《數(shù)理邏輯和集合論》講課用例的設(shè)計和構(gòu)造

王擁軍， 楊義川， 寧云轉(zhuǎn)

(北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京100191)

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《數(shù)理邏輯和集合論》講課用例的設(shè)計和構(gòu)造

王擁軍， 楊義川， 寧云轉(zhuǎn)

(北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京100191)

《數(shù)理邏輯與集合論》是數(shù)學、信息、哲學和計算機科學等專業(yè)的重要基礎(chǔ)，但其高度的抽象性特點往往使得學生望而生畏.課程教學中不能只強調(diào)抽象的、難以理解的符號系統(tǒng)，而必須立足于使學生擁有很好的直覺認識能力.在教學過程中有意識地選擇數(shù)學和信息科學中學生們熟悉的典型實例，精心設(shè)計和構(gòu)造以幫助學生理解相應(yīng)的抽象概念，在溫故知新的基礎(chǔ)上，大大拓展了學生視野，對理解抽象概念起到事半功倍的成效.

數(shù)理邏輯； 集合論； 抽象； 講課用例

1 引 言

在《數(shù)理邏輯與集合論》課程的教學實踐中[1,2]，切實感覺到講授概念時，恰當實例的缺乏已經(jīng)嚴重影響學生的學習興趣、理解深度和學習效果.因此，我們多年來的教學研究與實踐工作之一，主要集中于構(gòu)造和設(shè)計合適的課程用例.即從學生熟悉的數(shù)學學科和感興趣的信息學科[3]中選取相應(yīng)實例，精心設(shè)計和構(gòu)造以幫助理解相應(yīng)的抽象概念[4]，達到讓學生喜歡并主動參與的目的，進而引導他們想象“抽象”，最終理解“抽象”.

1.1 課程的高度抽象性特點

邏輯是確定思維有效性的形式規(guī)則系統(tǒng)，用數(shù)學的方法研究關(guān)于推理、證明等問題的學科叫做數(shù)理邏輯，它的研究對象就是符號形式語言和各種形式系統(tǒng).而Cantor集合論作為數(shù)學大廈的基礎(chǔ)，存在著不可回避的邏輯悖論.目前解決這一問題的基本思想是集合論的公理化，所以數(shù)學的基礎(chǔ)又被歸結(jié)為公理集合論.本課程的兩部分內(nèi)容涉及的概念均表現(xiàn)出高度抽象的特點，很難簡單借助對以往知識的感知來把握.諸如：由公理給出的形式群理論不能完全等同于抽象代數(shù)課程中的群理論，承認無限公理之后的各種無窮集合很多性質(zhì)不同于學生熟知的有限集合，等等.

讓學生們能想象、理解這些重要而基本的概念和原理，使學生們認識到這些問題和生活實踐、學科背景密切相關(guān)，由對本課程產(chǎn)生興趣進而提高對整個學科的理解，應(yīng)當是教學任務(wù)中的重點和難點.

1.2 課程建設(shè)中的問題分析

(i) 教學實效性有待于進一步提高.經(jīng)常是教師很辛苦地證出一個結(jié)果之后，學生雖然在理論上同意你的每一步推導，但心中不太認可這個僅由變形法則保證的結(jié)論.這往往使得課下鞏固很難，碰到習題無從下手，久而久之，開始的熱情大打折扣，變得敬而遠之了；

(ii) 對實現(xiàn)教學目標的途徑、形式的研究有待于加強.學生們喜歡鮮活、生動的形式，喜歡在創(chuàng)造中體會學習的快樂；

(iii) 對本課程教學規(guī)律和學生的認知規(guī)律研究有待于深入.以公理化方法引入概念，講解高度抽象的形式系統(tǒng)，極易使得課程內(nèi)容變成脫離實際的符號游戲，很難和學生們的直覺掛鉤，這個看起來“高深且沒什么用”的課程就會被束之高閣.

1.3 為何選擇以設(shè)計課程用例作為突破口

針對上述問題，我們認為提高興趣、突出直覺有利于幫助理解抽象概念，是解決問題的一個很好的突破口.

大家都知道，盡管用“1頭牛加上2頭牛，數(shù)一數(shù)是3頭”來解釋“1+2=3”是遠遠不夠的，也是非理性的，但對于我們初始理解這樣一類抽象式還是有所幫助的，這里對牛的直覺就是“抽象概念具體化”.必須再次和反復指出的是，抽象一旦具體，就不再是一樣的含義了，就像2頭牛、2只香蕉…，永遠不是2的真實意思一樣.但具體化可以使學生獲得思考的養(yǎng)料，借用他們熟悉的角度理解和印證抽象的問題，逐步接近和把握概念的本質(zhì)[5].

數(shù)理邏輯和集合論是數(shù)學大廈的重要基礎(chǔ).針對其自身特點和整個課程體系的限制要求，教學點應(yīng)當圍繞數(shù)學形式系統(tǒng)展開.數(shù)學形式系統(tǒng)是抽象的，理解有時是相當困難的.這表現(xiàn)在解釋形式系統(tǒng)的模型有時也是相當抽象的，比如形式群公理系統(tǒng)的一個標準解釋是《抽象代數(shù)》課程中的群，此外還存在不是群的其他解釋.如何給學生以恰當?shù)闹庇X，不是一件容易的事情.

《數(shù)理邏輯和集合論》課程用例的設(shè)計與構(gòu)造就可以這樣入手，比如利用《抽象代數(shù)》課程中的群理論，感知數(shù)學系統(tǒng)和邏輯系統(tǒng)的聯(lián)系，理解數(shù)學研究過程的解釋和模型.因此，針對不同抽象問題點，在學生熟悉的數(shù)學課程或感興趣的信息課程[6]中尋找具體模型，設(shè)計構(gòu)造講課用例，是一項有現(xiàn)實意義且頗具挑戰(zhàn)的工作.

2 設(shè)計構(gòu)造的講課用例

以下幾個從不同課程中提煉、構(gòu)造的設(shè)計用例，更多地從學生們熟悉的數(shù)學領(lǐng)域覓得.它們的簡單和清晰有助于理解復雜和抽象的概念.

2.1 利用代數(shù)實例理解邏輯系統(tǒng)

證令映射f∶{T,F}→F2如下：F對應(yīng)0, T對應(yīng)1；

f(a⊕b)=f(a)+f(b), f(a∧b)=f(a)·f(b)，

則易證真值集{0,1}在⊕和∧運算下與F2同構(gòu).

注 本例很簡單，作用卻不小.除了向?qū)W生指出邏輯真值集上的邏輯連接詞“并不奇怪”，而是“似曾相識”外，還幫助同學們通過抽象代數(shù)里的最簡單有限域概念與邏輯學間的直接聯(lián)系，做到溫故而知新.

2.2 對選擇公理的理解

選擇公理對任意集簇C，存在以C為定義域的選擇函數(shù)g，使得對C的每個非空元素x，總有g(shù)(x)∈x.

選擇公理的解釋就是能夠為任意集簇選擇出一個集合，使得這個集合與集簇的每個非空元素相交不為空.學生們對于這個公理往往覺得很奇怪，因為以有限集簇為例這個定理顯得很平凡，而思考無限集簇又會覺得很難把握，所以學習后往往陷入“知道又不真理解”的境況.

利用《拓撲學》、《數(shù)學分析》課程中大家熟悉的閉點、函數(shù)連續(xù)性構(gòu)造設(shè)計講課用例.使得學生在學習此兩例的過程中，理解這個有些“莫名奇妙”公理的作用.其中收斂序列存在性的問題，正好說明選擇公理在現(xiàn)代數(shù)學中的基礎(chǔ)地位.

設(shè)計用例2閉點的定義 對于任一正實數(shù)ε，存在nε∈，使得對所有n≥nε都有成立，稱實數(shù)序列xn|n∈收斂于a∈，這里表示自然數(shù)集合.

設(shè)A是一實數(shù)子集合，A的閉點通常有如下兩種定義

以上二者等價的證明如下

(i)→(ii) 任給ε>0,存在nε∈,使得對所有n>nε都有成立.即有xnε∈A且ε.

關(guān)鍵問題在于(ii)→(i)時，xn|n∈序列果真存在嗎?

當選擇公理不成立時，我們沒有把握能從非空集簇{Xn≠φ|n∈}選出xn∈Xn|n∈序列.因此，這兩個閉點定義的等價實際上是依賴于選擇公理的.

設(shè)計用例3函數(shù)的連續(xù)性

實值函數(shù)的連續(xù)性定義一般有如下兩種

(i)f∶→在a∈處是連續(xù)的.如果對任意ε>0，存在一個δ>0使得對于所有滿足的x，都有成立.

(ii)f∶→在a∈處是連續(xù)的.如果對任意收斂于a∈的序列xn∈|n∈，有序列f(xn)∈|n∈收斂于f(a).

以上二者等價的證明如下

(i)→(ii) 如果xn|n∈收斂于a且給出ε>0，首先可以找到滿足(i)要求的δ>0，使得對于所有滿足的x，都有成立.由于xn|n∈收斂，則由序列收斂定義知道存在nδ∈，使得當n≥nδ時有成立.當然，對于所有這樣的n有成立.

問題在于(ii)→(i)時，xk|k∈序列果真存在嗎？

這個證明過程中，δ分別取{1/k|k=1,2,3,…}時獲得的序列xk∈|k∈隱含使用了選擇公理.因為對每個1/k，并不是只有唯一的xk滿足但ε.事實上有無限多的xk滿足這一點，而這些xk中也未必有最大的或者最小的，所以(ii)→(i)證明過程中隱含使用了從這些無限多的xk中選擇一個，繼而組成序列xk|k∈的手段，這就是使用了選擇公理.

關(guān)于選擇公理的設(shè)計用例，還有相關(guān)《泛函分析》、《線性代數(shù)》等幾門課程的，限于篇幅，這里不再一一給出.

2.3 關(guān)于計算機科學邏輯基礎(chǔ)的理解

數(shù)論、代數(shù)和拓撲學深深得益于《數(shù)理邏輯與集合論》的豐碩成果，特別是計算機科學，幾乎就是數(shù)理邏輯研究發(fā)展的里程碑.

設(shè)計用例4從介值定理體會計算機科學的構(gòu)造主義本質(zhì),進而理解邏輯主義和構(gòu)造主義的不同(優(yōu)劣).

介值定理對于一個閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),若區(qū)間兩端的函數(shù)值異號,則至少存在一個零點.

我們知道,構(gòu)造主義只認可那些有限步可以構(gòu)造生成的數(shù)學對象,這樣從自然數(shù)開始不能得到無理數(shù).因此，定理就只能在有理數(shù)意義下使用，很明顯，這種情況下零點未必存在.

這里有兩個啟示:一是在計算機(沒有無理數(shù))中介值定理并不嚴格成立，只能近似獲得零點；二是若承認構(gòu)造主義，便會拋棄很多數(shù)學分析中的現(xiàn)有成果.

通過這個實例的講解，難以理解的計算機科學的邏輯基礎(chǔ)為學生直觀接受，并能猜想、展望未來計算機需要的數(shù)學基礎(chǔ).

2.4 對無限和有限的認識

無限概念是現(xiàn)代數(shù)學不能回避的，種種矛盾和對立的觀點都是由于不能準確把握它而引起的.如何看待“無限”是不同邏輯學派一個重要的分歧點.我們熟悉的《數(shù)學分析》使用潛無限概念(極限定義),公理集合論是認可實無限存在的(歸納集合存在公理)，集合論的主要工作是面對“無限”這個抽象概念，學生必須學會新環(huán)境中的思考方式和方法.

設(shè)計用例5定義：良基集合是指其任一子集合,都有極小元.

問:滿足字典序的集合是良基的嗎？

這個問題的解答很容易受直觀的影響,因為大家所用的字典的任意子部分按照字典序總是有首單詞的,所以答案往往是肯定的.這就是典型的以有限環(huán)境下的經(jīng)驗指導無限環(huán)境的實例.我們知道，所謂單詞就是字母的有限可重復序列，但這樣的單詞有無限多個.如果按字典序一一排列，甚至永遠排不到B打頭的單詞，因此，很容易構(gòu)造一個子集合，這個集合沒有極小元.如

{…,AAB,AB,B,BA,BAA,…}.

體會：(i) 有限和無限有本質(zhì)的區(qū)別；(ii) 以有限枚舉的方式不可跨越無限.

值得指出的是：這個實例由學生提出，源自于程序設(shè)計語言理論.學生們能不拘于傳統(tǒng)詞典的有限性實質(zhì)，依照課程教學給出的形式概念正確思考本質(zhì)無限的問題.這真的使我們堅信，設(shè)計和構(gòu)造講課用例是一個教學相長的過程，能充分激發(fā)學生學習興趣，把他們吸攏來主動思考，也算是課堂教學的新境界了.

2.5 形式系統(tǒng)與模型的關(guān)系

關(guān)于形式系統(tǒng)和模型的聯(lián)系，是通過一個映射實現(xiàn)的.本來它們之間是抽象與具體的關(guān)系，可是當模型本身也很抽象的時候，學生們很難區(qū)分形式符號系統(tǒng)和解釋模型.這里的課程用例就是來源于學生們的一個問題：“數(shù)理邏輯中的形式系統(tǒng)和抽象代數(shù)里的理論哪一個更抽象？”

我們知道，任何數(shù)學形式系統(tǒng)都是謂詞演算的一致擴充(不同的數(shù)學形式系統(tǒng)只是增加以不同的數(shù)學公理而已)，這些個數(shù)學形式系統(tǒng)之間除了共同的邏輯公理之外，還有三條共同的關(guān)于等詞的數(shù)學公理.也就是說，所用的數(shù)學形式系統(tǒng)中都有等詞.注意，這里的等詞是個特殊的二元謂詞符號，其性質(zhì)僅由三條等詞公理保證.等詞不能簡單地理解成以往的“等號”.

(E1) (x1=x1).

可以證明(因為和目的無關(guān)，所以不給出過程)，這三條等詞公理僅能保證等詞“=”具有自反性、對稱性和傳遞性.所以，這其實只是一個等價關(guān)系，并不是數(shù)學中一般使用的等號含義.

設(shè)計用例6為了回答學生們的“孰更抽象？”的問題，下面給出一個特殊的數(shù)學形式系統(tǒng)—形式群理論.

當然，形式群理論除了包含謂詞演算的六條邏輯公理模式、三條等詞公理之外，還有如下三條群公理

形式系統(tǒng)是符號的世界，通過一個映射就可以將符號對應(yīng)到一個具體討論的領(lǐng)域(模型)，使之擁有公理約束的具體行為.映射不同，具體模型就不一樣.

更能說明問題的是個反例，那就是存在映射使得滿足形式群公理約束的模型不是《抽象代數(shù)》課程意義下的群，具體如下：

此例在教學實踐中很好地幫助學生們理解了形式系統(tǒng)與其模型的關(guān)系，使得學生體會到抽象與具體的相對性.更重要的是，他們初步感知到數(shù)學大廈下隱藏的、更一般的數(shù)理邏輯基礎(chǔ).

3 討論和思考

課程教學不能只強調(diào)抽象的、難以理解的符號系統(tǒng)，而必須立足于使學生擁有很好的直覺認識能力.

可以說，構(gòu)造實例在教學實踐中達到了設(shè)計效果.不僅提高了學生們理解抽象概念的能力，解決了“這些概念有什么用的問題？”，還加深了大家對實例來源課程的再認識.學習《數(shù)理邏輯和集合論》課程的目的應(yīng)該是將抽象的理論再應(yīng)用于實踐.因此，實例的另一功效在于引導學生重新認識已學課程中的一些內(nèi)容，比如分析中的無窮小量、證明中的數(shù)學歸納法等等.

本課程的教學研究和實踐告訴我們：面對抽象概念，應(yīng)當盡可能對具體內(nèi)容加以更多的關(guān)注，使得學生容易跨過最初的認知門檻，養(yǎng)成抽象思維的良好習慣，幫助學生及時找到認知基礎(chǔ)和知識生長點.例如在集合論中，數(shù)學家關(guān)心的是抽象的、普適的理論問題—公理系統(tǒng)的各種性質(zhì).而學生們往往首先關(guān)注的是一些具體集合的性質(zhì)，如各種常見集合、關(guān)系、映射是什么樣的；再如，從信息和計算角度來看，需要讓學生知道計算機科學中的數(shù)理邏輯.這些都要求學生要建立判斷的“直覺”基礎(chǔ)，不能只是“漂亮”的抽象樓閣；另外，本課程教學還應(yīng)當關(guān)注數(shù)理邏輯相關(guān)學科的發(fā)展史，例如非歐幾何、非經(jīng)典邏輯、量子力學、泛函分析等，都與數(shù)理邏輯相互影響，互相推動.關(guān)于這一點，將在其他文章中闡述.

設(shè)計和構(gòu)造講課用例，實際上是和學生一起于熟悉的領(lǐng)域溫故，繼而激發(fā)他們對本課程新概念的興趣，借助這種直覺進入“抽象”領(lǐng)域，達到知新的教學效果.因為這種“抽象”是和某個“具體”相聯(lián)系的，所以能起到容易接受并逐漸理解的目的.

總之，教學功夫在課外，想辦法吸引學生主動參與教學過程才是重中之重.

[1] Hamilton A G.Logic for Mathematicians[M].北京：清華大學出版社(影印版)，2002.

[2] Karel Hrbacek, Thomas Jech.Introduction to Set theory [M].3rd ed.New York: Marcel Dekker, 1999.

[3] Bruno Marchal.Theoretical computer science and the natural sciences[J].Physics of life reviews, 2005, 2: 251-289.

[4] 張玲玲,黃建華,黃立宏.研究生數(shù)學公共課程中教學案例創(chuàng)新與建設(shè)的思考[J].大學數(shù)學,2015,31(3): 117-121.

[5] 李雨生,郭鏡明.引導學生從掌握本質(zhì)中提高學習興趣[J].大學數(shù)學,2014,30(6): 120-122.

[6] 陳意云，張昱.程序設(shè)計語言理論[M].北京：高等教育出版社，2010.

The Design and Construction of Lecture Instances for Mathematical Logic and Set Theory

WANGYong-jun,YANGYi-chuan,NINGYun-zhuan

(School of Mathematics and System Sciences, Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

The course “Mathematical logic and set theory” is an important foundation of Mathematics, Information science, Philosophy, and Computer science, etc.But its high abstractness is main obstacle to learn this course for students.Teaching method should be based on training students′ keen intuition ability rather than only focuses on abstract and incomprehensible symbol systems.In the teaching practice, we consciously choose some classical instances for students from Mathematics and Information science which are familiar to them, then carefully design and construct lecture instances to help students understand relevant concepts.The practice shows that our instances can largely broaden students’ horizon and are very helpful for them to understand the abstract concepts based upon the famous Chinese education idea of “reviewing makes learning new”.

mathematical logic； set theory； abstractness； lecture instances

2016-05-18 ； [修改日期] 2016-07-15

國家自然科學基金(11271040)；基礎(chǔ)科研基金(YWF-14-SXXY-015)；凡舟教學團隊建設(shè)，北航重大教改項目

王擁軍(1970-)，男，博士，講師，從事軟計算，數(shù)據(jù)挖掘研究.Email:wangyj@buaa.edu.cn

G640

C

1672-1454(2016)06-0117-06