擴展大學數(shù)學課堂教學內(nèi)容的嘗試

周羚君， 張 莉， 彭 婧

(同濟大學數(shù)學科學學院，上海200092)

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擴展大學數(shù)學課堂教學內(nèi)容的嘗試

周羚君， 張 莉， 彭 婧

(同濟大學數(shù)學科學學院，上海200092)

隨著當前大學各項基礎(chǔ)課程課時的壓縮，改變原有的學時分配比例已是必然，新的教學方法不僅需要全面覆蓋原有的知識點，還不能降低對學生的要求.經(jīng)過多年的嘗試，我們通過在教學中精心選擇例題、課后習題以及考試題，將在教學中無法獨立成章節(jié)的內(nèi)容貫徹其中，使學生在有限的學時中，學到更多的內(nèi)容，同時看到同一數(shù)學對象在不同數(shù)學分支中的應用，了解不同數(shù)學分支之間的聯(lián)系.

高等數(shù)學； 課時壓縮； 課堂教學延伸

隨著人類認識世界水平的不斷提高，大學生需要學習的課程也比過去增加了很多.在這一趨勢下，壓縮原有課程已是必然，在理工科大學中占有重要地位的大學數(shù)學課程，也不可避免地受到課時壓縮的影響.以同濟大學為例，高等數(shù)學課程已從每周7學時壓縮至5學時，線性代數(shù)和概率統(tǒng)計目前多是每周3學時.由于課時減少幅度大，僅僅靠減少習題課的時間已不足以應對這一變化，刪減課堂的教學內(nèi)容已是必須(參見[1-6]).然而，傳統(tǒng)數(shù)學教材中涉及的內(nèi)容在各學科中的應用并沒有減少，過時的內(nèi)容幾乎沒有，于是減少教學內(nèi)容，無疑影響了學生未來專業(yè)課程的影響，因此如何在刪減課時的同時，不降低對學生掌握知識的要求，成為當前教學中的一個重要課題.另一方面，由于數(shù)學分支的細化，幾乎所有的院校都是將數(shù)學拆成多門課程講授，大部分知識點都不會在多門課程中重復出現(xiàn).然而數(shù)學作為一個整體，各個知識點之間都有或多或少的聯(lián)系.如果在教學中不指出不同分支中知識點的關(guān)聯(lián)，大部分學生在學習之后，就會只見樹木不見森林，但在課堂教學中又缺少足夠的時間去介紹這些內(nèi)容.經(jīng)過多年的教學探索，我們發(fā)現(xiàn)通過習題作業(yè)、考試題將這些沒有時間在課堂上涉及的知識點貫徹到教學中是個很有效的方法，以下是我們嘗試的一些教學案例.

1 向量的正交性和Fourier級數(shù)

向量內(nèi)積是線性代數(shù)和高等數(shù)學都會涉及的內(nèi)容，是空間解析幾何的基本概念之一，這一段內(nèi)容對學生來說非常直觀，比較容易掌握，部分省市的學生甚至已經(jīng)在高中階段立體幾何的課程中就學過這些相關(guān)知識.Fourier級數(shù)是傳統(tǒng)高等數(shù)學教材中的一章，是教學中的難點，學生對Fourier級數(shù)的原理缺乏直觀認識，對Fourier展開的基本公式感到難以記憶，學完之后對這一段內(nèi)容一知半解，學過后很容易忘記，根本原因都是學生沒有發(fā)現(xiàn)Fourier級數(shù)與向量空間內(nèi)積以及向量正交性之間的關(guān)系.但當前教學中，由于課時的減少，F(xiàn)ourier級數(shù)的內(nèi)容在課堂教學中占用的時間被壓縮得很厲害，甚至有些課堂上直接刪除了這一部分內(nèi)容，然而對于某些工科專業(yè)(比如電信)，F(xiàn)ourier級數(shù)和Fourier變換是最基本的工具，對數(shù)學物理方法有要求的專業(yè)，F(xiàn)ourier級數(shù)和Fourier變換也將多次被使用，如果學生在高等數(shù)學學習中沒有學好這一部分內(nèi)容，將嚴重影響其后續(xù)專業(yè)課程的學習，因此對學生在Fourier級數(shù)這一知識點的要求不容削弱.我們通過在線性代數(shù)課程中引入下面的習題，解決這一問題.

記C([-π,π])為定義在[-π,π]上的全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間，對該空間上任意函數(shù)f,g定義運算

(i) 證明：上述運算滿足內(nèi)積公理(即正定性、對稱性，雙線性性).

(ii)證明：在該內(nèi)積定義下，

{1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…}

是兩兩正交的函數(shù)組.

特別，如果在高等數(shù)學教學中，沒有刪除Fourier級數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，那么這道習題放在高等數(shù)學Fourier級數(shù)的課堂教學中，也會收到很好的效果.

2 線性方程組的基礎(chǔ)解系和平面間的空間關(guān)系

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理是線性代數(shù)教學中的一個重要章節(jié)，但由于其在工程中的直接應用不多，學生學過后經(jīng)常就忘記了，甚至有些工程類的教師認為這部分內(nèi)容對工科學生沒有什么用處，不如改講超定方程組的最小二乘法求解.事實上，這一部分內(nèi)容有很好的幾何背景.作者經(jīng)常遇到某些學生不會寫三維空間中平面和直線的參數(shù)方程.數(shù)學系學生對這一段的學習也存在不少問題，比如學生難以理解四維空間中的兩個二維平面可以只有一個公共點(在復變函數(shù)中，復二維空間的兩個坐標軸是實二維平面，它們僅有一個公共點——坐標原點).產(chǎn)生上述問題的共同原因，就是對線性方程組解的結(jié)構(gòu)沒有吃透.鑒于上述情況，我們在線性代數(shù)教學中引入這樣一系列習題.

習題1 利用內(nèi)積的觀點解釋(A,B,C)T為三維空間中平面方程Ax+By+Cz=D的法向量.

習題2 給出三維空間中方程Ax+By+Cz=D 的通解的幾何意義，這里A,B,C不同時為零.

習題3 利用方程組

的通解，解釋三維空間中處于一般位置的兩個平面相交于一條直線.這里兩個平面處于一般位置是指上述方程組的系數(shù)矩陣是行滿秩的.

習題4 利用方程組的通解，解釋三維空間中處于一般位置的三個平面僅有一個公共點.

習題5 利用方程組

的通解，解釋四維空間中處于一般位置的兩個線性方程的聯(lián)立方程組表示四維空間中的一個二維平面，并由此進一步得到，四維空間中處于一般位置的兩個二維平面僅相交于一點.

對于習題1，只需注意到D=0時，方程的解集是一切與向量(A,B,C)T正交的向量全體，這些向量張成一個與(A,B,C)T垂直的平面，于是(A,B,C)T就是法線.對一般的D，只需將方程的任一特解代入左邊，并取代D，即可得到結(jié)論，這種講法對于一般的工科學生，理解起來沒有太大難度.

對于習題2-5，只需注意到線性方程的通解中有幾個自由參數(shù)就可以了，即使工科的學生，也不難理解沒有自由參數(shù)的解就是一個孤立的點，有一個自由參數(shù)的通解代表了一條直線，有兩個自由參數(shù)的通解代表了一個平面.其中習題5，可以只對數(shù)學系的學生，或?qū)W習復變函數(shù)的工科學生涉及.

3 二次型的標準型、多元函數(shù)的極值和二次曲面的分類

二次型的標準型是在線性代數(shù)課程中作為對稱矩陣的特征值和相似對角化的應用出現(xiàn)的.很多教材和課程講到這里就結(jié)束了，相當一部分學生學過后只會做習題，不清楚學習這一段的目的.作者曾經(jīng)在某次線性代數(shù)的期末考試中出過這樣一道考試題：將某一二次型化成標準型后，問該二次型是否存在最值，結(jié)果得分率相當?shù)停梢娙绻诮虒W中不做必要的深入或拓展，學生最終將入寶山而空回.另一方面，在高等數(shù)學教學中，多元函數(shù)的極值和二次曲面都是必講的內(nèi)容，這一部分都會用到對稱矩陣與二次型的結(jié)果，在課時壓縮后，高等數(shù)學課程中常常只能講一些特殊的例子(相當于二次型恰為標準型的情形)，略去對一般情形的討論，于是一般的多元函數(shù)的極值和二次曲面(曲線)的分類就成了高等數(shù)學和線性代數(shù)都照顧不到的內(nèi)容.為此，我們可以設計諸如下述類型的習題.

習題1 構(gòu)造一個正交變換，將平面上的方程xy=1化為標準的雙曲線方程，并求出該雙曲線的實軸長、虛軸長和焦距.

習題2 判斷一個二元二次型，何時有最大值，何時有最小值.并由此給出判斷一個二元函數(shù)的駐點為極大值點或極小值點的充分條件.

習題1可以放在線性代數(shù)二次型一節(jié)中，由于學生在中學中已經(jīng)學過雙曲線的標準方程，并知道方程xy=1的曲線是雙曲線，因此結(jié)合二次型的知識，學生不難完成這一習題，并且藉此理解為什么方程xy=1的曲線是雙曲線.實踐證明，教學中如果能與學生之前學過的知識呼應，或者讓學生自己解決過去一直沒有理解的問題，經(jīng)常能起到增進學生學習興趣的效果

習題2既可以放在線性代數(shù)二次型一節(jié)中，也可以放在高等數(shù)學的二元函數(shù)極值一節(jié)中.考慮到不同專業(yè)學生學習線性代數(shù)的時間不同(同濟大學工科學生學習高等數(shù)學都是在一年級，但線性代數(shù)的開設時間分布在一二年級四個學期)，這道習題不一定要寫在教材中，可以根據(jù)不同專業(yè)學生的培養(yǎng)計劃，靈活地放在課堂教學中.

4 實對稱矩陣和對稱算子

實對稱矩陣的性質(zhì)不僅應用于二次型，從數(shù)學上看，自共軛算子的譜分解是它在無窮維Hilbert空間的推廣，這一部分內(nèi)容，在數(shù)學物理方法中會出現(xiàn)，而數(shù)學物理方法是力學、物理、機械、土木工程等理工科所要求的課程.作者曾經(jīng)長期擔任工科數(shù)學物理方法的教學，發(fā)現(xiàn)絕大部分學生在學習完Sturm-Liouville問題的基本結(jié)論后，無法將其與實對稱矩陣的特征值與特征函數(shù)的理論聯(lián)系起來，由此帶來的后果就是學生認為Sturm-Liouville問題的結(jié)論十分抽象，難以記憶.

解決這一問題，需要在線性代數(shù)的教學中，強調(diào)實對稱矩陣特征值和特征向量的幾個定理的證明，突出矩陣A的實對稱性不僅體現(xiàn)在矩陣元素分布的對稱性，而且滿足

(Ax,y)=(x,Ay)，

這條性質(zhì)決定了實對稱矩陣的特征值是實數(shù)，且從屬于不同特征值的特征向量正交.在后續(xù)的數(shù)理方程Sturm-Liouville問題的教學中，重復這一證明，加深學生的印象，并將實對稱矩陣的性質(zhì)與Sturm-Liouville問題的性質(zhì)定理對比講解，方便學生記憶.

特別指出，在Sturm-Liouville問題的講解中，還應該結(jié)合我們在第一段中提到的函數(shù)的正交性.

5 冪級數(shù)和差分方程、母函數(shù)

冪級數(shù)是高等數(shù)學中的一個章節(jié)，在高等數(shù)學的教學中，冪級數(shù)的應用主要是超越函數(shù)的近似計算，但冪級數(shù)的應用遠不止這些，即使在工科數(shù)學的后續(xù)課程中，冪級數(shù)也有不少應用，最典型的就是某些差分方程的求解和母函數(shù).我們認為，在高等數(shù)學冪級數(shù)的一節(jié)中，引入下面的例題或習題，將起到很好的效果.

則

在給出提示后，習題1是一道普通的冪級數(shù)問題，學生可以獨立完成.在有了習題1的基礎(chǔ)后習題2的做法就容易想到了，習題3只不過是習題2的一般化.特別，對一些在中學階段學過遞推數(shù)列(屬于高中數(shù)學競賽大綱中的內(nèi)容)的學生，由此便可理解為什么一個遞推數(shù)列對應一個特征方程，且通項公式與特征方程的根有關(guān).

上面的做法其實就是母函數(shù)的觀點，在概率論中，母函數(shù)有一些應用，但限于課時，很多概率論的課堂教學中不再講母函數(shù)了，那么在習題中增加一道母函數(shù)的介紹與應用，是很有益的，例如：

設取值為非負數(shù)的離散型隨機變量ξ,ζ的概率分布分別為

通過這道習題，學生不僅了解了母函數(shù)這一工具，還可以掌握一個重要的公式.

綜上所述，我們的基本想法是對那些在多個數(shù)學領(lǐng)域涉及又無法在現(xiàn)有課程中專辟一節(jié)講述的知識點和思想方法，通過課堂例題或課后習題，甚至是測驗題、考試題，使學生了解相關(guān)內(nèi)容.這樣做，既可以彌補因為壓縮課時而造成的內(nèi)容缺失，又可以使學生發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學分支之間的聯(lián)系，同時還可以激發(fā)學生的學習興趣，在基礎(chǔ)課教學中鍛煉學生的研究能力，是一舉數(shù)得的做法.

[1] 肖飛雁.“教學做”一體化教學模式在“數(shù)值分析”教學中的研究與實踐[J].大學數(shù)學，2016，32(1)： 66-70.

[2] 唐玲艷，宋松和.《高等數(shù)值分析》教學案例的建設與思考[J].大學數(shù)學，2015，31(1)：42-47.

[3] 劉秀芹，馬亮，李娜.案例教學在《應用隨機過程》中的探索和實踐[J].大學數(shù)學，2015，31(2)：101-105.

[4] 張玲玲，黃建華，黃立宏.研究生數(shù)學公共課程中教學案例創(chuàng)新與建設的思考[J].大學數(shù)學，2015，31(3)：117-121.

[5] 楊曙光，周疆.提高非數(shù)學專業(yè)新生接受高等數(shù)學教育適應性對策研究——以新疆大學為例[J].大學數(shù)學，2015，31(4)：34-38.

[6] 李應求，謝圣英.關(guān)于工科高等數(shù)學教育改革的一些思考[J].大學數(shù)學，2014，30(1)：53-55.

The Attempt on the Extension of Mathematics Teaching in the University Class

ZHOULing-jun，ZHANGLi，PENGJing

(School of Mathematical Science,Tongji University，Shanghai 200092, China)

Currently, it is inevitable to change the original teaching time proportions since the teaching hours of different types of basic college curriculums are reduced.The new teaching method is required to fully cover the existing knowledge, which does not reduce the requirement for the students.After many years of attempts, we have integrated the various independent courses into a comprehensive one by considerably selecting a lot of good examples and after-school exercises from teaching model.This could enable students to learn much more knowledge with the limited amount of time and get access to the applications of the same mathematical object in different branches of mathematics.Additionally, by doing so, they are able to understand the relationship and significance among the different branches of mathematics.

advanced mathematics; curriculum reduction; extension of the class

2016-05-30； [修改日期]2016-01-18

上海高校外國留學生英語授課示范性課程建設項目；同濟大學教學改革研究與建設項目

周羚君(1979-),男，博士，副教授，從事孤立子理論與可積系統(tǒng)研究.Email:zhoulj@#edu.cn

O151.2

C

1672-1454(2016)06-0123-04