以函數對稱性為視角的命題探究
——從函數的奇偶性說起

☉河南省商水縣第二高中 黃俊峰

以函數對稱性為視角的命題探究
——從函數的奇偶性說起

☉河南省商水縣第二高中 黃俊峰

對稱性是函數的重要性質，也是高考的重要考查內容，從內容上來看函數的對稱性主要包括：軸對稱與中心對稱.

例如，奇函數和偶函數就是兩類特殊的對稱函數，其定義域為關于原點對稱的對稱區(qū)間，其中奇函數關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱.即奇函數在其定義域內滿足f（-x）=-f（x），偶函數在其定義域內滿足f（-x）=f（x）.

利用奇偶函數對稱性的相關結論?？珊啙嵔忸}，如偶函數在對稱區(qū)間內的最值相同、單調性相異；奇函數在對稱區(qū)間內的最大值與最小值互為相反數，對稱區(qū)間內的單調性相同等.

例1已知（fx）在其定義域R內滿足（f-x）-（fx）=0，且在區(qū)間（-∞，0）上單調遞增.若實數a滿足f（2|a-1|）＞（f-），則a的取值范圍是______.

解析：由條件f（x）在其定義域R內滿足f（-x）-f（x）=0知f（x）在定義域內為偶函數，且在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減，則不等式可轉化為，即，所以|a-1|＜，解得

評注：本題的解答關鍵是由條件關系式f（-x）-f（x）= 0確定函數為偶函數，則函數f（x）關于y軸對稱，再利用偶函數在對稱區(qū)間內單調性相異及f（-x）=f（x）=f（|x|）列出不等關系進行求解.

令，則F（X）是R上的奇函數.

因為奇函數的圖像關于原點對稱，所以F（X）min+ F（X）max=0.

因為F（X）max=f（x）max-1=M-1，F（X）min=f（x）min-1=m-1，所以（M-1）+（m-1）=0，所以M+m=2.

除奇偶性這種特殊的對稱關系外，還有如下幾種對稱類型，下面舉例說明.

一、軸對稱

（1）若f（a-x）=f（a+x），則函數f（x）的圖像關于直線x= a對稱；

（2）若f（a-x）=f（b+x），則函數f（x）的圖像關于直線x=對稱.

例3（2015年福建）若函數f（x）=2|x-a|（a∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在［M，+∞）上單調遞增，則實數m的最小值等于_______.

解析：由f（1+x）=f（1-x）得函數f（x）關于x=1對稱.

因為函數f（x）=2|x-a|的圖像是由函數y=2|x|的圖像向右平移a個單位所得，而函數y=2|x|的對稱軸為y軸，故f（x）= 2|x-a|的對稱軸為x=a，所以a=1，則f（x）=2|x-1|.

由復合函數單調性得f（x）在［1，+∞）上遞增，故m≥ 1.所以實數m的最小值等于1.

評注：由條件關系式可判斷函數的對稱軸，進而確定出a的值是問題順利求解的關鍵.

例4定義在R上的函數f（x）是偶函數，且f（x）=f（2-x）.若f（x）在區(qū)間［1，2］上是減函數，則f（x）（）.

A.在區(qū)間［-2，-1］上是增函數，在區(qū)間［3，4］上是增函數

B.在區(qū)間［-2，-1］上是增函數，在區(qū)間［3，4］上是減函數

C.在區(qū)間［-2，-1］上是減函數，在區(qū)間［3，4］上是增函數

D.在區(qū)間［-2，-1］上是減函數，在區(qū)間［3，4］上是減函數

圖1

解析：由f（x）=f（2-x）可知函數f（x）的圖像關于直線x=1對稱.又因為f（x）為偶函數，所以f（x）=f（x-2），所以函數f（x）為周期函數且周期為2，結合函數f（x）的圖像（如圖1）及在區(qū)間［1，2］上是減函數，知正確選項為B.

評注：注意對稱性與周期性的區(qū)別，若關系式兩邊括號內的x的符號相同，則可得出函數的周期性；若兩邊括號內的x的符號相反，則可得出函數的對稱性.本題求解中將偶函數與對稱性相結合得出函數的周期性.

例5已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x-4）= -f（x），且在區(qū)間［0，2］上是增函數，若方程f（x）=m（m＞0），在區(qū)間［-8，8］上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+ x2+x3+x4=（）.

A.-12B.-8C.-4D.4

解析：因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，滿足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=f（-x），所以f（x）的圖像關于直線x=-2對稱，且f（0）=0.由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x），所以函數f（x）是以8為周期的周期函數.

又因為函數f（x）在區(qū)間［0，2］上是增函數，所以f（x）在區(qū)間［-2，0］上也是增函數.

如圖2所示，則方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間［-8，8］上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1＜x2＜x3＜x4，由對稱性

圖2

同理x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

評注：本題求解中利用奇函數的性質，將對稱性與周期性統(tǒng)一起來，得出函數的周期與對稱軸.

二、中心對稱

（1）若f（a-x）=-f（a+x），則f（x）的圖像關于點（a，0）對稱；

（2）若f（a-x）=-f（b+x），則f（x）的圖像關于點對稱；

（3）若（fa-x）=2b-（fa+x），則（fx）的圖像關于點（a，b）對稱.

例6（2016年全國卷Ⅱ）已知函數（fx）（x∈R）滿足（f-x）=2-（fx），若函數y=與y=（fx）圖像的交點為（x，

1

A.0B.mC.2mD.4m

解析：由f（x）=2-f（x）得f（x）關于（0，1）對稱，而y=也關于（0，1）對稱，所以對于每一組對稱點

例7已知真命題“函數y=f（x）的圖像關于點P（a、b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數y=f（x+a）-b是奇函數”.

（1）將函數g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖像對應的函數解析式，并利用題設中的真命題求函數g（x）圖像對稱中心的坐標；

解析：（1）平移后圖像對應的函數解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x.

由于函數y=x3-3x是奇函數，由題設真命題知，函數g（x）圖像對稱中心的坐標是（1，-2）.

（2）設h（x）=log2的對稱中心為P（a，b），由題設知函數h（x+a）-b是奇函數.

設f（x）=h（x+a）-b，則f（x）=log2，即f（x）=

任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1.

所以函數h（x）=log2圖像的對稱中心的坐標是（2，1）.

評注：本題考查了函數圖像及圖像的變換、奇偶函數的對稱性，熟練掌握函數圖像平移變換法則及奇函數的定義和性質是解題的關鍵.

另外在處理有關函數對稱問題時要注意區(qū)分函數自身的對稱性與兩個函數對稱性的區(qū)別.兩個函數間的對稱性主要包括：兩個函數關于x軸對稱；兩個函數關于y軸對稱；兩個函數關于原點對稱；兩個函數關于直線x= a對稱；兩個函數關于點（a，b）對稱；互為反函數的兩個函數關于直線y=x對稱等.F