淺談分層教學在“相似三角形”教學中的嘗試

蔣劍

【摘要】 學生在學習過程中存在不可避免的個體差異，為了讓各類學生都學有收獲，嘗試在課堂教學中進行分層教學：在同一問題中挖掘不同難度的問題嘗試分層教學，在同一類基本圖形下不同變式圖形的分層教學嘗試，同一問題背景下改動條件進行分層教學的嘗試.

【關鍵詞】 分層教學；相似；基本圖形

“圖形的相似”是八年級下學生學習的章節(jié). 這一章的內(nèi)容比前面的幾何內(nèi)容不管是在思維廣度還是思維深度，對學生都提出了更高的要求. 它是全等的“一般化”，對兩圖形的約束條件從等角等邊到等角、邊成比例. 從完全一樣的兩個圖形到形狀一樣的兩個圖形，單單從圖形上就更難辨析出來.所以學生在學這一章節(jié)的時候，往往覺得有些吃力. 中等學生覺得題目千變?nèi)f化，有些頭緒不清；基礎薄弱的學生就覺得無從下手，痛苦萬分；而優(yōu)等生又覺得有些意猶未盡，有點“吃不飽”的感覺. 為了解決這一矛盾，讓各類學生在學習這一內(nèi)容的時候都有所收獲，我嘗試著在課堂教學中實施分層教學.

因為受課堂教學空間和時間的限制，不可能在同一時間完全針對一類學生進行有效的教學，所以我就想到，只有在教學模式和教學內(nèi)容上做文章，進行調(diào)整.于是，我在具體課堂教學中進行了如下的嘗試.

1. 在同一問題中挖掘不同難度的問題嘗試分層教學

這是教材安排在“相似三角形的基本性質(zhì)”之后，用于鞏固“相似三角形對應高的比等于相似比”的典型例題.我們可以從較為復雜的圖形背景中找出△AHG∽△ABC，證出結(jié)論.

本題中由正方形條件可以馬上得到平行，而平行是構(gòu)成相似三角形的最基本圖形.如果再給出圖中一些線段的長度，就可以把這個三角形的內(nèi)接正方形的邊長求出來，而這也是一個很基本的題型.

問題1：如圖3，在△ABC中，∠BAC = 90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點.

分層問題1：若AB = AC = 1，直接寫出MN的長.

這個問題可以讓中下的學生思考.對引例中的三角形加強了條件，由原來的一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切?本題，要去證明△DBG和△EFC是等腰直角三角形，再由正方形的性質(zhì)，可得BG，GF，F(xiàn)C三條線段等長，再利用引例中的結(jié)論可求出MN的長度.

分層問題2：求證MN2 = DM·EN.

這個分層問題由中上的學生思考回答.題中，還是在△BDG，△EFC這兩個三角形上做文章，不過是要證明它們相似，得到BG，DG，EF，F(xiàn)C這四條線段的一個等積關系，再利用正方形四條邊相等和引例中的結(jié)論，等量代換即可得證.

在一個大題的背景下，通過設置不同難度層次的問題，讓不同層次的學生有針對性地思考，既避免問題太難讓部分基礎差的學生產(chǎn)生畏難情緒，也保證了部分優(yōu)等生向思維深度發(fā)展.而且這兩個問題本身也有一些聯(lián)系，可以讓全班學生在聽了這兩個分層小題的講解后都有些許收獲，說不定會讓部分中等學生得到一些啟發(fā)，得到靈感.

2. 在同一類基本圖形下不同變式圖形的分層教學嘗試

原例2：如圖4，點B，P，C在同一條直線上，且∠ABP = ∠APD = ∠C = 90°，我們可以得到結(jié)論：△ABP∽△PCD.

我們不妨把具備這種條件的圖形叫作“一線三等角”型基本圖形.本題把其中的三等角特殊化，讓它們都為直角，難度降低，學生容易思考，可以利用余角定理證相似，便很容易得到結(jié)論.

分層問題1：如圖5，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上一點，∠EDF = 60°.求證：△BDE∽△CFD.

這個分層問題由中下學生思考回答.把原例中的3個直角變換為3個60°角，利用三角形內(nèi)角和180°的性質(zhì)，得到∠BED = ∠C，進而可證出相似.這個問題和原例相比，雖然圖形形狀略有不同，但同樣具備一線三等角的條件，而且給出的是具體的度數(shù)，讓中下的學生比較容易下手.

分層問題2：如圖6，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5，AB = CD = 2，P為AD上一點，滿足∠BPC = ∠A. ①求證：△ABP ∽ △DPC；②求AP的長.

這個分層問題可以由中上等學生思考回答.這個問題就沒有給出具體的度數(shù)，只是給出三個角相等的關系，但只要抓住本質(zhì)，利用等式基本性質(zhì)即可得到另一組相等的角.

通過這幾個例題的講解，其實不管這三個等角的具體的度數(shù)也好，還是銳角、直角或者鈍角也好，都能構(gòu)造出一對相似三角形.只要抓住“一線三等角”這類基本圖形的本質(zhì)和特點，就能在更為復雜的圖形中找到其中的相似，快速解題.下面再給出兩張圖形（圖7，圖8），都是與一邊的延長線有交點，可以檢驗學生是否掌握對“一線三等角”基本圖形的識別.

3. 同一問題背景下改動條件進行分層教學的嘗試

原例3：如圖9，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（-1，0）.以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點B的對應點B′的橫坐標是a，則點B的橫坐標是

原題是位似在坐標系下的一個應用，因為位似中心并不在坐標系原點，所以對學生來講還是有些困難.這個原題可以給中上等的學生思考回答.

為了讓中下等學生也能感受一下位似在坐標系中的應用，我就把題目中的一個條件改了，就讓點C成為坐標系的原點，其他條件不動（圖10），學生也更容易入手解這個題目，很容易想到通過過點B，B′向x軸作垂線來解決.而一部分中上等的學生可能一開始也沒什么思路，通過改動題的講解，也容易打開思路，讓這個改動題成了一個“腳手架”，幫助一部分學生攀登更高處.

學生的個體差異性是客觀存在的，如何在有限的課堂教學中，讓更廣泛的、不同層面的學生在課堂學習中能有收獲，既體現(xiàn)了義務教育的公正公平，又體現(xiàn)了對每名學生負責，讓他們在美好的青春期學到更多的知識、技能和方法，為終身學習打好堅實基礎，這也是我們教師能量和作用的最大化釋放，個人價值的最大化體現(xiàn).但是同時對我們教師也提出了更高的要求，不僅要求我們教師在備課中要充分考慮各層次學生的訴求，也要對原有的教育資源進行整合和再加工.但是不管如何辛苦，為了能更好地響應《2011年版數(shù)學課程標準》的頒布和實施，讓人人能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，我們做這些嘗試是完全有必要的，中間過程一定會有失敗和挫折，但在不斷地改進下，肯定會做得越來越好.