中學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的表征研究*

☉江蘇省鹽城中學(xué)教育集團(tuán)張衛(wèi)明

中學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的表征研究*

☉江蘇省鹽城中學(xué)教育集團(tuán)張衛(wèi)明

一、問題的提出

哈爾莫斯指出，問題是數(shù)學(xué)的心臟.美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)管理者大會(huì)（NCSM）在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中認(rèn)為“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決”，并且把解決問題能力列為十項(xiàng)基本技能之首.我國(guó)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也明確要求數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)應(yīng)注重發(fā)展能力，包括解決問題的能力.因而學(xué)習(xí)怎樣解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本原因，培養(yǎng)和提高學(xué)生分析、解決問題的能力就成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù).在數(shù)學(xué)問題解決的研究領(lǐng)域，自二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，安德森等人對(duì)知識(shí)分類的研究取得了豐富的成果，人們開始以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為例構(gòu)建問題表征理論和數(shù)學(xué)問題解決研究，從而為數(shù)學(xué)問題解決的表征研究提供理論依據(jù).

二、數(shù)學(xué)問題表征與數(shù)學(xué)問題解決

表征即信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式，它既是客觀事物的反映，也是被加工的客體.數(shù)學(xué)問題表征是指解題者根據(jù)數(shù)學(xué)問題的相關(guān)信息和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，破譯數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)因子，建構(gòu)數(shù)學(xué)問題自由空間的過程.問題表征既是對(duì)問題的理解和內(nèi)化的一種過程，也是對(duì)問題理解的一種結(jié)果.而數(shù)學(xué)問題解決，其“問題”一般是指解題者初次遇到的問題，整個(gè)問題解決的過程具有目的明確的特點(diǎn).美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)管理者大會(huì)（NCSM）在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中把其定義為“將先前已獲得的知識(shí)用于新的、不熟悉的情境的過程”，當(dāng)前國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)問題解決是指“綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)去解決那種并非單純練習(xí)題式的問題，包括實(shí)際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題”.由此可見，數(shù)學(xué)問題表征是貫穿數(shù)學(xué)問題解決的一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，它涵蓋了從呈現(xiàn)問題到解決問題的全過程.

三、數(shù)學(xué)問題解決的表征研究

要想解決問題首先要做到理解問題，即進(jìn)行合理的表征，其實(shí)質(zhì)是對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行信息提取、組織、加工、分析、表達(dá)的過程，數(shù)學(xué)問題表征對(duì)于數(shù)學(xué)問題解決來(lái)說(shuō)具有很重要的作用，是問題解決活動(dòng)的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，貫穿了數(shù)學(xué)問題解決的全過程，它可以說(shuō)明問題是如何在腦中呈現(xiàn)的.數(shù)學(xué)問題解決的第一步就是對(duì)問題進(jìn)行表征，確定問題究竟是什么.一旦采取合理方式表征問題，就形成了一個(gè)良好的問題空間，問題的解決就開了一個(gè)好頭.學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，根據(jù)自身所積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)或生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)表征數(shù)學(xué)問題.然而問題解決能力較差的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的過程中缺乏建立適宜的、科學(xué)的表征能力，也因此影響數(shù)學(xué)問題的有效解決.

新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念要求數(shù)學(xué)教師著力培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，其對(duì)學(xué)生搜集和處理信息的能力、數(shù)學(xué)思維的能力、遷移能力及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也有重要的影響.數(shù)學(xué)解題能力是指對(duì)已經(jīng)提出的問題進(jìn)行解答的能力，解答數(shù)學(xué)問題依賴于解題者的知識(shí)基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗(yàn).學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題能力的高低不僅與貯存知識(shí)的數(shù)量有關(guān)，還與貯存知識(shí)的概括程度、索引方式、相互關(guān)聯(lián)度等可有效利用的屬性有關(guān).因此培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力勢(shì)在必行.由于中學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力與問題表征過程有著密切的聯(lián)系，現(xiàn)結(jié)合相關(guān)理論和解題實(shí)踐，從問題表征的角度提出中學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力提高的建議，以饗讀者.

1.建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，疏通信息感知渠道

一般而言，我們解決一道數(shù)學(xué)題，第一件事應(yīng)該了解這是道什么題？它是什么形式，屬于何種類型.解題中要充分理清條件的指向性和結(jié)論的隱藏性、迷惑性，在紛繁復(fù)雜的信息中，看條件特殊、看轉(zhuǎn)化結(jié)論、看過程溝通，以尋求最有用、最有價(jià)值的信息.［1］即我們應(yīng)先根據(jù)題目的條件和結(jié)論進(jìn)行類型識(shí)別，解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題必須理解這個(gè)數(shù)學(xué)問題，即先要對(duì)它進(jìn)行表征.再通過差異分析和題目信息的轉(zhuǎn)換、活用等思維活動(dòng)，結(jié)合相應(yīng)類型的數(shù)學(xué)問題解決模式，就容易找到解決問題的切入點(diǎn).

問題解決者對(duì)問題采取什么樣的表征方式，這很依賴于個(gè)體不同的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).因此，數(shù)學(xué)問題教學(xué)中必須夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的培養(yǎng)，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在講解例題的過程中，應(yīng)注重師生、生生之間的多向交流、討論，深入剖析例題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生嘗試從多種角度對(duì)問題進(jìn)行不同表征，使問題表征正確、恰當(dāng)、靈活，疏通問題信息感知渠道.由于數(shù)學(xué)表征對(duì)完善學(xué)生的數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有積極的影響，在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地教會(huì)學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)主動(dòng)觀察、思考、歸納、總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從多種角度對(duì)同一問題進(jìn)行不同表征.

案例1如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上.［2］

（1）求∠AED的度數(shù)；

（2）求證：AB=BC；

（3）如圖2所示，若F為線段CD上一點(diǎn)，∠FBC=30°.求的值.

圖1

圖2

在同一問題的解決過程中，鼓勵(lì)學(xué)生用適合自己且科學(xué)合理的方法表征并解決問題，從而在群體中盡可能出現(xiàn)多樣化的問題解決方法.現(xiàn)以第（3）問為例介紹以下幾種解題策略.

分析1：利用的背景知識(shí)為：運(yùn)用全等與相似論證初中幾何中常遇到證明線段或角之間關(guān)系的問題.可以有如下解題思路.

思路1：如圖3，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由∠G=∠GBC=30°，∠GAB=90°，可知BG=2AB，從而得到FG=BF.易證△DGF≌△CBF，所以DF=CF.

圖3

圖4

思路2：如圖4，在BC上截取BH=AD，連接FH，易證△ADF≌△BHF，△FHC為等腰三角形，從而得到DF= FH=CF.

在思路1、思路2中，問題表征的方式不一樣，有利于突出學(xué)生不同的思維水平，培養(yǎng)思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性，從而提高解決問題的能力.

分析2：利用的背景知識(shí)為：把直觀圖形與抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，通過對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，使問題化難為易，最終使問題獲解.

思路3：建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BC=a，則C（a，0），A（0，a）.

圖5

由上可見，在問題的感知中，往往需要問題表征的參與，把感知到的對(duì)象特征和關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋碚?，有利于從背景中清晰地分離出特定的對(duì)象和關(guān)系.信息感知渠道是否通暢可反映出問題解決者的知識(shí)背景和表征水平及能力.只有建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能使整個(gè)解題過程不陷于僵化的程式.

2.加強(qiáng)解題過程監(jiān)控，提高數(shù)學(xué)表征能力

數(shù)學(xué)解題監(jiān)控，就是指解題者（學(xué)生）在解題過程中進(jìn)行監(jiān)測(cè)、控制的過程.［3］數(shù)學(xué)表征是指用數(shù)學(xué)工具適當(dāng)?shù)乇硎緮?shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)，用程序表示思考步驟，用圖表表示整體結(jié)構(gòu)，用數(shù)、符號(hào)、式子精細(xì)表示對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系.在表示問題結(jié)構(gòu)中，始終記住問題的目標(biāo)任務(wù)，以任務(wù)導(dǎo)向問題的表征和表征方式的變化，是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有向多元的數(shù)學(xué)表征的重要策略.在數(shù)學(xué)問題解決中，學(xué)生要理解題意，區(qū)分問題中的有關(guān)信息和無(wú)關(guān)信息，把握相關(guān)信息，擬定解題方案，利用數(shù)學(xué)概念、圖像、公式、表達(dá)式等表征問題.在數(shù)學(xué)問題解決的初始狀態(tài)到數(shù)學(xué)問題解決的目標(biāo)狀態(tài)，解題者在解題監(jiān)控的作用下，數(shù)學(xué)表征能力得到進(jìn)一步提高.

在研究中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因就是解題缺乏有效的監(jiān)控.解題教學(xué)中，教師要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)教學(xué)中的錯(cuò)誤資源有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生在解題時(shí)的監(jiān)控能力.可讓學(xué)生有解題的計(jì)劃性，預(yù)測(cè)解題的方法與結(jié)果的相關(guān)性.

案例2已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC.若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？老師請(qǐng)學(xué)生畫圖表示并回答解題思路.［4］

生1：如圖6，連接AO.因?yàn)镺E=

OF，所以AO平分∠BOC.又OB=OC，

可證得△AOB≌△AOC.所以AB=

AC.

師：AO平分∠BOC，為什么

△AOB≌△AOC？

生1：（理所當(dāng)然地）兩邊及一角

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等呀！

生2：不對(duì)，你錯(cuò)用三角形全等的判定方法了.實(shí)際上可先說(shuō)明△EOB≌△FOC得到BE=CF，再由△EOA≌△FOA得到AE=AF，這樣就能說(shuō)明AB=AC了！

師：（緩緩地）這個(gè)方法很簡(jiǎn)明啊……

生3：（迫不及待地）我覺得他們的畫圖不全面，還有不同的情況！

（“一石激起千層浪”，學(xué)生恍然大悟）

師：很好！那么還有其他的什么情況？

生4：如圖6，點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC，但是顯然AB=AC不成立.

（大家紛紛向生4贊賞的目光）

師：不錯(cuò)！這就告訴我們，數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，平時(shí)考慮數(shù)學(xué)問題一定要全面、細(xì)致……

數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤是正常的.加強(qiáng)解題過程的監(jiān)控，及時(shí)地糾正錯(cuò)誤.讓學(xué)生深刻地理解和掌握基本知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想方法，提高分析、解決問題的能力.此案例中，學(xué)生認(rèn)為，反映了學(xué)生的直覺思維水平.但一些學(xué)生僅僅依靠直覺，誤用三角形全等的判定方法，還有部分學(xué)生受思維定勢(shì)的影響，考慮問題不全面，思維缺乏縝密性和批判性.實(shí)踐證明，加強(qiáng)問題解決的監(jiān)控，不僅可以促使學(xué)生在解題時(shí)對(duì)問題表征形成合理直覺（頓悟），還能有效地提高學(xué)生對(duì)問題深層次理解的能力.

圖6

3.突出數(shù)學(xué)解題思想，提升方法表征能力

現(xiàn)代解題理論指出：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，數(shù)學(xué)解題的過程是數(shù)學(xué)思想方法得以運(yùn)用的過程.可以這樣說(shuō)，抓住了數(shù)學(xué)思想方法就是主宰了數(shù)學(xué)教育的生命.數(shù)學(xué)思想的形成與否，關(guān)鍵不是會(huì)解某道題，而是會(huì)解決某類題，關(guān)鍵是在舉一反三、觸類旁通的基礎(chǔ)上能形成解決不同知識(shí)點(diǎn)、不同題型的思維規(guī)律.這需要解題者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面不僅學(xué)好概念、公式、法則等內(nèi)容，而且要能領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，并通過不斷積累，逐漸內(nèi)化為自身的解題經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高解決問題的能力.

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)自身的發(fā)展是相輔相成的，作為問題解決來(lái)說(shuō)更是離不開它們.解決一個(gè)問題總是要采用一定的方法，更一般地說(shuō)，解決一類問題的方法也許是一種“思想之樹”的結(jié)果.采用以形先導(dǎo)、數(shù)形結(jié)合等方式表征數(shù)學(xué)問題是進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的合理表征和表征轉(zhuǎn)換的有效方法.因此，在解題教學(xué)中，教師一定要揭示數(shù)學(xué)的思想方法，使這種潛在的知識(shí)發(fā)揮其自身的功能.

案例3已知函數(shù)y1=x+1（x＞-1）與函數(shù)y2=x2+2x+5（x＞-1），求的最小值，并指出取得該最小值時(shí)相應(yīng)的x的值.

分析：利用的知識(shí)背景為：構(gòu)造特殊的平方式并且利用平方的非負(fù)性證得基本不等式，再由配方法將問題轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求解的形式.

我們知道配方法的基本特征［5］：（1）配方目標(biāo)有明確性.配方有一個(gè)明確而具體的思維指向——出現(xiàn)平方式.（2）配方途徑有多向性.同一個(gè)式子可以有不同的配方結(jié)果，可以配成一個(gè)或多個(gè)完全平方式.（3）配方對(duì)象有多樣性.數(shù)、字母、具體的數(shù)學(xué)式、抽象的函數(shù)關(guān)系等進(jìn)行配方.（4）配方使用有多重性.配方可以并列地多次使用，也可以連續(xù)地重復(fù)使用.（5）配方應(yīng)用有廣泛性.無(wú)論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)、是代數(shù)還是幾何、是相等關(guān)系還是不等關(guān)系、是求值還是證明、是連續(xù)還是離散問題、是簡(jiǎn)單的整數(shù)還是抽象的解析式，都能用到配方法.可見，配方法以一種方法為主線，能夠解決不同領(lǐng)域的問題.教師有意識(shí)地滲透、傳授數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生就可獲得大量的關(guān)于解決數(shù)學(xué)問題的一般和特殊的策略性知識(shí).數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類、特殊到一般等這些數(shù)學(xué)思想不僅是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，也是數(shù)學(xué)問題表征的高層次表現(xiàn).教學(xué)中只有突出數(shù)學(xué)思想，明晰各種方法，學(xué)生的問題表征能力才更具有靈活性、深刻性.

案例4若ab≠1，且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+ 5=0，則的值是（）.

分析：利用的知識(shí)背景為：通過觀察、分析，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程之間的聯(lián)系，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

思路：根據(jù)5a2+2002a+9=0，等式兩邊同除以a2得5+0，可知，b（根據(jù)ab≠1知≠b）是一元二次方程9x2+ 2002x+5=0的兩個(gè)解，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得=，即=，故答案為A.

這道題難點(diǎn)之一是個(gè)體如何根據(jù)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)將等式5a2+2002a+9=0和9b2+2002b+5=0創(chuàng)造性地建立應(yīng)有的聯(lián)系.這對(duì)解題者來(lái)講是一種考驗(yàn)，解題者最終能否成功地建構(gòu)出關(guān)于所面臨問題的一個(gè)合適的內(nèi)在表征，能否學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的調(diào)節(jié)點(diǎn)先進(jìn)行分析和監(jiān)控便顯得尤為重要.在解題分析中，將不熟悉的類型轉(zhuǎn)化為熟悉的類型，將費(fèi)解的類型“肢解”成一個(gè)個(gè)熟悉的小問題或不斷地揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法調(diào)節(jié).如本例中消參時(shí)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，題目中的某些條件與其本人已有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系和碰撞，從而此刻“問題空間”向著成功的方向轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)解題者知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)之間的相互溝通能力.

4.注重應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)，增強(qiáng)情境表征能力

實(shí)際問題是錯(cuò)綜復(fù)雜的，問題解決的表征，不必要尋求一種固定的模式.比如，學(xué)習(xí)“相似”時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟到勾股章中的邑方、杠桿原理、焦距等與相似有著十分密切聯(lián)系的知識(shí).學(xué)習(xí)“圖形的變化”時(shí)，讓學(xué)生研究有趣的“費(fèi)馬點(diǎn)”問題，了解它在自來(lái)水或煤氣管道線路設(shè)計(jì)等方面有著很大的作用.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活并指導(dǎo)生活.

案例5某天股票A的價(jià)格比股票B高，但不到股票B的2倍.第二天股市大跌，兩只股票雙雙漲停（即都比前一天上漲了10%）.問：現(xiàn)在股票A的價(jià)格仍比股票B的價(jià)格高但低于兩倍嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.如果每只股票各漲2元呢？

分析：利用的知識(shí)背景為：將實(shí)際生活中股票的漲跌問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式的求解.

思路：設(shè)A，B股票價(jià)格分別設(shè)為x，y元，由題意知x＞y且x＜2y，第二天各上漲10%后，股票A的價(jià)格為1.1x元，股票B的價(jià)格為1.1y元.根據(jù)不等式的性質(zhì)3可知1.1x＞1.1y，1.1x＜2.2y，即股票A的價(jià)格仍比股票B高，但低于兩倍.若各上漲2元，則股票A的價(jià)格為（x-2）元，股票B的價(jià)格為（y+2）元，由不等式的性質(zhì)2可知x+2＞y+2，x+2＜2y+2＜2（y+2），即上漲2元后股票A仍比股票B高，且仍不到股票B的兩倍.

這道題將實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”，主要考查學(xué)生的問題表征能力及建模能力，根據(jù)已知條件進(jìn)行合理表征并建立不等式模型是解決該題的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)課堂情境問題的設(shè)計(jì)，教師以學(xué)生為中心，從學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)出發(fā)，借助于現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的材料和手段，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)情境，能使表征研究材料更加生活化，使學(xué)習(xí)者更加積極地自主探究、合作交流去發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).情境形象富有真切感，但也不是對(duì)現(xiàn)實(shí)物體的復(fù)制，而以其他手法獲得與現(xiàn)實(shí)物體在結(jié)構(gòu)上對(duì)應(yīng)的形象，從而讓學(xué)生有真實(shí)的感覺，有利于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題研究的生態(tài)化，增強(qiáng)學(xué)生的情境表征能力，和諧地去實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

四、結(jié)束語(yǔ)

長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育一直存在“題海戰(zhàn)術(shù)”的現(xiàn)象，雖然許多老師在教育實(shí)踐領(lǐng)域中努力糾正這一現(xiàn)象，但這一現(xiàn)象始終沒有得到有效解決.進(jìn)行中學(xué)生問題解決表征研究，在一定程度上將數(shù)學(xué)教育內(nèi)部效度與外部效度較好地統(tǒng)一起來(lái)，從而為中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革提供有益的啟示，為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育開辟一條新途徑，這顯然具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)的歷史意義.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.張衛(wèi)明.重視“空間與圖形”問題解決的多樣化［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2010（9）.

3.喻平.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

4.張文娟.對(duì)解題教學(xué)有效性的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（7）.

5.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.H

*本文是江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“基于協(xié)同學(xué)理論的情境問題串?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)模式”（課題批準(zhǔn)號(hào)：B-b/2015/02/ 258）的階段性成果.