探析數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

姚明強(qiáng)

【摘 要】本文結(jié)合教學(xué)理論，對(duì)化歸思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行探討，以期對(duì)提高高中學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提供幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法 化歸思想 教學(xué)效率

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）11B-0154-02

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)會(huì)解決問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。因此，掌握數(shù)學(xué)的解題思想對(duì)數(shù)學(xué)解題至關(guān)重要。在高中數(shù)學(xué)解題中，所運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法不盡相同，但其本質(zhì)上都是化歸思想。如數(shù)形結(jié)合思想所展示的是數(shù)和形的轉(zhuǎn)化，函數(shù)思想所展示的是動(dòng)和靜的轉(zhuǎn)化，分類思想所展示的則是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題整體和局部的轉(zhuǎn)化。無(wú)論是哪一種思想方法，化歸思想都是其中的精髓。

當(dāng)前，學(xué)子間的高考競(jìng)爭(zhēng)愈發(fā)激烈，新形勢(shì)下，國(guó)家對(duì)人才的知識(shí)、能力上的要求也更加嚴(yán)格。因此，如何提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，是亟需解決的問(wèn)題。提高學(xué)習(xí)效率對(duì)于高中學(xué)生而言，不僅解決了緊迫的學(xué)習(xí)時(shí)間和學(xué)習(xí)要求的矛盾，而且極大地減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，是否可以做到善于學(xué)習(xí)、舉一反三、靈活運(yùn)用，關(guān)鍵在學(xué)生有沒(méi)有掌握一套適合自己的解決問(wèn)題的思想方法。學(xué)生掌握解題思想方法又需要得益于教師的影響。有鑒于此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段，比之“填鴨式”的知識(shí)傳授，教授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法更有意義。

一、化歸數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）解析幾何的轉(zhuǎn)化

一般而言，解決解析幾何的關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，換言之，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)方法，進(jìn)而形成幾何條件代數(shù)化、代數(shù)運(yùn)算幾何化的局面。讓問(wèn)題從復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，讓學(xué)生更易理解問(wèn)題核心，并且學(xué)會(huì)優(yōu)化解題過(guò)程。

圓錐曲線長(zhǎng)期以來(lái)都是高考數(shù)學(xué)的內(nèi)容之一，也是學(xué)生較難解決的問(wèn)題。其原因就在于，學(xué)生并未真正地掌握?qǐng)A錐曲線問(wèn)題之中所涵括的一些數(shù)學(xué)思想方法，一味生硬盲目地解題，不善于將考試中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為日常練習(xí)的問(wèn)題，不擅長(zhǎng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決新的問(wèn)題，這是學(xué)生在解題中存在的主要問(wèn)題。

解析幾何的核心目的就是通過(guò)代數(shù)辦法去分析幾何問(wèn)題，但對(duì)部分圓錐曲線問(wèn)題，采取代數(shù)的辦法予以計(jì)算便會(huì)十分復(fù)雜，而假若把圓錐曲線轉(zhuǎn)移到平面幾何中來(lái)，又會(huì)獲得不錯(cuò)的解題效果。例如：

已知定點(diǎn) F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），N 是圓 O：x2+y2=1 上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) F1 關(guān)于點(diǎn) N 的對(duì)稱點(diǎn)為 M，線段 F1M 的中垂線和 F2M 相交于點(diǎn) P，求點(diǎn) P 軌跡是（ ）。

A.橢圓 B.雙曲線

C.拋物線 D.圓

分析本題可以發(fā)現(xiàn)，假使設(shè)出點(diǎn) N 的坐標(biāo)，將它代入到解析式中進(jìn)行運(yùn)算便會(huì)十分復(fù)雜，而如果用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將它轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，那么變?nèi)菀椎枚?，可非常快速地解題。因?yàn)?O，N 分別為 F1F2 和 F1M 的中點(diǎn)，所以 ON 平行 F2M，F(xiàn)2M=2，PM-PF2=2，PF1=PM，PF1-PF2=2。求得答案 P 的軌跡是 B選項(xiàng)雙曲線。

（二）數(shù)列的轉(zhuǎn)化

數(shù)列問(wèn)題同樣是高考中的必考內(nèi)容，其中又以求數(shù)列的通項(xiàng)公式為解決問(wèn)題的核心。通過(guò)遞推公式，求其通項(xiàng)公式是最近幾年來(lái)各地高考中的常考內(nèi)容之一。這一類型的問(wèn)題種類繁多，但也可以通過(guò)不同的解題思路來(lái)靈活運(yùn)用。在求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，大多都能夠?qū)⑺D(zhuǎn)化成等差數(shù)列來(lái)進(jìn)行解決。通過(guò)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式通常存在數(shù)種類型，而每種都對(duì)應(yīng)了相應(yīng)的解題辦法。

（三）函數(shù)的轉(zhuǎn)換

函數(shù)體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)世界中兩個(gè)變量間的關(guān)系，解題過(guò)程中，學(xué)生能夠通過(guò)觀察運(yùn)動(dòng)與變化，來(lái)解析自然界中具體問(wèn)題量的依存關(guān)系，剔除問(wèn)題中所涵括的非數(shù)學(xué)條件，那么通過(guò)函數(shù)的手段就可將這一類數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)出來(lái)。如此一來(lái)，就可構(gòu)造函數(shù)將最初的處于靜態(tài)關(guān)系下的兩個(gè)量轉(zhuǎn)化成為具有動(dòng)態(tài)關(guān)系的兩個(gè)量，接著再通過(guò)函數(shù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)予以解決。完成函數(shù)中動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化，也就是化歸思想的實(shí)現(xiàn)。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化歸思想的策略

（一）深度挖掘教材

教材絕非只是學(xué)生得到知識(shí)信息的載體，更是學(xué)生發(fā)展綜合能力的基礎(chǔ)，以及激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維、發(fā)展智慧的重要工具。因此，教師更有必要去深入分析教材，最大限度地挖掘教材內(nèi)在的思想方法。作為數(shù)學(xué)思想方法的精髓，化歸思維是初等數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中無(wú)可回避的重要思想方法，其不僅隸屬于數(shù)學(xué)這一門學(xué)科知識(shí)，而且更可作為高于一般數(shù)學(xué)知識(shí)并成為思維方法的源泉。高中數(shù)學(xué)教材中，部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)自身就涵括了相關(guān)的化歸思想方法，對(duì)此，教師需要按照具體的課本內(nèi)容將隱藏的內(nèi)容予以凸顯。在講清數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，將其背后的數(shù)學(xué)思想充分挖掘出來(lái)，進(jìn)而使學(xué)生不僅能夠知曉知識(shí)，而且能進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)思想的清華。如上述所提，一般數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中已經(jīng)涵括了十分豐富的可以利用化歸思想方法解題的多種素材。眾多的數(shù)學(xué)定理、公式、法則的證明過(guò)程，其本身就包含了化歸思想方法。只要稍加研究就可以發(fā)現(xiàn)，化歸思想方法幾乎是無(wú)處不在。因此，教師需要在教學(xué)階段，一步步地去引領(lǐng)學(xué)生挖掘教材中的化歸思想。

（二）采取“變式”教學(xué)

教師在教學(xué)階段，可以適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合“變式”教學(xué)?！白兪健本毩?xí)本質(zhì)上就是化歸過(guò)程的一種方法，“變式”這種方法就是把一個(gè)未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為學(xué)生所熟知的已知問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)已知問(wèn)題進(jìn)行探索，從而解決未知問(wèn)題?！白兪健碧幚硭枷敕椒ㄕ腔瘹w思想方法之一?！白兪健本毩?xí)能夠有助于使化歸思想從抽象變得具象，也能夠?yàn)閷W(xué)生指明了解題方向與思路。所以，教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)隨時(shí)關(guān)注“變式”教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法。

（三）拓寬解題思路

毋庸置疑，在數(shù)學(xué)解題時(shí)，學(xué)生只要多一種思路，便具備多一種解題辦法。一題多解便是力求去培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的視域去思考問(wèn)題，嘗試用不同的路徑對(duì)問(wèn)題實(shí)施化歸。教師在開(kāi)展教學(xué)階段，可以適當(dāng)?shù)夭扇∫活}多解的訓(xùn)練模式，來(lái)拓寬學(xué)生解題思路，以此來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的化歸解題水平。

（四）學(xué)會(huì)總結(jié)

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力必然是在長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)踐與答題訓(xùn)練中成長(zhǎng)起來(lái)的，可利用日常性的思維訓(xùn)練來(lái)強(qiáng)化其自身的思維能力。解題是進(jìn)一步提高學(xué)生化歸思想的一個(gè)重要途徑，而如果學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，那么將有助于學(xué)生更好地掌握化歸思想的途徑、思路以及方法。

教師所教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，只有學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)背景下實(shí)現(xiàn)主動(dòng)的建構(gòu)，方可真正掌握。如果教師只是把化歸的策略講給學(xué)生聽(tīng)，抑或是讓學(xué)生進(jìn)行機(jī)械式的模仿，那么學(xué)生也無(wú)法真正地知曉化歸思想方法，也不能將其運(yùn)用到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中來(lái)。因此，教師要在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過(guò)程中創(chuàng)造條件，使學(xué)生可以去體驗(yàn)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、探索、討論、求解的過(guò)程。在訓(xùn)練中，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)全新而又復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)可進(jìn)行化歸的辦法多種多樣，可是當(dāng)發(fā)現(xiàn)其中并沒(méi)有十足把握的辦法時(shí)，則需要對(duì)每一條路徑進(jìn)行分析，從而找到更好的方法，這樣就能使學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用化歸思想方法。平時(shí)教師就需要訓(xùn)練學(xué)生先在腦海中思考怎樣解答問(wèn)題，然后再動(dòng)手進(jìn)行解題，不要不經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考就盲目做題。

更為重要的是，在學(xué)生完成解題后，教師還應(yīng)當(dāng)去引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的解題思路進(jìn)行回顧、分析、總結(jié)、評(píng)價(jià)，進(jìn)一步去學(xué)會(huì)歸納解題的方法，并將之提升到思想方法上來(lái)。利用小結(jié)讓學(xué)生最大程度地理解化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的作用，并能比較熟練地掌握化歸思想方法，提高自身的思維能力。

綜上所述，化歸思想方法是數(shù)學(xué)訓(xùn)練中的重要構(gòu)成單元，它在數(shù)學(xué)解題中有直接、具體、強(qiáng)大的功能?！靶巍迸c“數(shù)”的轉(zhuǎn)化、“動(dòng)”與“靜”的轉(zhuǎn)化都有助于優(yōu)化學(xué)生的解題思路，進(jìn)一步化解知識(shí)重難點(diǎn)，易于學(xué)生理解重難點(diǎn)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能，使之學(xué)得更好。

【參考文獻(xiàn)】

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（責(zé)編 盧建龍）