數(shù)學(xué)活動(dòng)：一種“經(jīng)驗(yàn)性思維”的改造

徐小紅

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)活動(dòng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，具有活動(dòng)性、數(shù)學(xué)化、內(nèi)隱性等系列特質(zhì). 教學(xué)中，要將數(shù)學(xué)活動(dòng)導(dǎo)入學(xué)生的“經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)”，引領(lǐng)學(xué)生展開經(jīng)驗(yàn)性數(shù)學(xué)活動(dòng)、探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)和反思性數(shù)學(xué)活動(dòng). 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中復(fù)演人類的生命實(shí)踐歷程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法！

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)活動(dòng)；內(nèi)涵特質(zhì)；教學(xué)策略

高中數(shù)學(xué)知識(shí)不僅涵括靜態(tài)的“結(jié)果形態(tài)”的知識(shí)，更包括動(dòng)態(tài)的“過程形態(tài)”的知識(shí). 作為“過程形態(tài)”的知識(shí)，教師必須引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化活動(dòng)”. 而真正的數(shù)學(xué)化活動(dòng)需要解決兩個(gè)問題，即“什么活動(dòng)”和“怎樣活動(dòng)”. 前者是活動(dòng)內(nèi)容的問題，后者是活動(dòng)形式的問題，這兩個(gè)問題在學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)中是辯證統(tǒng)一的，它們都依賴于學(xué)生個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)課程知識(shí)進(jìn)行矛盾運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物. 因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)要主動(dòng)跟進(jìn)甚至超越課程知識(shí). 正是在這個(gè)意義上，教育家杜威先生認(rèn)為，教學(xué)即“學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的改造與重組”.

高中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的內(nèi)涵特質(zhì)

學(xué)生的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”是與學(xué)生的觀察、操作、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)緊密聯(lián)系在一起的. 與數(shù)學(xué)“客觀知識(shí)”相比，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”具有活動(dòng)性、數(shù)學(xué)化、內(nèi)隱性的特質(zhì).

1. “活動(dòng)化”特質(zhì)

數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的源泉，學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的產(chǎn)物. 無論是外顯的操作活動(dòng)還是內(nèi)隱的思維活動(dòng)都應(yīng)讓學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷. 例如，教學(xué)“棱柱、圓柱的體積”時(shí)，筆者借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，準(zhǔn)備好“底面積”和“高”分別相等的長方體、圓柱體、斜五棱柱等. 讓學(xué)生用沙子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，最后進(jìn)行公式推導(dǎo). 如此，抽象的公式經(jīng)由形象的數(shù)學(xué)活動(dòng)而讓學(xué)生獲得了理解.

2. “數(shù)學(xué)化”特質(zhì)

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”不是一般的活動(dòng)，而是必須具備鮮明的數(shù)學(xué)特征，也即是必須具備數(shù)學(xué)特質(zhì)，有“數(shù)學(xué)味”. 在高中數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)中，教師要警惕“數(shù)學(xué)味”的流失，警惕“去數(shù)學(xué)化”傾向. 如教學(xué)“用二分法求方程的根”，一位教師設(shè)計(jì)了“猜價(jià)活動(dòng)”，在學(xué)生忽高忽低的猜測中，教師引領(lǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)算法，從數(shù)學(xué)的角度分析. 學(xué)生經(jīng)過交流形成共識(shí)：首先是價(jià)格必須存在一定的區(qū)間，其次是逐次逼近. 不僅如此，該教師還引進(jìn)了華羅庚的“0.618優(yōu)選法”，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視界.

3. “內(nèi)隱性”特質(zhì)

作為一種“緘默性知識(shí)”，由數(shù)學(xué)活動(dòng)所積累的經(jīng)驗(yàn)對(duì)高中生來說是個(gè)體的、內(nèi)隱的. 數(shù)學(xué)活動(dòng)是與學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探索有機(jī)聯(lián)系在一起的，很多情況下是一種“意會(huì)知識(shí)”. 如“距離”概念，從小學(xué)階段學(xué)生就開始接觸“距離”這一數(shù)學(xué)概念，但許多概念在學(xué)生頭腦中是一種不科學(xué)的“迷思概念”. 為此，筆者在教學(xué)中首先厘清“距離”概念，從“兩點(diǎn)之間的距離”到“直線外的一點(diǎn)到直線的距離”再到“平行線之間的距離”，讓學(xué)生思考“距離”的數(shù)學(xué)本質(zhì)——“最小值”. 如此，學(xué)生自然能理解“平行面的距離”“異面直線的距離”等.

高中數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)智慧得以形成的基石. 高中數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)該而且必須超越傳統(tǒng)單一的“紙筆數(shù)學(xué)”，將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)向?qū)W生豐富的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)反思、數(shù)學(xué)猜想驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面. 通過活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)將由“工具理解”提升至“關(guān)系理解”！

1. 切入學(xué)生“經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)”，展開經(jīng)驗(yàn)性數(shù)學(xué)活動(dòng)

學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的改造是連續(xù)的過程. 因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要探尋學(xué)生的“前數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”，讓教學(xué)切入學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，豐富經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng). 教學(xué)“正弦曲線的作圖”，許多教師常常自己設(shè)計(jì)程序用電腦作圖，作出的圖非常的美觀、準(zhǔn)確. 但在這里，學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解是膚淺的. 為此，筆者讓學(xué)生用學(xué)過的“描點(diǎn)法”作圖像（函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]），看到一些學(xué)生的圖歪歪扭扭，筆者讓學(xué)生討論，如何將圖作準(zhǔn)確、美觀. 學(xué)生經(jīng)過討論，認(rèn)為問題在于像“”“”等這些無理點(diǎn)描不準(zhǔn). 于是筆者再一次讓學(xué)生交流，如何將這些無理點(diǎn)準(zhǔn)確描繪. 如此，學(xué)生不僅鞏固了作圖法，更為重要的是學(xué)生的數(shù)學(xué)新知是建立在學(xué)生的已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的，是建立在學(xué)生自主活動(dòng)基礎(chǔ)之上的.

2. 復(fù)演人類生命實(shí)踐過程，實(shí)施探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)是人類“生命·實(shí)踐”活動(dòng)的智慧結(jié)晶. 作為學(xué)生，他們不可能重復(fù)人類的活動(dòng)過程，只能重蹈人類探索活動(dòng)中的關(guān)鍵步子. 在教學(xué)中，教師要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)教材進(jìn)行組織處理，讓學(xué)生展開替代性數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“數(shù)學(xué)化”過程.

例如，學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)”，筆者設(shè)計(jì)如下富有層次的活動(dòng)，讓學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展.

（1）活動(dòng)導(dǎo)入：討論方程“（2x-1）·（x-1）（x2-2）（x2+1）=0”的解的情況.

（2）能否擴(kuò)充數(shù)系，讓方程“x2+1=0”有解？

（3）讓虛數(shù)單位參與實(shí)數(shù)運(yùn)算，結(jié)果怎樣？

（4）實(shí)數(shù)m分別取什么值，復(fù)數(shù)z=m+1+（m-i）i是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？

由于高中數(shù)學(xué)的抽象性、深刻性，教學(xué)時(shí)教師可以運(yùn)用各種手段（如課件、畫板、錄像等）展開數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)拾級(jí)而上，在無法得到“直接經(jīng)驗(yàn)”時(shí)也要盡可能讓學(xué)生獲得一種“間接經(jīng)驗(yàn)”，獲得一種“替代性體驗(yàn)”！唯有如此，學(xué)生才能深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).

3. 提升數(shù)學(xué)思想方法，引領(lǐng)反思性數(shù)學(xué)活動(dòng)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)說到底是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). 在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，必須引領(lǐng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本體及知識(shí)形成過程展開高質(zhì)量的反思. 唯有引領(lǐng)學(xué)生展開反思性數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)才能發(fā)生“躍遷”，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)素養(yǎng). 如教學(xué)“等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式”，筆者引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)過小組交流，在全班展示階段，他們共出示了3種推導(dǎo)方法. 如下所示：

教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)他們自主探究的“原初方法”進(jìn)行反思：自己是用怎樣的方法解決問題的？獲得了哪些思想上的啟迪？通過“比較分析”，引領(lǐng)學(xué)生從不同視角剖析“等比數(shù)列求和公式”，感受不同數(shù)學(xué)方法熠熠生輝的力量. 如方法1的“錯(cuò)位相減”的構(gòu)造，方法2的“整體與部分”的建構(gòu)，方法3的“合分比”的探究等. 通過反思，提升學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思維經(jīng)驗(yàn)，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的改造.

4. 凸顯學(xué)生本質(zhì)力量，進(jìn)行展示性數(shù)學(xué)活動(dòng)

在高中數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)中，要讓學(xué)生用自己的眼光去看待數(shù)學(xué)問題，用自己的語言對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行歸納總結(jié)，以便讓活動(dòng)內(nèi)化為自身的知識(shí)和體驗(yàn). 展示交流時(shí)，不僅要交流活動(dòng)結(jié)果，更要交流活動(dòng)過程和心得體會(huì). 如教學(xué)“雪花曲線”（如圖1），師生、生生之間進(jìn)行著充溢美感的展示活動(dòng)：

師：同學(xué)們，我們能不能從一個(gè)等邊三角形出發(fā)作出正六角形的雪花？

（學(xué)生交流）

生1：我們組認(rèn)為可以，從等邊三角形每條邊的中間再分別向外作等邊三角形，但邊長只是原來的三分之一.

生2：我們組發(fā)現(xiàn)，每一次生長的三角形的邊長都是前一個(gè)三角形邊長的三分之一.

師：如果我們將探究的觸角延伸至圖形的邊數(shù)、周長、面積，我們又會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？（學(xué)生交流）

生3：我們組用了一個(gè)表格整理出我們的發(fā)現(xiàn). （小組出示表格，如表1）

師：同學(xué)們，你們剛才的探究就是瑞典數(shù)學(xué)家科赫得到的“雪花曲線”，從中我們應(yīng)該能夠感受到數(shù)學(xué)的美……

在數(shù)學(xué)交流展示活動(dòng)中，教師要放手讓學(xué)生自己探究、交流，因?yàn)閷W(xué)生自己的探究成果表征著學(xué)生自己的本質(zhì)力量，學(xué)生自我的探究成果更容易理解和接受. 在展示性數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師要努力創(chuàng)設(shè)民主、寬松、自由的氛圍，從中傾聽、發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)撥，讓學(xué)生相互補(bǔ)充、更正、完善. 如此，讓不同層次學(xué)生的潛能都能得到積極的開掘.

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是學(xué)生知能形成的沃土，它不僅是高中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的重要目標(biāo)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成和發(fā)展的基礎(chǔ). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要精心創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)展開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)反思等. 讓學(xué)生不僅獲得經(jīng)驗(yàn)性思維的提升，更能獲得豐富的“過程性體驗(yàn)”“情感性體驗(yàn)”與“反思性體驗(yàn)”！