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    多視角 真本質(zhì)
    ——2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題解讀*

    2016-12-01 03:28:05莊遷福
    中學教研(數(shù)學) 2016年11期
    關(guān)鍵詞:邊角證法化簡

    ●莊遷福

    (溫州第二高級中學 浙江溫州 325000)

    ?

    多視角 真本質(zhì)
    ——2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題解讀*

    ●莊遷福

    (溫州第二高級中學 浙江溫州 325000)

    高考“考什么,怎么考”直接影響了教學中“教什么,怎么教”.文章以2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題為例,探尋出題者的意圖,分析考生答題情況,多視角探究解三角形常見的解法,繪制成解三角的思維網(wǎng)圖,多方位關(guān)注學生的發(fā)展.

    解三角形;視角;邊角轉(zhuǎn)化;齊次式

    解三角形是高考的重要考點之一,也是連接平面圖形與代數(shù)運算的一個紐帶.近幾年,浙江省數(shù)學高考文、理科多以解答題的形式出題,主要考查三角形邊角轉(zhuǎn)換與三角化簡等知識與方法,難度不大,是考生必爭之分,怎樣做得好對考生意義重大[1].

    題目 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知b+c=2acosB.

    1)證明:A=2B;

    (2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第16題)

    命題組給出的參考答案如下:

    1)證法1 由正弦定理得

    sinB+sinC=2sinAcosB,

    從而 sinB+sinC= sinB+sin(A+B)=

    sinB+sinAcosB+cosAsinB,

    于是

    sinB=sin(A-B),

    因此,A=π(舍去)或A=2B,故A=2B.

    sinC=cosB.

    又B,C∈(0,π),于是

    解得

    1 命題思路探尋

    本題緊扣高考大綱要求:能夠應用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的轉(zhuǎn)化.本題敘述簡潔明了,條件中邊角關(guān)系式樸實,讓考生能很快上手,考查了借助定理轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系、三角誘導公式與三角兩角和差公式的應用.第1)小題以證明題的形式給出,注重推理能力的應用;第2)小題結(jié)合三角形面積,用角或邊關(guān)系求角的值,化簡過程中讓考生充分感悟三角解題技巧的靈活性.

    2 考生答題反饋

    本題答題總體良好,表達基本規(guī)范,較多的學生運用解法1和證法1完成,反饋出考生解三角形的基本功扎實.第1)小題,學生思路明確,多以化邊為角的方法完成,有的學生錯用sinC=-sin(A+B),也能根據(jù)結(jié)論進行檢查修正;第2)小題,有些學生化簡思路不明確,纏繞其中,越化越復雜,無法完成,有些學生三角轉(zhuǎn)換中出現(xiàn)漏解情況.3 巧妙解題方法

    解三角形以邊角轉(zhuǎn)換的靈活多變?yōu)樘卣?,解題過程中常遇見學生方法單一,一遇到困難就無法完成的情況,需多視角去探尋邊角關(guān)系,以三角形可解所需條件分析為本質(zhì),數(shù)形結(jié)合,不懼繁瑣.

    3.1 第1)小題的解題視角

    視角1 角的變形

    證法2 由已知得sinB+sinC=2sinAcosB,

    右邊2sinAcosB可拆解為

    2sinAcosB= sin(A+B)+sin(A-B)=

    sinC+sin(A-B),

    從而

    sinB=sin(A-B).

    證法3 由已知得sinB+sinC=2sinAcosB,也可先尋找B,C之間的關(guān)系

    sinB+sinC= 2sinAcosB=2sin(B+C)cosB=

    2sinBcosBcosC+2cos2BsinC=

    sin2BcosC+cos2BsinC+sinC=

    sin(2B+C)+sinC,

    從而

    sinB=sin(2B+C).

    因為B≠2B+C,所以

    B+2B+C=π,

    A=2B.

    點評 證法2巧妙運用了2A=(A+B)+(A-B),2B=(A+B)-(A-B),這也是三角恒等變形中拆角的一種方法.證法3利用三角形中A+B+C=π之間的關(guān)系,成功將B與C的關(guān)系轉(zhuǎn)化為A與B之間的關(guān)系.

    視角2 角的構(gòu)造

    從而

    sin2B=sinA,

    于是

    A=2B.

    從而

    cos2B=cosA,

    解得

    A=2B.

    點評 上述2種證法從結(jié)論出發(fā),用分析法得到sin2B=sinA或cos2B=cosA,再從邊角關(guān)系進行構(gòu)造.

    視角3 線的添加

    證法6 如圖1,過點C作CO⊥AB于點O,延長BA使得OD=OB,聯(lián)結(jié)CD,易知CO是BD的中垂線,則∠B=∠D.又BO=acosB,從而

    BD=2acosB.

    對于b+c=2acosB,結(jié)合圖形可知

    AC+BA=BD=BA+AD,

    從而

    AC=AD,

    于是

    ∠ACD=∠CDA,

    因此∠CAB=∠ACD+∠CDA=2∠CDA=2∠B,

    A=2B.

    圖1 圖2

    從而

    由角平分線定理可知,AF是角A的平分線,則∠CAF=∠FAB, ∠CAB=∠CAF+∠FAB=2∠B,故

    A=2B.

    點評 證法6將b+c=2acosB關(guān)系轉(zhuǎn)化為折線段的關(guān)系,將代數(shù)式以直觀的圖像呈現(xiàn),使邊角關(guān)系更加清晰.證法7由A=2B聯(lián)想到角平行線,將圖形中角度關(guān)系用代數(shù)運算進行驗證,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的運用.

    3.2 第2)小題的解題視角

    視角1 方程思想的運用

    a2=2bcsinA.

    將所有的邊轉(zhuǎn)化角A的關(guān)系,即

    化簡得

    從而

    sinA=2sinBsinC,

    再化簡成角A的關(guān)系式,即

    sinA= 2sinBsin(A+B)=

    sin2BsinA+2sin2BcosA=

    sin2A-cos2A+cosA,

    從而

    (sinA-cosA)(sinA+cosA-1)=0,

    解得

    點評 上述2種解法都是將等式化簡為關(guān)于角A的一個方程式或一個等式,從而求得自變量,顯得更加自然,當然也可以其他角表示.解法2有助于sinC=cosB三角關(guān)系的理解,解法3避免了解法1中出現(xiàn)漏解的情況.

    視角2 齊次式的計算

    sinA+2sinAcosA-1,

    下同解法3.

    解法5 在解法1中利用cosB=sinC進行化簡,也可用sinC=sin3B和sin3B=3cos2BsinB-sin3B進行化簡,再通過齊次式轉(zhuǎn)為正切計算,即

    點評 三角形的余弦定理本身就是關(guān)于邊長a,b,c的一個齊次式,是轉(zhuǎn)為函數(shù)、方程或不等式求值或最值常用的橋梁之一.將“1”變形為“1=sin2A+cos2A”是三角計算常用的一個技巧.

    視角3 同角的計算

    (t2-1)(t2+2t-1)=0,

    點評 本題中的三角可以確定角度,可構(gòu)成一組相似的三角形,邊長的比值可以確定.

    4 教學思考啟示

    教學中應處理好學生“學什么,教師教什么,考試考什么”這3者的關(guān)系,教學過程中圍繞著知識點,通過數(shù)學思想方法的領(lǐng)悟揭示數(shù)學的本質(zhì),既發(fā)展了學生的思維,又不失數(shù)學的工具性,增加應用意識.因此,要讓學生參與到解題的探究過程中來,注重雙基,積累歸納,感悟提升.

    4.1 注重雙基,形成網(wǎng)絡(luò)

    解三角所覆蓋的知識點很多,所涉及的公式定理也很多,可以使知識點連成線,形成“三角化簡一條線,邊角轉(zhuǎn)化一條線,向量具體一條線,基本不等式結(jié)合一條線”等,再由線構(gòu)網(wǎng)[2],讓學生在解題過程中可進可退,提高信心與成功率.

    4.2 積累歸納,畫龍點睛

    解三角常見的問題有2個:一是計算過程出錯,需要學生積累易錯點,比如三角化簡的符號出錯,錯用cosA=cos(B+C),不具備正弦定理轉(zhuǎn)化條件,如將a2=b+c轉(zhuǎn)化為sin2A=sinB+sinC;二是方法使用不當、化簡不出或者沒有思路,需要學生對解題進行歸納,例如已知角A與邊a,求b+c范圍的問題,學生常用余弦定理結(jié)合基本不等式的思路完成,只求一半的范圍,實需再考慮b+c>a,同時引進將邊化為角的方法,用正弦定理轉(zhuǎn)為角B或C的函數(shù)求范圍,教學中可歸納為一組對邊對角類型.

    4.3 感悟提升,靈活轉(zhuǎn)化

    解題教學中,應該重視學生的感悟,在完成某一種方法的時候,既要總結(jié)、談感受、點評,又要鼓勵學生去變式、去多解、去特殊到一般,達到“解一題,會一類”的目標,將演繹推理與數(shù)學思想方法運用于解題的每一環(huán)節(jié).

    [1] 楊建三.理解基礎(chǔ)知識 掌握基本方法 運用解題策略——2010年浙江省數(shù)學高考文科試題第18題解讀[J].中學教研(數(shù)學),2010(8):20-21.

    [2] 蔡明.2010年浙江省數(shù)學高考理科試題第18題解讀[J].中學教研(數(shù)學),2010(8):12-13.

    ?2016-06-16;

    2016-07-20

    莊遷福(1986-),男,浙江溫州人,中學一級教師.研究方向:數(shù)學教育.

    O124.1

    A

    1003-6407(2016)11-37-04

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