善用最值另辟蹊徑
——例談函數(shù)最值的運(yùn)用

☉江蘇省蘇州市第十中學(xué) 陳春明

善用最值另辟蹊徑
——例談函數(shù)最值的運(yùn)用

☉江蘇省蘇州市第十中學(xué) 陳春明

最值是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，其運(yùn)用很廣泛，常常是求函數(shù)最值及利用最值解決恒成立問題等題型，本文介紹函數(shù)最值的幾種應(yīng)用，以饗讀者.

一、善用最值巧解一類含參函數(shù)問題

給定含參函數(shù)的最值求參變量的值（取值范圍），這一類題在近幾年的高考中頻頻出現(xiàn)，常見的解法是先求出函數(shù)最值關(guān)于參變量的表達(dá)式，再求參變量的值，求解過程往往因需分類討論而顯得煩瑣.

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1給出的函數(shù)最值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果實(shí)數(shù)m滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤m（f（x）≥m）；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=m.那么，我們稱m是函數(shù)f（x）的最大值（最小值）.

根據(jù)函數(shù)最值定義，m是函數(shù)f（x）的最大值（最小值）等價(jià)于不等式f（x）≤m（f（x）≥m）恒成立且等號(hào)成立.教學(xué)中，若能靈活運(yùn)用函數(shù)最值定義，可收到意想不到的效果.

例1已知函數(shù)f（x）=x2-2（t-1）x+4在區(qū)間［1，5］上的最小值為2，求t的值.

解析：根據(jù)題意，x2-2（t-1）x+4≥2對(duì)于任意的x∈［1，5］恒成立，且?x0∈［1，5］使此不等式等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)：本題的傳統(tǒng)解法是對(duì)參數(shù)t分類討論，即對(duì)拋物線f（x）的對(duì)稱軸x=t-1分：t-1＜1，1≤t-1≤5，t-1＞5三種情況討論求得f（x）的最小值h（t），然后由h（t）=2解得t的值.這里利用變量分離將參數(shù)t轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的最值，避免了煩瑣的分類討論，解法簡(jiǎn)單明了.

二、善用最值證明不等式問題

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的不等式的證明一直是高考重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象，而且常以壓軸題出現(xiàn)，因?yàn)槠渥C法的靈活性、多變性、抽象性使得很多同學(xué)對(duì)其望而生畏.本文通過利用函數(shù)最值的辦法來(lái)證明不等式，其一是為學(xué)生證明不等式提供一種方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)揮數(shù)學(xué)資源的再創(chuàng)造價(jià)值.

例2已知函數(shù)f（x）=x3-x+a，x∈R.

求證：對(duì)于區(qū)間［-1，1］上任意兩個(gè)自變量x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜1.

分析：|f（x1）-f（x2）|表示函數(shù)f（x）兩個(gè)函數(shù)值的極差，當(dāng)然不會(huì)超過最大值與最小值的差，故本題實(shí)為求函數(shù)的最大值與最小值.

解：f′（x）=3x2-1，令f′（x）=0，解得

點(diǎn)評(píng)：如果構(gòu)造的函數(shù)解析式比較復(fù)雜，求導(dǎo)之后難于判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，無(wú)法求解最值，則需要將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題解決.如果轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值仍然無(wú)法解決，則應(yīng)該將函數(shù)解析式進(jìn)行變形，有

時(shí)甚至要對(duì)函數(shù)進(jìn)行放大或縮小，目的是便于直接求導(dǎo)和求出函數(shù)的最值.

三、善用最值將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題

此類問題的解決可以按照下列流程：

m是含參函數(shù)f（x）（x∈I）的最大值且在x=x0處取得最值?f（x）≤m（x∈I，x≠x0）恒成立?t≤g（x）（或t≥g（x））（x∈I，x≠x0）恒成立?t≤［g（x）］min（或t≥［g（x）］max）（x∈I，x≠x0）.

例3設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax3-3x2.

（Ⅰ）若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈［0，2］，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍.

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）g（x）=f（x）+f′（x）=ax3+（3a-3）x2-6x，由題意知，g（x）在區(qū)間［0，2］上取得最大值0，所以，當(dāng)x∈（0，2］時(shí)，不等式g（x）≤0恒成立，即不等式a≤恒成立.

點(diǎn)評(píng)：注意本題與例1的區(qū)別，由于本題中g(shù)（x）在x= 0處取得最大值，因此，當(dāng)x∈（0，2］時(shí)不等式g（x）≤0中的等號(hào)不一定成立，從而不能斷定a是否是函數(shù)h（x）的最小值.

四、善用最值判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題

例4已知函數(shù)（fx）=lnx-x2+x，證明：函數(shù)（fx）只有一個(gè)零點(diǎn).

證明：函數(shù)（fx）的定義域是（0，+∞），f（′x）=-

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0.

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=0.

所以函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：本題表面上是證明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，實(shí)際上只要求出最大值問題便迎刃而解.

五、善用最值確定函數(shù)的單調(diào)性問題

例5試判斷函數(shù)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x的單調(diào)性.

解析：函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），g′（x）=2ln（1+ x）-2x.

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)；

當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).

所以h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，所以g′（x）＜0（x≠0），函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：本題求得h（x）極大值h（0）=0，即g′（x）的最大值為0后，函數(shù)g（x）的單調(diào)性便隨之確定.

六、善用最值，利用函數(shù)極值點(diǎn)的唯一性建立關(guān)于參變量的方程

此類問題的解決流程可以表示為：

（1）f（x）≥m（x∈I）恒成立，且當(dāng)x=x0時(shí)等號(hào)成立；（2）f（x）在區(qū)間I上有唯一極小值點(diǎn)h（t）?h（t）=x0（或f（h（t））=m）?解方程求得參變量t的值.

例6已知函數(shù)f（x）=ex-ax-1（a＞0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；

（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；

解析：（Ⅰ）由題意a＞0，f′（x）=ex-a，由f′（x）=ex-a=0，得x=lna.

當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0.所以f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增.

所以f（x）在x=lna處取得極小值，且為最小值，其最小值為f（lna）=elna-alna-1=a-alna-1.

（Ⅱ）解法1：顯然當(dāng)x=0時(shí)f（x）=0，又f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，所以當(dāng)x=0時(shí)f（x）取得最小值0.

又由（Ⅰ）知，f（x）有唯一的極小值點(diǎn)x=lna，所以lna= 0，a=1.

解法2：f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0.

由（Ⅰ），設(shè)g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0.由g′（a）=1-lna-1=-lna=0，得a=1.

所以g（a）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減.

所以g（a）在a=1處取得極大值g（1）=0.

因此g（a）≥0的解為a=1，即所求a的值為1.

點(diǎn)評(píng)：解法1和解法2的區(qū)別在于分別根據(jù)函數(shù)極小值點(diǎn)和極小值列方程或不等式，解法2是一種傳統(tǒng)的解法，在這里顯然解法1比解法2簡(jiǎn)單.

七、善用最值解決存在性問題

例7已知函數(shù)g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.是否存在實(shí)數(shù)x0∈（0，e］，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：因?yàn)間（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，e］，所以g′（x）=令g′，即

曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g′（x0）=0有實(shí)數(shù)解.令h（x）=lnx-1，則h′（x）=

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)1＜x≤e時(shí)，h′（x）＞0.

而當(dāng)x∈（0，e］時(shí)，ex＞0，-，所以方程g′（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)解.

故不存在x0∈（0，e］，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直.

點(diǎn)評(píng)：本題在求出方程①左邊最小值為0，右邊小于0后，問題便得以解決.

事實(shí)上，以上例題都是函數(shù)最值概念的應(yīng)用.所以我們給學(xué)生的練習(xí)題不應(yīng)該千遍一律，要注意在形變神不變的情況下，多角度、多方位地設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生思考，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

八、善用最值，利用函數(shù)圖像過定點(diǎn)巧解復(fù)合最值問題

利用最值解決復(fù)合最值問題即指：含參函數(shù)f（x）（x∈I）的最大值為M（t）（或最小值m（t）），且f（x）的圖像過定點(diǎn)（x0，f（x0））（x0∈I）?M（t）有最小值f（x0）（或m（t）有最大值f（x0））.

例8已知函數(shù)f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最大值，并求取得最大值時(shí)a的值.

解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f（′x）=2+.

當(dāng)a≥0時(shí)，f（′x）＞0，函數(shù)（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）因?yàn)棣眨╝）=［（fx）］min≤（f1）=2，所以φ（a）的最大值為2.

綜上所述，對(duì)于含參函數(shù)的最值問題，教學(xué)中，我們教師要善于引導(dǎo)學(xué)生充分利用題設(shè)條件，靈活運(yùn)用函數(shù)最值定義，打破傳統(tǒng)思維模式，大膽探索不同解法，這樣才能有效提高學(xué)生的思維能力，同時(shí)有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.F