夯實(shí)基礎(chǔ)，舉一反三，注重一題多解
——由一道數(shù)列題談高三復(fù)習(xí)

☉江蘇省 梁豐 高級(jí)中學(xué) 劉 燕

夯實(shí)基礎(chǔ)，舉一反三，注重一題多解
——由一道數(shù)列題談高三復(fù)習(xí)

☉江蘇省 梁豐 高級(jí)中學(xué) 劉 燕

一題多法可促進(jìn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的牢固掌握，提高解題水平，提高運(yùn)用已學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，優(yōu)化學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性、靈活性等品質(zhì)，有利于消除懂而不會(huì)現(xiàn)象.優(yōu)法采擷可提高學(xué)生的解題速度，優(yōu)化學(xué)生的解題方法和數(shù)學(xué)思維.注重課本習(xí)題的一題多解，從不同角度研究試題，從而提高解題能力.

一、題目

在數(shù)列｛an｝中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），你能否寫出它的通項(xiàng)公式？

分析：本題是一道形如an=pan-1+qan-2（n≥3，p，q為常數(shù)）的二階遞推數(shù)列求解其通項(xiàng)公式的問題，有一定難度，學(xué)生普遍感覺無從下手.筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，通過不同視角解決，試圖從根本上解決此類問題，供大家學(xué)習(xí)參考.

二、解題視角

視角1：將an=2an-1+3an-2轉(zhuǎn)化為an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3）得到數(shù)列｛an+1+an｝是以a2+a1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，得到｛an+1+an｝的通項(xiàng)公式，然后再進(jìn)一步利用構(gòu)造法進(jìn)行求解即可.

解法1：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），

而a1=5，a2=2，則數(shù)列｛an+1+an｝是以a2+a1=7為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，

即an+1+an=（a2+a1）·3n-1=7·3n-1，則an+1=-an+7·3n-1.

設(shè)an+1+x·3n=-（an+x·3n-1），即an+1=-an-4x·3n-1，則-4x= 7，即

解法2：同解法1求出an+1=-an+7·3n-1，將其變形為

視角2：將an=2an-1+3an-2轉(zhuǎn)化為an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3）得到數(shù)列｛an+1-3an｝是以a2-3a1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，得到｛an+1-3an｝的通項(xiàng)公式，再進(jìn)一步利用構(gòu)造法也可以將問題得以求解.

解法3：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數(shù)列｛an+1-3an｝是以a2-3a1= -13為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，即an+1-3an=（a2-3a1）·（-1）n-1=-13·（-1）n-1，則an+1=3an-13·（-1）n-1.

設(shè)an+1+x·（-1）n=3［an+x·（-1）n-1］，即an+1=3an+4x·（-1）n-1，則于是，數(shù)列為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，余略.

解法4：同解法3求出an+1=3an-13·（-1）n-1，將其變形為利用累加法可以得到，余略.

視角3：將角度1與2結(jié)合求解，將an=2an-1+3an-2分別轉(zhuǎn)化為an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3）與an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3）形式，得到數(shù)列｛an+1+an｝和｛an+1-3an｝的通項(xiàng)公式，然后消去兩通項(xiàng)公式中的an+1，進(jìn)而得到數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，從而使得問題輕松求解.

解法5：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數(shù)列｛an+1+an｝是以a2+a1=7為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，即an+1+an=7·3n-1.①

由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數(shù)列｛an+1-3an｝是以a2-3a1=-13為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，即an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

由①-②，得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1，

視角4：對(duì)于二階遞推數(shù)列也可以利用特征根法來解決，可使問題更易于求解.

解法6：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可知其對(duì)應(yīng)的特征方程為x2-2x-3=0，求得其特征根為λ1=-1和λ2=3.將等式an= 2an-1+3an-2（n≥3）可變?yōu)閍n+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），而a1= 5，a2=2，則數(shù)列｛an+1+an｝是以a2+a1=7為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，即an+1+an=7·3n-1.①

an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數(shù)列｛an+1-3an｝是以a2-3a1=-13為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

由①-②可得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1，

解法7：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可知其對(duì)應(yīng)的特征方程為x2-2x-3=0，求得其特征根為λ1=-1和λ2=3.

設(shè)an=A·（-1）n+B·3n，由a1=5，a2=2可得a1=A·（-1）+B· 3=5，a2=A·（-1）2+B·32=2，即-A+3B=5，A+9B=2，解得A=

對(duì)于二階遞推數(shù)列an=pan-1+qan-（2n≥3，p，q為常數(shù)），可利用其特征方程x2-px-q=0求出特征根λ1和λ2，按特征根將等式變形為an-λ1an-1=λ（2an-λ1an-）2和an-λ2an-1= λ（1an-1-λ2an-）2，可構(gòu)造等比數(shù)列求出an-λ1an-1和an-λ2an-1，通過解方程求解出an即可得到所求；當(dāng)然也可直接利用待定系數(shù)法設(shè)出，根據(jù)已知條件求解出A，B的值便可將問題得以順利求解（顯然后者更易于同學(xué)們接受）.

圖片拼接 由于通過單反相機(jī)+魚眼鏡頭拍攝的照片為單獨(dú)照片，需要進(jìn)一步對(duì)拍攝的圖像進(jìn)行拼接，在圖像拼接處理上采用圖像拼接軟件，常用的拼接軟件有PTGui、Pano2VR等[4]。目前部分全景制作者采用Pano2VR軟件進(jìn)行圖片拼接處理，此款軟件支持輸出HTML5/CSS3格式的全景，操作簡(jiǎn)單，只需導(dǎo)入單張全景圖片即可一鍵生成全景圖片，但是此款軟件不能對(duì)圖片進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整，如果圖片色彩、曝光度等關(guān)鍵因素不一致，將不能生成完整全景圖片。

三、幾點(diǎn)思考

許多一線教師在高三復(fù)習(xí)的時(shí)候卻忽視課本，輕視課本，而學(xué)生在高考考場(chǎng)上的發(fā)揮，依靠的是對(duì)教材的熟悉、對(duì)知識(shí)的理解、對(duì)方法的掌握、對(duì)思想的領(lǐng)會(huì).根據(jù)筆者多年的實(shí)踐，對(duì)高三復(fù)習(xí)提以下幾點(diǎn)思考：

1.認(rèn)真研讀考試說明，重視新增內(nèi)容的復(fù)習(xí)

高考復(fù)習(xí)應(yīng)該以高考說明為依據(jù)，特別是新教材新增知識(shí)點(diǎn)要特別關(guān)注，比如對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定，對(duì)數(shù)的換底公式，五種冪函數(shù)的圖像，二分法，合情推理與演繹推理，柯西不等式以及算術(shù)幾何平均不等式等.同時(shí)，也要對(duì)一些降低了要求的知識(shí)點(diǎn)不必花費(fèi)太多精力，如反函數(shù)，文科的古典概型的計(jì)算（只限列舉法），文科的立體幾何對(duì)空間角的計(jì)算等等，要了解文理差異，增強(qiáng)復(fù)習(xí)的針對(duì)性.

2.突出主干知識(shí)，強(qiáng)調(diào)通性通法

在復(fù)習(xí)過程中，要注意函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，數(shù)列與不等式，三角函數(shù)與向量，概率與統(tǒng)計(jì)，立體幾何與空間向量，直線與圓錐曲線等主干知識(shí)的復(fù)習(xí)與鞏固，加強(qiáng)通性通法的理解、總結(jié)和歸納.

3.注重查漏補(bǔ)缺，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

高三復(fù)習(xí)除了要保持良好的復(fù)習(xí)心態(tài)，還要注意正確的復(fù)習(xí)方法，對(duì)平時(shí)作業(yè)或試卷出現(xiàn)的錯(cuò)誤，有錯(cuò)必改，有改必思，學(xué)生要及時(shí)發(fā)現(xiàn)和總結(jié)所學(xué)知識(shí)中的錯(cuò)誤，在反思中不斷提高自己水平和能力的提高，不斷完善自己知識(shí)結(jié)構(gòu).

4.注重?cái)?shù)學(xué)能力，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想

高考對(duì)學(xué)生能力的考查，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，數(shù)學(xué)解題中通常蘊(yùn)含豐富的思想與方法，常見思想和方法包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想等等.

總之，通過對(duì)近幾年高考試題的分析，可以看出，高考試題既注重平穩(wěn)過渡，又著力內(nèi)容創(chuàng)新，既注重基礎(chǔ)，又突出能力，既注重通性通法，又提倡創(chuàng)新意識(shí)，既注重新增內(nèi)容，又注意文理差異，所以同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)復(fù)習(xí)過程中，要認(rèn)真研讀考試說明，落實(shí)新課程理念，跳出題海，回歸課本，注重基礎(chǔ)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基本思想和方法的學(xué)習(xí)，尤其是注重培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、抽象概括能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算能力，這樣才能在高考中取得佳績(jī)！