué)生在教師的指導(dǎo)和幫助下，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方方面面，養(yǎng)成“講給別人聽”的主動學(xué)習(xí)習(xí)慣. 當(dāng)學(xué)生把內(nèi)部思維語言轉(zhuǎn)化為外部表述語言時，就有機(jī)會認(rèn)識自己是怎么想的，自己的想法是怎樣起作用的，也就對自己的認(rèn)知活動進(jìn)行了再認(rèn)識，所以，“說錯”的有效性源于“元認(rèn)知開發(fā)”.

“說錯”，不僅要求學(xué)生說清楚出錯的過程，還要讓其他學(xué)生聽得明白，逼迫學(xué)生去追溯自己的思維過程，逼迫學(xué)生整理自己的思路以形成一個完整的流程，將內(nèi)隱的、個體的思維轉(zhuǎn)化為外顯的、規(guī)范的言語及教學(xué)行為，將自己一個個跳躍的、不連貫的思維點轉(zhuǎn)化為一個連續(xù)的思維過程，并用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎銮宄@些內(nèi)容都屬于元認(rèn)知的范疇. 不僅可以讓學(xué)生對典型錯誤的認(rèn)識深入骨髓，久而不忘，而且，還鍛煉了學(xué)生“看得見的思維”. “做題十遍，不如講說一遍”.

（4）為使課堂上學(xué)生“說錯”能順利進(jìn)行，教師在教學(xué)過程中，要盡量少用提示語，克制隨時介入教學(xué)的沖動，盡量保持學(xué)生思維呈現(xiàn)的原生態(tài). 學(xué)生限于認(rèn)知上的局限，尤其在“說錯”的開始階段，難免會表達(dá)不流利，數(shù)學(xué)語言不規(guī)范，加上怯場，影響展示效果. 這時，需要教師對課堂氛圍進(jìn)行營造，對“說錯”的學(xué)生進(jìn)行鼓勵，以及在課前進(jìn)行較為具體的“說”的指導(dǎo).