數(shù)學“入題”三維度：直接、間接、轉(zhuǎn)換
——以2016年浙江省數(shù)學高考理科第19題為例*

●李美君

(寧海中學 浙江寧海 315600)

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數(shù)學“入題”三維度：直接、間接、轉(zhuǎn)換
——以2016年浙江省數(shù)學高考理科第19題為例*

●李美君

(寧海中學 浙江寧海 315600)

入題作為解題的源頭，統(tǒng)領(lǐng)解題的整個過程，是培養(yǎng)學生提高分析問題、解決問題能力的重要支撐點．文章通過直接法、間接法和轉(zhuǎn)換法的研究，明確數(shù)學“入題”的三維度．

入題;直接;間接;轉(zhuǎn)換

高考中，不少考生對常規(guī)問題的解答可謂得心應手，讓人贊賞不已，但面對新穎的試題，則判若兩人：或游離于問題之外，看不清問題的本質(zhì)，抓不住問題的關(guān)鍵，急促應對；或干脆到此戛然而止，放棄作答．最主要的原因是常規(guī)題入題容易，而新穎題難以進入，難在入題．這里“入題”指的是能根據(jù)問題提供的條件、信息、情境、模型等，直接進行解答或通過分析、排斥、探索、推理、轉(zhuǎn)換等途徑，由表及里，從而達到解決問題的目的．那么如何才能入題呢？筆者認為最常見的方法是：直接法、間接法和轉(zhuǎn)換法．直接法指的是根據(jù)題目的條件直接進行解答；間接法就是通過排除反面情況從而得到問題解答；轉(zhuǎn)換法就是把命題進行等效轉(zhuǎn)換，使陌生問題熟悉化，復雜問題簡單化．

筆者結(jié)合2016年浙江省數(shù)學高考理科第19題，談?wù)剬?shù)學“入題”三緯度的粗淺看法，僅供參考．

圖1

1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示)；

2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

試題以橢圓為載體，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、圓與橢圓的公共點等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．設(shè)計新穎，構(gòu)思巧妙，耐人尋味，令人賞心悅目，體現(xiàn)了“能力立意”的指導思想，凸顯了數(shù)學試題的選拔功能.

試題由常見的圓與橢圓問題巧妙變化，推陳出新，對中學數(shù)學教學如何“擺脫題?！薄瓣P(guān)注數(shù)學本質(zhì)”有著極好的示范效應，全面考查了以思維能力為核心的多種數(shù)學能力，同時兼顧了對數(shù)學知識、思想方法和數(shù)學精神、數(shù)學本質(zhì)的深入考查，有利于各層次學生數(shù)學才華的施展，并對當前高中數(shù)學的教和學有著很好的導向作用.

從解法來看，第1)小題的解法常規(guī)；第2)小題的直接法、間接法、轉(zhuǎn)換法也是基本的．但為什么許多考生直呼被難倒了呢？最主要的原因還是無法快速入題．

1 直接入題

1.1 第1)小題的解法

第1)小題試題呈現(xiàn)常態(tài)、背景熟悉、表述無新，直接解答就行．

(1+a2k2)x2+2a2kx=0,

故

圖2

解法2 如圖2，設(shè)橢圓上任一點P(acosθ,sinθ)，則

(1)

由式(1)知

sin2θ=(kacosθ+1)2=1-cos2θ，

得

k2a2cos2θ+2kacosθ+1=1-cos2θ,

即

-(a2k2+1)cos2θ=2kacosθ.

由題意cosθ≠0，于是

評析 直接法是解答數(shù)學題最基本的方法，從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或解決所求的問題．求線段長不管用弦長公式還是兩點間距離公式都是常規(guī)方法，對常規(guī)的或者熟知的問題直接入題即可，因此第1)小題絕大多數(shù)考生都可以輕松解答．

1.2 第2)小題的解法

當r=2時，圓方程為

x2+(y-1)2=4,

(1-a2)y2-2y+a2-3=0.

(2)

則

Δ=4-4(1-a2)(1+a2-r2).

令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，則

所以f(y)=0的2個根介于-1,1之間，即圓與橢圓有4個交點．

所以f(y)=0在區(qū)間[-1,1]上無解，即圓與橢圓無交點．

(3)

若存在不合題意的4個交點情況，則方程(3)在(1-r,1+r)∩(-1,1)=(-1,1)上有2個不同的解．

評析 雖然此題可用直接法解題，但分類討論繁瑣，過程復雜，對分類討論能力、解題計算能力要求極高，因此多數(shù)考生很難得到滿分．這時如果采用其他方法解題，往往可以事半功倍．

2 間接入題

(4)

則方程(4)在(1-r,1+r)∩(-1,1)上有2個不同的解．令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，則

①若1-r>-1,即r<2，此時

因此f(y)=0在(1-r,1)上有且只有1個解，不合要求，舍去．

②若1-r=-1，即r=2，此時y=-1為方程根，故以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個交點，不合要求，舍去．

由Δ>0，得

a4-a2r2+r2>0，

即

在(4,+∞)上單調(diào)遞減，得a2<2，與a2>2矛盾，舍去．

綜上可知，當a2>2時，以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓存在4個交點．

解法4 假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有2個不同的點P,Q，滿足|AP|=|AQ|.

設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2，且k1>0,k2>0,k1≠k2.由第1)小題知

故

由k1≠k2,k1>0,k2>0，得

(5)

因為式(5)關(guān)于k1,k2有解的充要條件是

1+a2(a2-2)>1,

所以

評析 間接法就是問題的正面情況較多或者正面著手很困難，而反面情況不多或者較易入題時，就正難則反，用間接法進入,可使問題容易得到解決，也使得解題思路明朗，有利于培養(yǎng)學生的思維能力、解題能力和語言表達能力．

3 轉(zhuǎn)換入題

解法5 假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個交點，則|AP|=|AQ|，即在橢圓的單側(cè)存在一個等腰三角形．

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2),PQ的中點M(x0,y0),則

從而(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,

于是

由x0≠0，得

(6)

即

a2>2,

亦即

解法6 設(shè)P為橢圓上任意一點，由第1)小題知

其中t∈(1,+∞).

解法7 取橢圓上點P(x,y)，則

x2+a2y2=a2，

從而 |AP|2=x2+(y-1)2=(1-a2)y2-2y+a2+1=

即

評析 在數(shù)學中，有些問題直接求解較難，若進行巧妙地等效轉(zhuǎn)換，再去求解，就會使問題變得簡單．本題圓與橢圓的交點問題可以轉(zhuǎn)換為橢圓單側(cè)是否存在等腰三角形或弦長在橢圓單側(cè)具有單調(diào)性問題．轉(zhuǎn)換法是一種重要的解題方法，通過轉(zhuǎn)換，可以使復雜問題簡單化，一般問題特殊化，抽象問題具體化，從而達到化繁為簡、化難為易的目的．

入題作為解題之始，思維之初，對解題至關(guān)重要．快速入題，解題就成功了大半．直接法是最基本的方法，思維自然，但有時過程復雜、運算繁瑣，容易出錯．正面情況較多或正面入手困難時，用間接法往往有意想不到的效果．轉(zhuǎn)換法對于思維要求高，有時難以進行等效轉(zhuǎn)換，但若轉(zhuǎn)換成功，往往能柳暗花明又一村．因此，加強對入題的教學，加深對入題方法的探索、思考，已成為構(gòu)建如何有效解題的必由之路．

[1] 李美君．2015年浙江省高考理科卷第18題解析[J]．數(shù)學通訊，2015(9)：58-60．

?2016-06-23；

2016-07-28

李美君(1976-)，女，浙江寧海人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-33-05