貌離神合 同源切線
——全國數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷文、理科第20題評(píng)析與思考*

●洪劍林

(潮安區(qū)教育局教研室 廣東潮州 515600)

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貌離神合 同源切線
——全國數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷文、理科第20題評(píng)析與思考*

●洪劍林

(潮安區(qū)教育局教研室 廣東潮州 515600)

文章分別對2016年全國I卷數(shù)學(xué)文、理科第20題進(jìn)行評(píng)析、探源、推廣.2道試題貌離神合、同源于圓錐曲線的切線問題，并思考數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性,如何構(gòu)建知識(shí)體系與形成思想方法體系.

全國卷;高考題;評(píng)析;教學(xué);類比探究

1 理科試題評(píng)析

1.1 試題

例1 如圖1,設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交⊙A于點(diǎn)C,D,過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

1)證明：|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)B且與l垂直的直線與⊙A交于點(diǎn)P,Q,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(2016年全國數(shù)學(xué)高考理科I卷第20題)

1.2 解法

1)證明 ⊙A的方程為

(x+1)2+y2=16,

圓心A(-1,0),半徑AC=AD=4,從而

∠ACB=∠ADB.

由已知得BE∥AC,從而

∠ACB=∠EBD,

進(jìn)而

∠ADB=∠EBD,

得

EB=ED,

故

|EA|+|EB|=|AD|=4.

評(píng)注 從問題設(shè)置分2步來看,思路單一但起點(diǎn)低,命題人應(yīng)是有意放低門檻,帶有提示之意,也可以避免走彎路.

圖1 圖2

2)解法1 如圖2，設(shè)直線l的方程為

x=my+1,

(3m2+4)y2+6my-9=0,

從而

直線PQ的方程為

y=-m(x-1),

且P(x3,y3),Q(x4,y4),由

得

(m2+1)x2+(2-2m2)x+m2-15=0,

從而

四邊形MPNQ的面積為

又m2≥0,得

即

從而

評(píng)注 本解法中直線方程不采用斜截式,避免斜率是否存在的討論,而且直線l的方程為x=my+1與直線PQ的方程為y=-m(x-1)，這2個(gè)方程式使弦長公式的計(jì)算簡潔得多.

解法2 設(shè)BN的傾斜角為α(其中0<α<π),而|NA|+|NB|=4,|AB|=2,在△NAB中,由余弦定理得|NA|2=|NB|2+|AB|2-2|NB|·|AB|cos(π-α),從而 (4-|NB|)2=|NB|2+4+4|NB|cosα,

得

同理可得

于是

直線PQ的方程為

y=k(x-1),

即

kx-y-k=0,

故圓心A(-1,0)到弦PQ的距離為

四邊形MPNQ的面積為

由0≤cos2α<1,得

評(píng)注 本解法利用焦距與二焦半徑圍成的△NAB,結(jié)合余弦定理求得焦半徑NB、過焦點(diǎn)的弦長MN,在圓中利用半徑與弦特有的直角三角形,求得弦長,進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的有界求取值范圍,取得范圍的求解較解法1簡單、快捷.

(3+sin2α)t2+6t·cosα-9=0.

設(shè)方程的2個(gè)解為t1,t2,則

由參數(shù)t的幾何意義得

|MN|= |t1-t2|=

即

代入圓方程x2+y2+2x-15=0得

t2-4tsinα-12=0.

設(shè)方程的2個(gè)解為t3,t4,則

t3+t4=4sinα,t3t4=-12,

由參數(shù)t的幾何意義得

下同解法2.

評(píng)注 解法3運(yùn)用直線的參數(shù)方程,利用參數(shù)t的幾何意義直接求解,運(yùn)算更為簡潔、明了.

1.3 探源與點(diǎn)評(píng)

圖3

如圖3，試題中記BD的中點(diǎn)為K,結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)易得EK為橢圓上點(diǎn)E處的切線.顯然該題利用橢圓上任一點(diǎn)切線的幾何作法逆向而命制.

本題解答從幾何證明入手,考查邏輯推理能力,凸顯解析幾何的學(xué)科本質(zhì).解析幾何首先是幾何,“代數(shù)”只是我們解決幾何問題時(shí)用到的工具.第2)小題以直線與圓、直線與橢圓為背景,與幾何圖形面積的最值相結(jié)合,考查學(xué)生對圓錐曲線知識(shí)的掌握,也與函數(shù)、方程、不等式等主干知識(shí)鏈接.近年來全國卷試題中求四邊形面積取值范圍的很多.

試題給考生平易近人之感,但卻有很好的區(qū)分度,梯度明顯,需要考生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力,通過題海戰(zhàn)術(shù)并不能贏得高分.

2 文科試題評(píng)析

2.1 試題

例2 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(其中t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C：y2=2px(其中p>0)于點(diǎn)P,且點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,聯(lián)結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H.

2)除點(diǎn)H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由.

(2016年全國數(shù)學(xué)高考文科I卷試題第20題)

2.2 解法

即

2)直線MH與拋物線C除H外沒有其他公共點(diǎn).理由如下:

解法1 (判別式法)由第1)小題知直線MH的斜率為

代入拋物線方程y2=2px得

y2-4ty+4t2=0,

從而Δ=0,方程只有1個(gè)解,故直線MH與C只有1個(gè)公共點(diǎn),除H外沒有其他公共點(diǎn).

解法2 (導(dǎo)數(shù)法)由第1)小題知直線HM的斜率為

在x軸上方拋物線弧方程為

求導(dǎo)得

故拋物線在點(diǎn)H處的切線斜率為

可知直線HM恰好是拋物線的切線.故判斷成立.

2.3 探源與點(diǎn)評(píng)

該題利用阿基米德三角形的這個(gè)性質(zhì)命制,而且將直線特殊為過原點(diǎn),使求解代數(shù)運(yùn)算簡單得多.阿基米德三角形有很多有趣的性質(zhì),近年來全國各地高考解析幾何題以阿基米德三角形為背景命制的很多.

該題背景經(jīng)典、意境深廣,設(shè)計(jì)平凡又簡潔,解法常規(guī)而多樣,全面考查解析幾何的基本思想與方法,常規(guī)中考能力,平實(shí)中考思維,是文科考生熟悉的題型.同時(shí),也是一道值得研究的好題,深入思考,內(nèi)涵豐富,提供了一種求作圓錐曲線切線的幾何方法.

圖4 圖5

3 聯(lián)想探究,獲得新知

3.1 類比探究理科題

由理科題目出發(fā),把點(diǎn)B移到⊙A外部,同理可得：

問題1 如圖5,已知⊙A及圓外一點(diǎn)B,直線l過點(diǎn)B且與直線AB不重合,l交⊙A于點(diǎn)C,D,過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的軌跡是以AB的中點(diǎn)為中心、A，B為焦點(diǎn)、以⊙A的半徑為實(shí)軸長的雙曲線的一支(除去與直線AB的交點(diǎn)).

問題2 在問題1的條件下,記BD的中點(diǎn)為K,易得直線EK為雙曲線上點(diǎn)E的切線.

3.2 類比探究文科題

由文科題目出發(fā),我們可以利用y軸或頂點(diǎn)的切線,輕松地作出拋物線上任一點(diǎn)的切線,并將其推廣到圓、橢圓和雙曲線[2].

定理1 如圖6,已知O是拋物線C：y2=2px(其中p>0)的頂點(diǎn),過拋物線上任意一點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O)作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q.記OQ的中點(diǎn)為M,則PM是拋物線上點(diǎn)P的切線.

注 定理1的證明與例2基本一致,在此不再贅述.根據(jù)定理1,可以作拋物線上不同于點(diǎn)O的任一點(diǎn)P的切線,而點(diǎn)O處的切線是y軸,這樣我們利用y軸可以作拋物線上任一點(diǎn)的切線.

圖6 圖7

即

解得

即

命題得證.

注 由圖7可知,點(diǎn)E為AK的中點(diǎn),點(diǎn)L為BM的中點(diǎn),而且點(diǎn)E,AP的中點(diǎn)與橢圓中心3個(gè)點(diǎn)共線.根據(jù)定理2,利用y軸可以作橢圓上不是頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P的切線,左、右頂點(diǎn)處切線平行于y軸,上、下頂點(diǎn)處切線垂直于y軸,這樣我們利用y軸可以作橢圓上任一點(diǎn)的切線.圓可由橢圓變換得到,顯然此定理在圓上成立.

圖8

注 定理3的證明方法與定理2相似,此處不再說明.由圖8可知,點(diǎn)E為AK的中點(diǎn),點(diǎn)L為BM的中點(diǎn),而且點(diǎn)L、BP的中點(diǎn)與雙曲線中心3個(gè)點(diǎn)共線.根據(jù)定理3,利用y軸可以作雙曲線上任一點(diǎn)P的切線.

4 教學(xué)思考

題海茫茫,教材是岸.學(xué)生接觸最早、最多的是教材,不管是高一、高二的教學(xué),還是高三的備考復(fù)習(xí)教學(xué),教師都應(yīng)當(dāng)重視教材的示范作用.教材應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系的主陣地、形成數(shù)學(xué)思想方法體系的主陣地,從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.1 如何構(gòu)建知識(shí)體系

重視基礎(chǔ),回歸課本,縱橫整合課本,突出數(shù)學(xué)基本概念和基本原理的教學(xué),有效構(gòu)建知識(shí)體系.在學(xué)生按照教材內(nèi)容順序掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上,指導(dǎo)學(xué)生對課本進(jìn)行專題整理、深挖與研究.

學(xué)生在課本范圍內(nèi)開展研究,高三復(fù)習(xí)可擴(kuò)大范圍到近年高考題,可操作性強(qiáng),效果好.通過不同內(nèi)容的聯(lián)系,強(qiáng)調(diào)對命題推廣、特殊化、類比等,學(xué)生數(shù)學(xué)地思考、研究課本,形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系.

4.2 如何形成數(shù)學(xué)思想方法體系

突出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué),注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.函數(shù)與曲線是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一對孿生姐妹,解析幾何用的是代數(shù)方法研究幾何問題.如圓錐曲線在純幾何研究的基礎(chǔ)上,要求學(xué)生感受、形成“數(shù)形結(jié)合”的基本思想,更要明確“坐標(biāo)方法”下有那些工具[3]：

1)用代數(shù)方法研究直線、圓錐曲線:用數(shù)、代數(shù)式、方程表出點(diǎn)、距離、直線、圓錐曲線,用數(shù)及其運(yùn)算為工具進(jìn)行討論,把結(jié)果給予幾何解釋使問題得以解決.

2)用向量來研究幾何:用向量表示出問題中的點(diǎn)、線,用向量及其運(yùn)算為工具,進(jìn)行向量計(jì)算而得到結(jié)果,把結(jié)果給予幾何解釋使問題得以解決.

3)用微分方法研究平面曲線:函數(shù)對應(yīng)曲線,導(dǎo)數(shù)就是曲線切線的斜率,用導(dǎo)數(shù)為工具,用分析法研究曲線.

4)用三角函數(shù)解三角形.

多種方法就有了多種選擇,也就可以多角度地開展研究,開闊了思維空間.“代數(shù)方法研究圓錐曲線”是最熟悉的,應(yīng)當(dāng)常常思考“能否用向量法研究圓錐曲線”“能否用綜合法研究圓錐曲線”……以上4個(gè)工具在前面的研究中都有用武之地.利用不同內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系,使之呈現(xiàn)異曲同工之妙,從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的整體認(rèn)識(shí).

[1] 姚漢兵,王懷明.立足課本,在制高點(diǎn)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究：上半月,2013(11):22-24.

[2] 張翼飛.圓的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)在圓錐曲線中的推廣及應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究：上半月,2012(2):26.

[3] 中學(xué)數(shù)學(xué)室.高中數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社,2007.

?2016-06-15；

2016-07-15

洪劍林(1976-),男,廣東潮州人,中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)11-20-05