糾錯(cuò)應(yīng)該是基于“究錯(cuò)”的糾錯(cuò)
——例談促進(jìn)學(xué)生理解的糾錯(cuò)設(shè)計(jì)

☉浙江省嚴(yán)州中學(xué)梅城校區(qū)羅瑞根

糾錯(cuò)應(yīng)該是基于“究錯(cuò)”的糾錯(cuò)
——例談促進(jìn)學(xué)生理解的糾錯(cuò)設(shè)計(jì)

☉浙江省嚴(yán)州中學(xué)梅城校區(qū)羅瑞根

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)的一個(gè)組成部分和主要形式，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)“實(shí)踐性”環(huán)節(jié)，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的重要手段.波利亞說(shuō)過(guò)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練，……掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”這充分說(shuō)明了解題的重要性.數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題，解題在建立和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、形成和提高數(shù)學(xué)思維能力等方面起著不可替代的作用.

在解題的實(shí)踐中，學(xué)生常常因?yàn)楦拍?、方法、認(rèn)識(shí)、觀(guān)念、能力、意識(shí)等因素的影響而導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生，因此，糾錯(cuò)也就成為解題教學(xué)中的一項(xiàng)重要活動(dòng).由于課時(shí)的限制及教師自身的認(rèn)識(shí)，對(duì)于學(xué)生所犯錯(cuò)誤，教師糾錯(cuò)常對(duì)錯(cuò)因一帶而過(guò)，或以一個(gè)反例簡(jiǎn)單說(shuō)明，舍不得花時(shí)間或是不愿意深究，而把重心放在正確解法的講解上，“正解”成為主要的，“究錯(cuò)”則成為次要的，是一種“生拉硬拽”式的糾錯(cuò).這種做法的后果——一些學(xué)生考過(guò)、錯(cuò)過(guò)、講過(guò)、訂正過(guò)的題目，下次遇到學(xué)生還會(huì)錯(cuò).只有讓學(xué)生知其錯(cuò)知其之所以錯(cuò)，探究錯(cuò)誤的內(nèi)在原因，把握問(wèn)題的本質(zhì)，才可能理解、接受、反思、領(lǐng)悟正確的解法，進(jìn)而能夠遷移，真正達(dá)到糾錯(cuò)的效果、目的.文1談了“利用錯(cuò)誤資源，提高教育價(jià)值”，本文著重談一談對(duì)于“究錯(cuò)”，教師應(yīng)根據(jù)不同類(lèi)型的錯(cuò)誤做好促進(jìn)學(xué)生理解糾錯(cuò)的設(shè)計(jì)，采用不同的“究錯(cuò)”方式、策略.

一、以錯(cuò)“究錯(cuò)”，探錯(cuò)因深化認(rèn)知

這是在學(xué)習(xí)了基本不等式的知識(shí)、方法后，由學(xué)生在一節(jié)習(xí)題課上提出的一個(gè)問(wèn)題.

生1：可是這道題的參考答案不是這個(gè)結(jié)果，而我的做法中使用基本不等式的兩次等號(hào)能夠同時(shí)成立，我想不通是我錯(cuò)了還是參考答案錯(cuò)了.

生1：老師講過(guò)，3個(gè)變量盡可能減少為2個(gè)變量，我就這樣做了.

生2：要這樣我也能做，但結(jié)果可以不同，難道題目有問(wèn)題？

師：大家覺(jué)得是題目有問(wèn)題還是方法有問(wèn)題？

生3：還是方法有問(wèn)題，要按照上面的方法，這樣的操作有無(wú)數(shù)多種，每一種都能夠保證等號(hào)成立，但是結(jié)果也就有無(wú)數(shù)多種.究其原因，雖然兩次使用基本不等式時(shí)的等號(hào)都能取到，但第一次使用基本不等式時(shí)的等號(hào)僅是保證該不等式中的等號(hào)成立，卻并非使用基本不等式的“最佳搭配”方式，因此無(wú)法真正求出u的最大值.

師：很好.生3提到了“第一次使用基本不等式的等號(hào)僅是保證該不等式中的等號(hào)成立，卻并非使用基本不等式的‘最佳搭配’方式”，那什么是“最佳搭配”方式？誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)？

師：非常好，你能按照你的想法解這道題嗎？

生4：因?yàn)閍2+1+b2=，當(dāng)且僅當(dāng)a2=時(shí)等號(hào)成立.

生1：和參考答案一樣.

師：大家說(shuō)好不好？

眾學(xué)生：好！

生5：其實(shí)不用換元就可以直接做，x2+y2+z2=所以u(píng)=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.不換元更容易發(fā)現(xiàn)x，y，z之間的內(nèi)在聯(lián)系.

師：太好了，掌聲鼓勵(lì)一下.生4、生5發(fā)現(xiàn)了題目的內(nèi)在聯(lián)系，尤其生5的方法更是讓我們發(fā)現(xiàn)變形是x，z圍繞著y進(jìn)行的，要將y2合理地分配給x2，z2，“湊”出了問(wèn)題的本質(zhì)；而生1的方法為了過(guò)分地追求等號(hào)成立條件，開(kāi)始只考慮x，z之間的關(guān)系，“犧牲”了y，將只該一步完成的工作人為地分為兩步，生1的這種解法只是保證u能夠取到，而不能使其一定是u的最大值，是對(duì)使用基本不等式求最值“一正、二定、三相等”條件的片面認(rèn)識(shí)所造成的.感謝生1給我們提供了這樣一個(gè)好問(wèn)題.

學(xué)生認(rèn)知上的一些“誤區(qū)”往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的發(fā)生，而且相應(yīng)的錯(cuò)誤具有很大的迷惑性，這類(lèi)問(wèn)題的糾錯(cuò)如果采用“急剎車(chē)”——教師直接告知正確的解法，為什么學(xué)生的解法錯(cuò)了沒(méi)有說(shuō)清、說(shuō)深、說(shuō)透，就容易使學(xué)生“不服氣”，還覺(jué)得自己做的有道理，沒(méi)錯(cuò)，導(dǎo)致糾錯(cuò)大打折扣，甚至有“翻車(chē)”的危險(xiǎn)——下次遇到仍然重復(fù)自己根深蒂固的想法.糾錯(cuò)講求“究錯(cuò)”，對(duì)于學(xué)生的這一類(lèi)感到困惑的解題錯(cuò)誤，教師可以故意“模仿”學(xué)生的錯(cuò)誤解法，將學(xué)生引入“歧途”，導(dǎo)致自相矛盾，能夠引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，激發(fā)學(xué)生的求知欲，這時(shí)再通過(guò)師生之間的互動(dòng)，探討錯(cuò)因，尋求正解.以錯(cuò)“究錯(cuò)”，可以暴露、放大錯(cuò)誤，讓學(xué)生參與其中探究出錯(cuò)的原因，學(xué)生想通了、理解了、接受了，自然會(huì)轉(zhuǎn)變想法，在消除學(xué)生的困惑的同時(shí)，也深化了學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知，更能夠建構(gòu)完善學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)，而且對(duì)這類(lèi)問(wèn)題印象深刻，效果自然好于生硬的說(shuō)教、直接的矯正.

二、以對(duì)“究錯(cuò)”，辨錯(cuò)因強(qiáng)化認(rèn)知

圖1

例2已知θ∈R，實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4滿(mǎn)足cosθ≤x1≤2cosθ，sinθ≤x2≤2sinθ，2x3+x4-6=0，求|x1-x3|+|x2-x4|的最小值.

這是一份練習(xí)卷上的題目，很多學(xué)生不會(huì)做，還有很多學(xué)生做錯(cuò).主要的錯(cuò)誤解法是：由條件可得1≤x21+x22≤4，且x1≥0，x2≥0，故點(diǎn)A（x1，x2）在圓環(huán)1≤x2+y2≤4位于第一象限所在區(qū)域內(nèi)（包括邊界），而點(diǎn)B（x3，x4）在直線(xiàn)2x+y-6=0上，如圖1所示，原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x+y-6=0的距離d=，所以ABmin=d-圓環(huán)大圓半徑

2，此時(shí)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)2x+y-6=0垂直，所以kAB=，所以

應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生的解法很有代表性，符合學(xué)生解決直線(xiàn)上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離問(wèn)題的一般思路，也是有著很大的迷惑性.這種錯(cuò)誤很難類(lèi)似例1錯(cuò)解那樣以錯(cuò)導(dǎo)

錯(cuò)，引發(fā)矛盾，因此，這類(lèi)問(wèn)題適宜在尋求正確解法的過(guò)程中探究錯(cuò)誤的原因.教學(xué)過(guò)程如下：

老師首先展示了上述學(xué)生的解法.

師：在上述解法中，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，大家覺(jué)得可行嗎？

生1：應(yīng)該可以，因?yàn)榍笞钪祮?wèn)題的解決方法主要有兩種：第一種，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為用函數(shù)研究、解決問(wèn)題；第二種，利用問(wèn)題的幾何意義，從幾何直觀(guān)的角度求解.本題應(yīng)該是用第二種方法.

師：生1說(shuō)的非常好.但是這里面的|x1-x3|+|x2-x4|是否一定是上述解法中的AH+BH？

生1：我認(rèn)為是的，從圖像中可以看出來(lái).

師：那這種方法應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題嘍？那么老師想問(wèn)一下，本題中取到所求最小值時(shí)O，A，B三點(diǎn)是否一定共線(xiàn)？

生1：應(yīng)該差不多.

師：那你的意思是能夠從幾何直觀(guān)看出來(lái)？

生1：好像不能.

師：那就讓我們?cè)囍妙?lèi)似的方法在圖像中表示|x1-x3|+|x2-x4|，注意只考慮A，B兩點(diǎn)間的關(guān)系，O，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)的情況我們已經(jīng)看到了，暫時(shí)還不知對(duì)不對(duì)，因?yàn)檫@種看似由幾何直觀(guān)得出的結(jié)果必須保證其直觀(guān)性的“依據(jù)”，而本題上述解法好像是缺少這種依據(jù).我們看看能否找到“依據(jù)”？怎么去找？

生2：由圖1變到圖2，|x1-x3|+|x2-x4|還是等于A(yíng)H+BH.

師：AB的走向只有這一種嗎？

生2：還有兩種特殊走向我給補(bǔ)一下，由圖2變到圖3.

師：那么在圖3中，|x1-x3|+|x2-x4|如何表示？還是等于A(yíng)H+BH嗎？

圖3

圖2

生3：AB2垂直于x軸，|x1-x3|=0，|x1-x3|+|x2-x4|=|x2-x4|= AB2；AB1垂直于y軸，|x2-x4|=0，|x1-x3|+|x2-x4|=|x2-x4|=AB1.

師：就是說(shuō)|x1-x3|+|x2-x4|的表示與AB的走向有關(guān)，有三種，哪一種最小？

生3：是的，每一種都要求一下才知道吧.

師：那么我們都試著求一下.

過(guò)了一會(huì)兒……

生4：AB2，AB1的最小值能夠求出來(lái)，AH+BH的最小值好像不好求，求不出來(lái).

師：那請(qǐng)你寫(xiě)一下AB2，AB1的最小值的求法.

生4板書(shū)：設(shè)A（x1，y1），B2（x1，y2），則f（x1）=AB2=y2-y1=-2x1+6-，求導(dǎo)得，令f′（x1）= 0，得x1=，再判斷單調(diào)性可得（AB2）min=

生5：我還有更簡(jiǎn)單的方法.設(shè)A（2cosα，2sinα），則B2（2cosα，-4sinα+6），所以AB2=-4sinα+6-2cosα=6-同理可得，所以（AB2）min= 6-2.同理可得（AB1）min=3-

師：生4、生5分別用代數(shù)變量和角變量求出了AB2，AB1的最小值，三種情況解決了兩種，離目標(biāo)已經(jīng)很接近了，好啊.但是只要有一種情況沒(méi)解決，問(wèn)題就沒(méi)有結(jié)束，難點(diǎn)是AH+BH的最小值好像不好求，那么可不可以換一種思路，不好求能不能就不求也可以知道三種情況之間的大小關(guān)系.提示一下，還是從幾何直觀(guān)的角度.

生6：在圖3中，由直線(xiàn)y=-2x+6的斜率為-2，可得AB2= AG+GB2=AG+2GB＞AG+GB=AH+HB=AH+2HB1＞AH+ HB1=AB1，這樣在三種情況中，AB1最小.由生4、生5的方法就可以得到（AB1）min=3-，也就是|x1-x3|+|x2-x4|的最小值為3-

師：同學(xué)們覺(jué)得怎么樣？

眾學(xué)生：太棒了！

師：生1開(kāi)了一個(gè)好頭——從幾何直觀(guān)開(kāi)始，定下了一個(gè)正確的方向；生2、生3準(zhǔn)確地理解、直觀(guān)地表示|x1-x3|+|x2-x4|是我們成功的關(guān)鍵；生4、生5解決了兩種特殊情況的最小值的求解；生6完美“收官”，尤其通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”合理地比較三種情況之間的大小關(guān)系，達(dá)到了“設(shè)而不求”的效果，解決了其中一種情況難以求解的困難，這種解題策略值得我們共同學(xué)習(xí)，而這正是開(kāi)始老師所提到所要找的“依據(jù)”.同學(xué)們通力合作又為我們貢獻(xiàn)了一場(chǎng)精彩的“思維盛宴”.這樣，開(kāi)始時(shí)的解法顯然就是錯(cuò)誤的，是對(duì)題意沒(méi)有正確理解到位而導(dǎo)致的.

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)差異、聯(lián)系與區(qū)別，能夠類(lèi)比已有的方法卻又能夠突破框框發(fā)現(xiàn)新的解題方法，消除思維定勢(shì)的負(fù)向遷移，正確的理解、全面的考慮、準(zhǔn)確的表達(dá)、合理的計(jì)算帶來(lái)解題的成功，把握主次和輕重緩急.引導(dǎo)學(xué)生從正面探尋解決方法，這個(gè)過(guò)程也是不斷探索、調(diào)整、糾偏的過(guò)程，正確的方法出來(lái)了，錯(cuò)誤的原因也就發(fā)現(xiàn)了，可以強(qiáng)化學(xué)生正確的認(rèn)知，更好地幫助學(xué)生生成知識(shí)、方法、思想、能力、意識(shí)，幫助學(xué)生在強(qiáng)化某類(lèi)型問(wèn)題形成方法的同時(shí)學(xué)會(huì)“轉(zhuǎn)型”——防止思維定勢(shì)，教師要有意識(shí)地注意思維定勢(shì)對(duì)學(xué)生解題的負(fù)面影響，辯證看待，提倡既有思維的固定模式，更強(qiáng)調(diào)在理解的基

礎(chǔ)上辨證靈活地看問(wèn)題，優(yōu)化學(xué)生的解題過(guò)程，提高學(xué)生的解題能力.

三、對(duì)比“究錯(cuò)”，明錯(cuò)因提升認(rèn)知

例3已知函數(shù)y=log2（x2-2x+a）的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這種題目在學(xué)過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)以后會(huì)出現(xiàn)，老師講過(guò)后學(xué)生再做的錯(cuò)誤率仍然很高，于是老師再訂正，但效果還是不好.對(duì)于這種問(wèn)題的錯(cuò)誤，可以通過(guò)以下的設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)比探究錯(cuò)因，提升對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí).

表1

完成以上表格（表1），然后回答下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：通過(guò)對(duì)照比較，你能否觀(guān)察得出同組兩個(gè)小題中函數(shù)的定義域、值域的變化規(guī)律？

問(wèn)題2：你能從以上例子中得出函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)函數(shù)要滿(mǎn)足的條件嗎？對(duì)于值域?yàn)镽呢？

問(wèn)題3：你能夠畫(huà)出以上函數(shù)的圖像驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？

表2

問(wèn)題4：你認(rèn)為表2與表1的結(jié)果有何關(guān)系？

問(wèn)題5：你能夠畫(huà)出表2中的函數(shù)圖像嗎？

問(wèn)題6：你能夠?qū)⒈?中第2～6個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為第1個(gè)函數(shù)嗎？如果能夠，如何轉(zhuǎn)化？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題7：若函數(shù)y=lg（x2-2x+a）（a∈R）的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍是_______.若函數(shù)y=lg（x2-2x+a）（a∈R）的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是_______.

問(wèn)題8：你能否再舉出一些類(lèi)似的例子？

華羅庚先生告誡我們：復(fù)雜的問(wèn)題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.對(duì)于本題這樣抽象性強(qiáng)，理解困難的問(wèn)題，通過(guò)表1中的5組函數(shù)定義域、值域橫向的變化對(duì)照，先“退”到簡(jiǎn)單的、特殊的、熟悉的函數(shù)模型，再?gòu)奶厥獾揭话?，提?個(gè)問(wèn)題，導(dǎo)向所要“究錯(cuò)”的問(wèn)題上，然后再通過(guò)表2與表1中的函數(shù)定義域、值域的縱向?qū)φ?，繼續(xù)從特殊到一般，類(lèi)比反思逐漸逼近目標(biāo).8個(gè)問(wèn)題竄成一串，前后呼應(yīng)，導(dǎo)向性明確，連同表格的設(shè)計(jì)在內(nèi)始終突出“對(duì)照比較”，這也是提升這類(lèi)問(wèn)題認(rèn)知的有效手段.問(wèn)題3提示學(xué)生利用圖像的直觀(guān)性以提高對(duì)于問(wèn)題形象性的理解，這兒的畫(huà)圖可以結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)圖像的變換完成，畫(huà)圖的過(guò)程可以提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，而問(wèn)題5中的表2中第3～6個(gè)函數(shù)的圖像是很難準(zhǔn)確并且直接地畫(huà)出來(lái)（當(dāng)然教師可以利用幾何畫(huà)板輔助作圖幫助學(xué)生直觀(guān)地觀(guān)察理解），從而將學(xué)生的思維再導(dǎo)向簡(jiǎn)單的、特殊的、熟悉的函數(shù)模型，使學(xué)生能夠運(yùn)用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，在引導(dǎo)學(xué)生化歸的同時(shí)，使學(xué)生能夠真正認(rèn)識(shí)、把握問(wèn)題的本質(zhì).前6個(gè)問(wèn)題是歸納的過(guò)程，而問(wèn)題7、問(wèn)題8則是從一般到特殊的演繹的過(guò)程，使學(xué)生在懂、會(huì)的基礎(chǔ)上，能夠運(yùn)用、領(lǐng)悟.

教育家第斯多得曾說(shuō)：“不好的教師是傳授真理，好的教師是叫學(xué)生去發(fā)現(xiàn)真理”，教師的“教”是為了學(xué)生的“學(xué)”，教學(xué)中教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的自主性、積極性，從“教”變“導(dǎo)”.理解是學(xué)習(xí)者自覺(jué)克服舊的觀(guān)念和習(xí)慣對(duì)他們的束縛而獲得的，我們應(yīng)該注意，即使那些成功的學(xué)生也可能不具備這種能力，教師能做的只是為學(xué)生創(chuàng)造條件促進(jìn)理解的實(shí)現(xiàn).教師應(yīng)把研究的重點(diǎn)放在如何“帶著學(xué)生走向知識(shí)”，而非“帶著知識(shí)走向?qū)W生”.錯(cuò)解蘊(yùn)含著豐富的資源，是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的寶貴資料，需要我們的智慧和精力去深入挖掘利用.錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，是成功的開(kāi)始，我們應(yīng)該積極主動(dòng)去挖掘錯(cuò)誤，剖析錯(cuò)解，防止類(lèi)似錯(cuò)誤的再發(fā)生.教師要針對(duì)學(xué)生不同的解題錯(cuò)誤，做到具體問(wèn)題具體分析，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)環(huán)節(jié)，靈活地采用適當(dāng)?shù)摹熬垮e(cuò)”方式、策略，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探究、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，走向理解：可以反思總結(jié)錯(cuò)在何處，錯(cuò)因分析；應(yīng)該怎么做，為何這樣做；能否一題多解，哪種方法更優(yōu)；能否變條件，變結(jié)論，多題一解；錯(cuò)解剖析，有何感悟等.讓糾錯(cuò)時(shí)的“究錯(cuò)”成為一種習(xí)慣，成為一種能力，成為一種意識(shí)，能夠深化、強(qiáng)化、提升認(rèn)知，提高對(duì)數(shù)學(xué)的理解、領(lǐng)悟、把握，使解題正確、解題成功成為一種必然.F