高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)三基課程關(guān)聯(lián)性教學(xué)的研究與探討

盛興平， 唐 劍， 辛大偉， 徐傳友

(阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ，安徽阜陽(yáng)236037)

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高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)三基課程關(guān)聯(lián)性教學(xué)的研究與探討

盛興平， 唐 劍， 辛大偉， 徐傳友

(阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ，安徽阜陽(yáng)236037)

高師數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，首先面對(duì)的就是“三基”課程——《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《空間解析幾何》的學(xué)習(xí).本文主要從三基課程在內(nèi)容上的聯(lián)系、在教學(xué)上的關(guān)系、在解題技巧上等多方面研究了三基課程的內(nèi)在關(guān)系，從而進(jìn)一步促進(jìn)三基課程的教學(xué)改革.

“三基”課程； 關(guān)聯(lián)性； 教學(xué)方法； 教學(xué)心得

1 引 言

中學(xué)數(shù)學(xué)教師是以知識(shí)點(diǎn)傳授為主，非常重視課堂教學(xué)，講究用生動(dòng)、形象的語(yǔ)言吸引學(xué)生，在課堂上可以通過(guò)高密度提問(wèn)，細(xì)致分析，反復(fù)訓(xùn)練，將知識(shí)點(diǎn)講深講透，讓學(xué)生當(dāng)堂掌握、鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn),對(duì)概念、理論較少作詳細(xì)討論和拓廣[1].多年來(lái)，很多中學(xué)為了追求升學(xué)率，老師們大都采用填鴨式教學(xué)，搞題海戰(zhàn)術(shù)，使學(xué)生的主觀能動(dòng)性受到壓抑，造成高分低能現(xiàn)象.

由此我們首先開展了大學(xué)新生對(duì)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和空間解析幾何三門基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)感受的問(wèn)卷調(diào)查.

2 調(diào)查結(jié)果

高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)是致力于培養(yǎng)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教育實(shí)踐與研究型人才，使其具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握從事數(shù)學(xué)教學(xué)與教學(xué)研究的基本方法.通過(guò)教育教學(xué)類通用課程、數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)知識(shí)與方法的學(xué)習(xí)，使得學(xué)生具備從事中職學(xué)校、中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的必要技能與能力；通過(guò)計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件方面的訓(xùn)練，使學(xué)生具備從事相關(guān)研究、教學(xué)、開發(fā)軟件等解決實(shí)際問(wèn)題的能力.大學(xué)新生剛?cè)雽W(xué)往往會(huì)發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《空間解析幾何》(以下簡(jiǎn)稱為“三基”)這三門課程很難入門，很難與高中所學(xué)知識(shí)接軌，也很難將三者聯(lián)系起來(lái)，并將其應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中.我們從學(xué)生的學(xué)習(xí)角度和教師的教學(xué)角度兩方面出發(fā)，探索如何在三基課程學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)更加有利的氛圍和更加適宜的情境.為此，我們首先分別對(duì)學(xué)校大一、大二學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，了解他們的學(xué)習(xí)情況.本次調(diào)查發(fā)放問(wèn)卷140份，回收130份.調(diào)查結(jié)果中約有85%的學(xué)生表示對(duì)三門課程的學(xué)習(xí)感到頭疼，少數(shù)表示相對(duì)輕松.他們中存在的問(wèn)題主要有：

(i) 部分內(nèi)容上脫節(jié)，不能與高中知識(shí)連接；

(ii) 學(xué)習(xí)方法脫節(jié)，發(fā)現(xiàn)用高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法來(lái)學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)，行不通，不適應(yīng)大學(xué)課程的學(xué)習(xí)；

(iii) 缺乏實(shí)際應(yīng)用意識(shí).

通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，我們歸納出的原因主要有以下幾點(diǎn)：

(i) 學(xué)生的自學(xué)意識(shí)不強(qiáng)，仍然停留在高中的填鴨式教學(xué)模式當(dāng)中；

(ii) 學(xué)生仍然認(rèn)為教學(xué)是大學(xué)老師的主要任務(wù)，學(xué)習(xí)依賴性很強(qiáng).其結(jié)果是教我就學(xué)，不教就不學(xué)；

(iii) 學(xué)生過(guò)于熱衷于參加課外活動(dòng)，心氣浮躁，難以專心地學(xué)習(xí)專業(yè)課程；

(iv) 很多老師在授課是往往只是純粹地講授課本知識(shí)，與實(shí)際生活脫節(jié)，讓學(xué)生感覺(jué)到理論太多，一方面使得學(xué)生感到枯燥，另外一方面這些理論一時(shí)難以找到應(yīng)用，使得學(xué)生感覺(jué)沒(méi)有什么價(jià)值，失去學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

為解決這些問(wèn)題，我們對(duì)“三基”課程內(nèi)容思想、聯(lián)系以及教與學(xué)的方法進(jìn)行研討.

3 “三基”課程概述

“三基”課程作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程，它們有著舉足輕重的作用.因?yàn)樗鼈兪菙?shù)學(xué)相應(yīng)專業(yè)后繼課程，如《常微分方程》、《復(fù)變函數(shù)》、《實(shí)變函數(shù)》、《近世代數(shù)》(《抽象代數(shù)》)、《泛函分析》、《概率論》及《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》等課程的基礎(chǔ)，也是學(xué)生們首先接觸到的三門專業(yè)基礎(chǔ)課.由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、邏輯性，這就要求學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課時(shí)腳踏實(shí)地，打好基礎(chǔ)，注重?cái)?shù)學(xué)基本功的訓(xùn)練.否則，想學(xué)好數(shù)學(xué)專業(yè)的后繼課程是很困難的.就比如說(shuō)，我們目前學(xué)習(xí)的《近世代數(shù)》，就是《高等代數(shù)》的后繼課程.《高等代數(shù)》的解題思想滲透其中，若《高等代數(shù)》學(xué)習(xí)的較好，就可用類比的方法學(xué)習(xí)《近世代數(shù)》，當(dāng)然就可以取得事半功倍的效果了.

4 “三基”課程的內(nèi)容及其思想

作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，在學(xué)習(xí)過(guò)程中不僅要理解“三基”課程的作用及特點(diǎn)，還要逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.那么，什么是數(shù)學(xué)能力呢？所謂數(shù)學(xué)能力是指表現(xiàn)在掌握數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法上的個(gè)性心理學(xué)特征.其中，數(shù)學(xué)技能在解題過(guò)程中主要體現(xiàn)在探索階段(即觀察、試驗(yàn)、想象、發(fā)現(xiàn))、實(shí)施階段(即推理、運(yùn)算、表達(dá)、實(shí)現(xiàn))和總結(jié)階段(即抽象、概括、總結(jié)、成果)[2].而這幾個(gè)過(guò)程包含了創(chuàng)新技能的全部?jī)?nèi)容.三門課程主要思想歸納如下：

(i) 數(shù)學(xué)分析

《數(shù)學(xué)分析》課程主要內(nèi)容有實(shí)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限、一元函數(shù)連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、微分中值定理及其應(yīng)用、實(shí)數(shù)的完備性、不定積分、定積分及其應(yīng)用、廣義積分、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、多元函數(shù)的極限與連續(xù)、多元函數(shù)微分學(xué)、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用、含參變量積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分[3].該課程的思想主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

第一是函數(shù)的思想，數(shù)學(xué)分析課程的研究對(duì)象就是函數(shù)，重點(diǎn)研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性.

第二是極限的思想，數(shù)學(xué)分析課程是以極限為工具來(lái)研究初等函數(shù)，極限理論貫穿于數(shù)學(xué)分析全書.

第三是連續(xù)的思想，數(shù)學(xué)分析所研究的函數(shù)基本上都是連續(xù)的(或者是幾乎處處連續(xù)的).

(ii) 高等代數(shù)

《高等代數(shù)》課程的內(nèi)容主要包括多項(xiàng)式理論、行列式、線性方程組、矩陣和線性空間.高等代數(shù)主要起到工具的作用，矩陣的應(yīng)用在其他學(xué)科尤其廣泛.化繁為簡(jiǎn)是其主要思想，初等變換方法貫徹于全書之中.

(iii) 空間解析幾何

《空間解析幾何》課程主要研究空間(或平面)圖形的形狀、大小或位置相互關(guān)系，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.其主要思想是數(shù)形結(jié)合，幾何的問(wèn)題代數(shù)方法來(lái)解決.

5 三基課程間的關(guān)系

下面通過(guò)例題闡明創(chuàng)新技能在解題過(guò)程中的應(yīng)用.另外，它們也充分體現(xiàn)“三基”課程之間的聯(lián)系.

5.1 數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)的聯(lián)系

在數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)這兩門課程看似彼此相對(duì)獨(dú)立，實(shí)際上卻是聯(lián)系緊密的,而且適當(dāng)運(yùn)用分析的思想方法解決代數(shù)問(wèn)題,或者應(yīng)用代數(shù)的定理來(lái)解決分析問(wèn)題，往往會(huì)收到意想不到的效果.下面就通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明：

5.1.1 高等代數(shù)中的二次型理論在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

解由于

從而證得

本題主要運(yùn)用了高等代數(shù)中的矩陣、行列式及二次型知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)分析中的不等式問(wèn)題，過(guò)渡自然，銜接緊密，方法新穎.

5.1.2 高等代數(shù)中的線性變換理論在數(shù)學(xué)分析重積分中的應(yīng)用

V={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1}.

本題若利用一般的三重積分計(jì)算方法(即化為累次積分)是很難求出結(jié)果的，這種方法也是行不通的，但若采用高等代數(shù)中的正交變換，則很容易解決,作如下正交變換：

例3計(jì)算二重積分

解被積函數(shù)的指數(shù)部分不是一個(gè)實(shí)二次型,可以通過(guò)坐標(biāo)變換化為二次型.因?yàn)?/p>

求二重積分是數(shù)學(xué)分析中的常見(jiàn)題型，本題若要直接求積分將會(huì)相當(dāng)困難，而用換元法結(jié)合高等代數(shù)中的行列式這個(gè)有力工具，則將會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

5.1.3 高等代數(shù)中的相關(guān)性理論在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

即

而

5.1.4 數(shù)學(xué)分析中二重積分理論在高等代數(shù)中的應(yīng)用

此題若用半正定矩陣判別法直接去證實(shí)很難證出的，可改用二重積分的辦法來(lái)解決，即設(shè)X=(x1,x2,…,xn)T，則

上例無(wú)論是在題目上還是在解題過(guò)程中，分析思想和代數(shù)思想都好像是融為一體了.試想在例1解題過(guò)程中，用傳統(tǒng)的解法計(jì)算會(huì)有多么復(fù)雜，且易出錯(cuò)，更不容易算出最終的線性表示關(guān)系.而現(xiàn)在，我們利用矩陣及逆矩陣就可以輕而易舉的解出本題，可見(jiàn)創(chuàng)新技能在解題中的優(yōu)勢(shì).

此外，黑塞矩陣對(duì)數(shù)學(xué)分析中條件極值的判定、矩陣的引入對(duì)柯西中值定理及拉格朗日中值定理也起到至關(guān)重要的作用；數(shù)學(xué)分析方法在矩陣論中的應(yīng)用也非常廣泛.在這里就不一一舉例了.另外，在高等代數(shù)中，我們知道歐式空間中的一組非零向量，若它們兩兩正交就稱為正交向量組.在n維歐式空間中，若n個(gè)向量組成一個(gè)正交向量組，則稱該向量組是一個(gè)正交基.另外，由單位向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)?α∈n，有

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn,

其中ai=(α,εi)，(這里(,)是歐式內(nèi)積).

當(dāng)我們?cè)谌A東師范大學(xué)版《數(shù)學(xué)分析》[2]第十五章接觸到傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，我們知道：若函數(shù)

則它可以看成是由三角函數(shù)列(也稱三角函數(shù)系)

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx…

(*)

所產(chǎn)生的一般形式的三角函數(shù).易證，1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx…是線性無(wú)關(guān)的，故可作為一組基.即(*)相當(dāng)于εi(i=1,2,…,n)的作用.利用歐式內(nèi)積可得

我們的研討結(jié)論是：高等代數(shù)中的矩陣、行列式、二次型及線性空間等知識(shí)為數(shù)學(xué)分析的解題提供了有力的工具；反過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)分析中分析問(wèn)題的思想也在很大程度上簡(jiǎn)化了高等代數(shù)的求解.

5.2 空間解析幾何與高等代數(shù)的聯(lián)系

高等代數(shù)的內(nèi)容主要有: 多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間、線性變換、歐氏空間、λ-矩陣與若當(dāng)型、二次型.空間解析幾何主要研究二維實(shí)空間中的直線與二次曲線、三維實(shí)空間中的平面與二次曲面、空間曲線和空間曲面的位置關(guān)系、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換[5].而且空間解析幾何課程的中心思想是把代數(shù)方程與曲線曲面等圖形聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.由此可以發(fā)現(xiàn)兩門學(xué)科之間聯(lián)系的很緊密.

在我們剛進(jìn)入大學(xué)時(shí),比較習(xí)慣于處理具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題,對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性心理準(zhǔn)備不足,因而在學(xué)習(xí)高等代數(shù)常被高等代數(shù)中出現(xiàn)的大量抽象概念所困擾,導(dǎo)致對(duì)學(xué)好高等代數(shù)缺乏信心.這個(gè)時(shí)候空間解析幾何就顯得非常重要了，因?yàn)樵诟叩却鷶?shù)中的許多概念和方法都可在空間解析幾何中找到其幾何模型,這樣就可以把抽象問(wèn)題具體化，更容易理解.其中我們歸納出以下幾點(diǎn)聯(lián)系：

(i) 幾何中的矢量代數(shù)與代數(shù)中的(n維)向量空間、線性空間、歐氏空間聯(lián)系密切；

(ii) 幾何中的直線、平面方程及線面、面面的位置關(guān)系與代數(shù)中矩陣的秩及線性方程組聯(lián)系密切；

(iii) 幾何中的坐標(biāo)變換與代數(shù)中的線性變換聯(lián)系密切；

(iv) 幾何中的二次曲線、曲面的化簡(jiǎn)和分類與代數(shù)中的二次型理論聯(lián)系密切.

這里強(qiáng)調(diào)的是，代數(shù)是工具，空間解析幾何亦是代數(shù)的工具，幾何為理解代數(shù)提供背景材料與應(yīng)用場(chǎng)所.

5.2.1 空間解析幾何中的旋轉(zhuǎn)變換理論在高等代數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

比如下面這個(gè)經(jīng)典例題：

正常的計(jì)算方法是通過(guò)代數(shù)中的純矩陣運(yùn)算處理,先計(jì)算

由歸納法,得出

T:2→2∶(x,y)→(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ)，

求得線性變換T在該基下的矩陣為

則題目中所求的

可以看成是線性變換T的n次冪，即Tn在2中自然基下的矩陣；而Tn在幾何上看就是平面按逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)n個(gè)θ角即nθ角的線性變換,故Tn在自然基下的矩陣就是

因此,有

5.2.2 高等代數(shù)中的二次型理論在空間解析幾何求解二次曲線中的應(yīng)用

例7當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，一個(gè)有心二次曲線的一般方程為：

ax2+2by+cy2=f.

(1)

為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌圈龋鬓D(zhuǎn)軸

(2)

把方程(1)化成標(biāo)準(zhǔn)方程.

顯然，方程(1)的左端是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式.從代數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，所謂的化標(biāo)準(zhǔn)方程就是用線性替換(2)對(duì)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，使其只含有平方項(xiàng)，不再含有交叉項(xiàng).這種方法可以推廣到n元二次齊次多項(xiàng)式的情形，即《高等代數(shù)》中的二次型的研究.

例8設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，一個(gè)系數(shù)為數(shù)域P上的x1,x2,…,xn的二次齊次多項(xiàng)式

(a) 當(dāng)d1,d2,d3均大于0(三正)時(shí)，

x2+y2=1 在空間中為旋轉(zhuǎn)柱面,

(b) 當(dāng)d1>0,d2>0,d3<0(兩正一負(fù))時(shí)，

(c) 當(dāng)d1>0,d2<0,d3<0(一正兩負(fù))時(shí)，

高等代數(shù)中的二次型與空間解析幾何中的二次曲線有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)二次型的幾種特殊情況.我們也發(fā)現(xiàn)，二次曲線是在有限空間中存在，而標(biāo)準(zhǔn)二次型是在無(wú)限維空間中的，它們之間在這一點(diǎn)上有差異.

另外，利用線性方程組解的理論去判定幾何空間中的線線、線面、面面之間的關(guān)系等，也反映了這兩個(gè)學(xué)科之間的緊密聯(lián)系.

通過(guò)總結(jié)歸納和反思，我們對(duì)這組的研討結(jié)果是：空間解析幾何的坐標(biāo)系的建立及各種變換(線性坐標(biāo)變換、平面旋轉(zhuǎn)變換等)為高等代數(shù)提供了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，高等代數(shù)又為空間解析幾何中提供有力的計(jì)算工具.但在實(shí)際應(yīng)用中，同學(xué)們普遍反映的問(wèn)題是：空間解析幾何知識(shí)點(diǎn)太多太碎，要達(dá)到靈活運(yùn)用的程度還是有一定難度的.

5.3 數(shù)學(xué)分析與空間解析幾何的聯(lián)系

5.3.1 空間解析幾何在引入數(shù)學(xué)分析概念中的作用

對(duì)于剛剛進(jìn)入大學(xué)的大一新生來(lái)說(shuō)，由于高中的數(shù)學(xué)思維基本上是直觀的思維，一下從概念性的抽象思維來(lái)引入、建立數(shù)學(xué)分析中的系列抽象概念是有一定困難的.如果能夠從客觀現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，通過(guò)幾何直觀，則容易克服入門難問(wèn)題.

例如，數(shù)列極限的概念是數(shù)學(xué)分析課程學(xué)生所遇到的第一個(gè)抽象知識(shí)點(diǎn)，也是第一個(gè)難點(diǎn).通常的處理方法是借助數(shù)軸把數(shù)列的變化趨勢(shì)在數(shù)軸上直觀展現(xiàn)，觀察各類數(shù)列的變化趨勢(shì)，經(jīng)過(guò)形象思維，抽象概括其共有的本質(zhì)屬性，從而給出數(shù)列極限的描述性定義，進(jìn)而定量刻畫，便容易上升為精確定義.

萊布尼茲通過(guò)求曲線y=f(x)在點(diǎn)x0的切線的斜率的幾何方法，抽象概括得出一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念.而牛頓則從求變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的角度，抽象概括得出一般函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.筆者通過(guò)多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生更容易理解和接受從求曲線切線斜率抽象出導(dǎo)數(shù)概念這種模式.因此，把萊布尼茲的例子放在前面，從求割線斜率演示變化到求切線斜率，再到導(dǎo)數(shù)，這種方法比較自然、生動(dòng)，教學(xué)效果好.至于不定積分的概念的引入，則以求導(dǎo)問(wèn)題的逆問(wèn)題為切入點(diǎn)，然后通過(guò)結(jié)合直觀(畫函數(shù)圖像)，明確原函數(shù)族的幾何意義.對(duì)于定積分的概念引入時(shí)，一般均以計(jì)算曲邊梯形的面積為例，這也是形象思維的好材料，同樣對(duì)于二重積分的引入，采用求曲頂柱體的體積的例子，也是充分體現(xiàn)幾何直觀的思想.所以數(shù)學(xué)分析中的抽象概念若能夠利用幾何的直觀思維來(lái)理解，則學(xué)生的學(xué)習(xí)效果會(huì)非常的好.

5.3.2 空間解析幾何在數(shù)學(xué)分析論證中的作用

5.3.2.1 零點(diǎn)定理[6]

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)f(b)<0，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c使得f(c)=0.

該定理的證明方法一般是利用閉區(qū)間套定理[6],其主要的思想是構(gòu)造一系列的區(qū)間，通過(guò)區(qū)間的逐步縮短，從而“套出”f(x)的零點(diǎn),這思想體現(xiàn)了幾何直觀.另一種幾何直觀方法是尋找連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的首個(gè)零點(diǎn)或最后一個(gè)零點(diǎn),直觀的要點(diǎn)是把握這些零點(diǎn)的幾何性質(zhì).閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)均是函數(shù)值取正負(fù)的分界點(diǎn).比如果設(shè)f(b)>0,那么由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)的幾何性性質(zhì)，構(gòu)造集合E={x∈[a,b]|f(x)>0},令α=infE,然后由下確界的定義就可以證明f(α)=0，當(dāng)然上述集合E的構(gòu)造可以是多種多樣的.這種幾何直觀所誘導(dǎo)的證明思路可將繁長(zhǎng)的證明化為一幅易于掌握的幾何圖形,降低了證明的難度,易于學(xué)生掌握定理的本質(zhì).

圖1

5.3.2.2 介值性定理[6]

設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，若μ為介于f(a)與f(b)之間的任何實(shí)數(shù)(f(a)<μ

f(x0)=μ.

這個(gè)定理表明，若f(x)在[a,b]上連續(xù)，又不妨設(shè)f(a)

[f(a),f(b)]?f([a,b]).

這種通過(guò)幾何圖1直觀形象地理解定理的內(nèi)容使得學(xué)生更容易理解和掌握定理內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，然后才能夠準(zhǔn)確地運(yùn)用該定理，達(dá)到了化抽象為形象的目的.

5.3.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則

若函數(shù)f(x)在x0的某鄰域上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào),y=f(x)在x0可導(dǎo)且f′(x0)≠0,則它的反函數(shù)x=ψ(y)在y0=f(x0)可導(dǎo)且

以上定理的證明是較為簡(jiǎn)單的,因?yàn)樗鼉H僅涉及到導(dǎo)數(shù)的概念及反函數(shù)的連續(xù)性定理.但問(wèn)題是學(xué)生對(duì)反函數(shù)的求導(dǎo)公式?jīng)]有直觀的印象.鑒于此，我們可以觀察它的較為明顯的幾何意義，即若以α和β分別表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))的切線與x軸正向的夾角和曲線在x=ψ(y)點(diǎn)(x0,f(x0))的切線與y軸正向的夾角,那么α+β=π±π/2,于是tan(α)tan(β)=1,即ψ′(y0)f′(x0)=1,故

而要求f′(x0)≠0也是自然的,否則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))的切線與x軸平行,于是曲線x=ψ(y)在點(diǎn)(x0,f(x0))的切線就與y軸垂直,從而函數(shù)x=ψ(y)在f(x0)不存在導(dǎo)數(shù).

5.3.3 空間解析幾何在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

有些題目，借助幾何直觀，可以突破解題的關(guān)鍵思路.而有些題目首先借助于圖解法分析，進(jìn)一步地用數(shù)量關(guān)系的解法加以驗(yàn)證，這樣會(huì)加深學(xué)生理解.下面對(duì)書上的例題進(jìn)行舉例說(shuō)明.

證先分析它的幾何意義，這樣對(duì)于整體上把握證題思路、寫出邏輯證明是大有幫助的.

在空間解析幾何中，我們經(jīng)常遇到各種立體模型.它們的出現(xiàn)強(qiáng)化了我們的空間想象能力，也為我們解決數(shù)學(xué)分析問(wèn)題提供了直觀的模型.

例10對(duì)于雙曲拋物面

它被xOy平面分割成上下兩部分，上部分沿x軸的兩個(gè)方向上升，下部分沿y軸的兩個(gè)方向下降，曲面的大體形狀像一個(gè)馬鞍.所以雙曲拋物面也叫做馬鞍曲面.如圖2所示.

圖2

在《數(shù)學(xué)分析》中，涉及到多元函數(shù)，如：z=xy是定義在xOy平面上的函數(shù).乍一看這個(gè)二元函數(shù)與馬鞍曲線沒(méi)有關(guān)系，如果對(duì)于

圖3

當(dāng)x<0時(shí)，由sin(-x)<-x得sin(-x)<-x

綜上，又得到不等式

通過(guò)此題更讓我們覺(jué)得幾何圖形對(duì)于數(shù)學(xué)分析的解題具有不可忽視的作用，如果只是憑空想象我們很難發(fā)現(xiàn)sinx與x以及tanx之間的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)于本題就無(wú)法進(jìn)行下去，所以空間解析幾何不僅能讓初學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)分析的抽象概念更好地理解，它也是數(shù)學(xué)分析解題的有力工具.

此外，我們也可利用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)來(lái)解決空間解析幾何中的問(wèn)題.比如用隱函數(shù)定理的知識(shí)來(lái)解決求平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線等問(wèn)題.用數(shù)學(xué)分析中定積分的知識(shí)來(lái)求解平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率、旋轉(zhuǎn)曲面的面積等問(wèn)題.我們從中可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析與空間解析幾何相互滲透，兩者的融合加深了我們對(duì)這兩科知識(shí)的理解和掌握.下面我們將舉出幾個(gè)數(shù)學(xué)分析在解決幾何問(wèn)題中的作用的實(shí)例.

5.3.4 數(shù)學(xué)分析在空間解析幾何解題中的應(yīng)用

特別地，當(dāng)x1=-R,x2=R時(shí)，則得球的表面積S球=4πR2.

對(duì)于這個(gè)從中學(xué)我們就熟知的公式我們都很好奇它是怎么得來(lái)的，但一直由于知識(shí)有限不能證明，而今通過(guò)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，我們懂得了它的原始意義.所以，數(shù)學(xué)分析通過(guò)精確的論證讓我們更清楚地掌握了空間解析幾何中一些大家認(rèn)為理所當(dāng)然的知識(shí).初中時(shí)我們就學(xué)過(guò)怎樣求解一些平面曲線的切線方程，那么關(guān)于空間曲線的切線方程我們?cè)撊绾吻蠼饽?？?shù)學(xué)分析中偏導(dǎo)的學(xué)習(xí)為我們接開了空間解析幾何的又一層面紗.比如下面這個(gè)例子：

即

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)分析在空間解析幾何中的作用也不可否認(rèn).空間解析幾何知識(shí)為數(shù)學(xué)分析提供直觀的圖形處理方法，使其能夠更好地發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用.反之，數(shù)學(xué)分析中的極限思想和微積分思想也在很大程度上為幾何尋找新的思路及有力的支撐.另外，空間解析幾何的學(xué)習(xí)讓我們都更好地通過(guò)形象的圖形理解抽象的概念更輕松的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的理與美，相信也一定會(huì)增強(qiáng)我們的數(shù)學(xué)技能.但在實(shí)際學(xué)習(xí)應(yīng)用中，同學(xué)們普遍反映：很難系統(tǒng)的把握空間解析幾何知識(shí)，比較零散；數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)也只是停留在基本概念上；學(xué)習(xí)沒(méi)有興趣，無(wú)法進(jìn)行主動(dòng)積極的思考.

5.4 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、空間解析幾何三者相互滲透

由以上討論，我們可以看出“三基”課程之間兩兩聯(lián)系緊密，當(dāng)然會(huì)令人自然想問(wèn)，三者是不是有聯(lián)系呢？答案是肯定的.例如，在例13中，就將高等代數(shù)中的行列式(雅克比行列式)、數(shù)學(xué)分析中的微分及隱函數(shù)及空間解析幾何中的求基本平面方程的求解聯(lián)系起來(lái)，表現(xiàn)出“三基”課程之間的互通性與關(guān)聯(lián)性.

通過(guò)研討，我們驚奇的發(fā)現(xiàn)，《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《空間解析幾何》在許多方面有互通之處，它們?cè)诤艽蟪潭壬辖沂玖藬?shù)學(xué)的美.

6 總 結(jié)

我們知道事物之間是普遍聯(lián)系的，我們不能孤立的看問(wèn)題.作為初學(xué)者或許會(huì)感覺(jué)《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《空間解析幾何》之間沒(méi)有什么聯(lián)系，現(xiàn)在看來(lái)那樣的想法是不合理的.

在整個(gè)大學(xué)期間，立足于培養(yǎng)扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).曾有人說(shuō)過(guò)：從人才的培養(yǎng)角度來(lái)講，一個(gè)學(xué)生能否學(xué)好數(shù)學(xué)，很大程度上決定于他進(jìn)入大學(xué)伊始能否將《數(shù)學(xué)分析》這門課真正學(xué)到手.而我們說(shuō)，不僅要學(xué)好《數(shù)學(xué)分析》，還要學(xué)好《高等代數(shù)》和《空間解析幾何》.通過(guò)“三基”課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力、推理能力及嫻熟的運(yùn)算能力，拓寬知識(shí)面，具備創(chuàng)新意識(shí)、開拓精神和運(yùn)用能力，只有具有了這樣的條件才算是符合新世紀(jì)要求的優(yōu)秀人才.

“三基”課程是大一新生普遍反映難學(xué)的三門課程.這三門課程的共同特點(diǎn)就是邏輯性強(qiáng)，比較抽象，內(nèi)容上與高中相比有一定的跳躍性.若想學(xué)好它們，就要注意這三門課程內(nèi)在關(guān)系的聯(lián)系，把握好理解與記憶的關(guān)系.

通過(guò)調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)了同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中普遍存在的問(wèn)題，并對(duì)其原因展開深入地研討后得出結(jié)論，具有代表性.然后集思廣益，通過(guò)查閱大量的圖書資料，對(duì)大家的學(xué)習(xí)心得的總結(jié)進(jìn)行了綜合并研討，總結(jié)出“三基”課程的聯(lián)系.

[1] 盛興平,王海坤.新課標(biāo)下高師數(shù)學(xué)分析教學(xué)實(shí)踐與研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29(1)：11-14.

[2] 王朝暉.關(guān)于中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力及其培養(yǎng)的研究[D].華中師范大學(xué), 2000.

[3] 金玲玉，許少梅，劉文琰.數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28(4)：25-30.

[4] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社， 2003.

[5] 呂林根,許子道.空間解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2010.

[6] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

Research and Discussion on Associative Teaching of Three Basic Curriculum For Mathematics in Normal College

SHENGXing-ping,TANGJian,XINDa-wei,XUChuan-you

(School of Mathematics and Statistics, Fuyang Normal College, Fuyang Anhui 236037,China)

Students of mathematics in normal universities, they firstly face to study three basic curriculum — “mathematical analysis”,“advanced algebra” and “ space analytic geometry”.This article mainly study intrinsic relations of three basic curriculum from its content, teaching, and the skills of problem solving.Then we can further promote the teaching reform of three basic curriculum.

three basic curriculum; correlation; teaching method; teaching experience

2016-05-03； [修改日期] 2016-06-24

安徽省省級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)(2015jxtd023)，安徽省省級(jí)精品資源共享課程(2015gxk041)和基層組織優(yōu)秀教研室(2013JCJS03)

盛興平(1976-),男，博士，教授，從事數(shù)值代數(shù)研究.Email:xingpingsheng@163.com

G642

C

1672-1454(2016)06-0106-11