在簡單中折射出不“簡單”
——以“簡單隨機(jī)抽樣”教學(xué)為例*

●滕陳英

(錫東高級中學(xué) 江蘇無錫 214105)

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在簡單中折射出不“簡單”
——以“簡單隨機(jī)抽樣”教學(xué)為例*

●滕陳英

(錫東高級中學(xué) 江蘇無錫 214105)

文章以“簡單隨機(jī)抽樣”一節(jié)課的教學(xué)為例，從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程、作業(yè)設(shè)計(jì)、課后點(diǎn)評等5個(gè)角度出發(fā)，討論分析了“簡單”的現(xiàn)象背后折射出的“不簡單”的數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)活動(dòng).

簡單隨機(jī)抽樣；教學(xué)設(shè)計(jì)；抽樣的隨機(jī)性

2016年5月，蘇州中學(xué)特級教師王思儉老師來筆者所在學(xué)校指導(dǎo)，筆者上了一堂研究課：簡單隨機(jī)抽樣.本節(jié)課是蘇教版《數(shù)學(xué)(必修3)》第2章第1節(jié)第1課時(shí)，主要介紹抽樣的必要性及原則、簡單隨機(jī)抽樣的概念及2種操作方法.授課對象為高一學(xué)生，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中等偏上，思維較為活躍，能積極主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng).授課后，筆者與聽課教師、導(dǎo)師進(jìn)行了交流，對教材使用、教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂活動(dòng)進(jìn)行了反思，現(xiàn)整理如下，以期與各位同行探討交流.

1 目標(biāo)簡單，而不失清晰

簡單隨機(jī)抽樣是隨機(jī)抽樣的基礎(chǔ)，而隨機(jī)抽樣又是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，簡單隨機(jī)抽樣是基礎(chǔ)之中的基礎(chǔ).新教材把統(tǒng)計(jì)這部分內(nèi)容編入必修教材，可見它在高中數(shù)學(xué)中的地位.本節(jié)課既是初中統(tǒng)計(jì)知識的延伸，同時(shí)又是學(xué)習(xí)其他后續(xù)統(tǒng)計(jì)知識的基礎(chǔ).

本節(jié)課的重點(diǎn)是理解抽樣的必要性和原則，會用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本.難點(diǎn)是理解簡單隨機(jī)抽樣的科學(xué)性，以及由此推斷結(jié)論的可靠性.

雖然學(xué)生在初中階段對本節(jié)課的有關(guān)知識已有所接觸，在接受新知識上更自然.但新知識是初中知識的進(jìn)一步深入，因此教學(xué)過程不應(yīng)只局限于抽樣的形式和步驟，而應(yīng)該發(fā)展到對抽樣的進(jìn)一步思考上.

簡單隨機(jī)抽樣的科學(xué)性以及用樣本推斷總體的可行性、可靠性是學(xué)生在對知識深層次理解上可能面臨的困難.其次學(xué)生對簡單隨機(jī)抽樣概念的理解及對隨機(jī)數(shù)表的應(yīng)用也可能有一定的困難.

這意味著簡單的目標(biāo)背后有清晰的要求：1)抽樣是統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)，教學(xué)中要以較多的實(shí)例讓學(xué)生體會到統(tǒng)計(jì)分析需要收集數(shù)據(jù)，但收集全部數(shù)據(jù)有時(shí)很困難，如燈泡使用壽命的調(diào)查、炸彈的可靠性分析等，因此“抽樣”是必要的.2)要通過具體問題的剖析，如檢查學(xué)生的視力情況，全查女生行嗎？使學(xué)生體會抽樣的過程必須科學(xué)、合理，使每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，引出隨機(jī)抽樣合理性的研究.3)要讓學(xué)生通過具體操作，或?qū)^去經(jīng)驗(yàn)的回顧，感受抽簽的合理性：既保證了抽樣的隨機(jī)性，又保證了樣本的代表性.4)教學(xué)時(shí)可把操作步驟用流程圖表示出來，滲透算法思想.

2 內(nèi)容簡單，但不乏精彩

2.1 創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

背景1 第6次人口普查登記的全國總?cè)丝跒? 339 724 852人.與2000年第5次人口普查相比，10年增加了7 390萬人，增長率為5.84%，年平均增長率為0.57%，比1990～2000年年均1.07%的增長率下降了0.5個(gè)百分點(diǎn).

由上述數(shù)據(jù)可以看到，人口普查的工作量多么巨大！那么，一般的統(tǒng)計(jì)工作，如何進(jìn)行調(diào)查呢？仍然采用普查的方法嗎？

背景2 據(jù)報(bào)道，今后除每年除夕至農(nóng)歷正月十五期間，允許在法定的限制燃放區(qū)域燃放煙花爆竹外，其他時(shí)間在全市建成區(qū)范圍內(nèi)全面禁止燃放煙花爆竹.

鞭炮廠要了解生產(chǎn)的鞭炮的質(zhì)量，需要將所生產(chǎn)的鞭炮逐一測試嗎?

問題1 如何科學(xué)、合理地收集數(shù)據(jù)？怎樣分析和研究數(shù)據(jù)?如何對一般性的情況作出估計(jì)？

設(shè)計(jì)意圖 教科書中的引例雖多，但都是簡單隨機(jī)抽樣，因此筆者作了調(diào)整，設(shè)計(jì)了背景1，增加了統(tǒng)計(jì)中的普查，保證了調(diào)查統(tǒng)計(jì)方法的完整性，順利引入抽樣的必要性.

背景3 據(jù)《北京晚報(bào)》報(bào)道，最新調(diào)查統(tǒng)計(jì)顯示：中國青少年學(xué)生的近視率已居世界第2位：小學(xué)生近視率為28%，初中生近視率為60%，高中生近視率為85%，大學(xué)生近視率為90%.

背景4 播放視頻鏈接，新聞中關(guān)于乳制品的抽檢結(jié)果.

問題2 乳制品的問題與我國青少年的近視率是怎樣調(diào)查得到的？為什么要采用這種調(diào)查方法？

背景5 著名事件：在1936年美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志對當(dāng)時(shí)的2位候選人蘭頓和羅斯福作了一次民意調(diào)查，調(diào)查誰將當(dāng)選下一屆總統(tǒng)，調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表(注：在1936年電話和汽車只有少數(shù)富人擁有).調(diào)查結(jié)果表明，蘭頓擁有57%的支持率，很可能在選舉中獲勝，但實(shí)際結(jié)果正好相反，最后羅斯福以高達(dá)62%的支持率在選舉中獲勝.此次抽樣調(diào)查被稱作抽樣中的“泰坦尼克事件”.

問題3 雜志社對美國總統(tǒng)選舉結(jié)果預(yù)測錯(cuò)誤的原因是什么?為了避免類似的錯(cuò)誤，我們抽樣時(shí)應(yīng)該遵循什么樣的原則？

設(shè)計(jì)意圖 引出抽樣的原則，引入統(tǒng)計(jì)的基本思想——用樣本估計(jì)總體.

2.2 主動(dòng)探究，構(gòu)建新知

2.2.1 生成概念

假設(shè)你是一名產(chǎn)品質(zhì)檢員，現(xiàn)要從10個(gè)乒乓球中抽出3個(gè)進(jìn)行抽檢，本著簡單易行的原則，請你設(shè)計(jì)一種抽樣方法.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生思考回答，教師不斷追問，讓學(xué)生歸納抽簽法的步驟和優(yōu)缺點(diǎn)，以及生成簡單隨機(jī)抽樣的概念.

2.2.2 2種操作方法

問題 據(jù)新華網(wǎng)報(bào)道，根據(jù)江蘇省數(shù)學(xué)高考新方案框架，2018級學(xué)生將實(shí)施“3+3”模式，即語數(shù)外3門必考，然后在物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理這6門學(xué)科中任選3門進(jìn)行考試，并計(jì)入總分，完全實(shí)現(xiàn)了文理打通.新高考英語聽力和口語一年考2次.

對于“江蘇省新的高考方案”，你認(rèn)為是否“合理”？

針對筆者所在學(xué)校的90名高三教師進(jìn)行調(diào)查，抽取一個(gè)容量為20的樣本.

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生的探索中，發(fā)現(xiàn)和指出抽簽法的不足，引入隨機(jī)數(shù)表法.

2.3 新知演練，形成反饋

高一(6)班和(12)班共有99名學(xué)生，為了了解學(xué)生掌握“簡單隨機(jī)抽樣”的學(xué)習(xí)情況，請你設(shè)計(jì)一種抽樣方案，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生分組討論，自主設(shè)計(jì)抽樣方案，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、動(dòng)手實(shí)踐的學(xué)習(xí)能力.

2.4 提煉總結(jié)，分享收獲

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲，再次鞏固本節(jié)課的重點(diǎn)問題.

內(nèi)容雖然簡單，但是豐富的圖片資料、大量的信息材料、精彩的對話活動(dòng)，讓簡單的內(nèi)容精彩不斷.

3 過程簡單，有陣陣漣漪

眾所周知，新一輪的課程改革正在積極醞釀之中，并提出了六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)是本節(jié)課最重要的一個(gè)任務(wù).在本節(jié)授課過程中，教師有意識地通過數(shù)學(xué)問題的解決，不斷提出問題，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，踐行以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的新課改理念，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、動(dòng)手實(shí)踐的學(xué)習(xí)能力，同時(shí)利用多媒體輔助教學(xué)，以增加課堂信息量并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣[1].

片斷1 上課開始，教師就問：這節(jié)課本來是體育(游泳)課，因?yàn)檎{(diào)課，體育課不能游泳了，而且還牽連了其他3個(gè)班級，不知道大家是憤慨還是開心？

學(xué)生大呼開心(學(xué)生怕游泳).

教師表示懷疑：大家的情緒能代表其他3個(gè)班級嗎？

學(xué)生：不能.

師：那怎樣知道其他班級的情緒呢？

生：那你得親自調(diào)查一下了.

師：很好！看來今天我們要真正開始“統(tǒng)計(jì)調(diào)查”了.

(引入恰到好處，自然順暢，不得不贊嘆數(shù)學(xué)知識無處不在.)

片斷2

師：10個(gè)乒乓球中抽取3個(gè)進(jìn)行檢測，如何抽取呢？

生：隨便取.

師：如何隨便取？能通過我們學(xué)過的算法，詳細(xì)說明流程嗎？

生：把球放進(jìn)黑色塑料袋中，一個(gè)一個(gè)摸出來，連續(xù)摸3次.

師：黑色塑料袋？為什么？

生：保證自己看不清.

師：萬一放的時(shí)候，就已經(jīng)知道哪個(gè)在上面，哪個(gè)在下面了呢？

生：還要攪勻一下.

師：如果是10個(gè)人，選3個(gè)呢？總不能放入塑料袋中吧？

生(大笑)：那就給每個(gè)人一個(gè)編號，然后把號碼放入袋中.

師：請大家思考.希望大家更加縝密地思考，歸納抽簽法的主要步驟.

在不斷地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題中，強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生對問題解決的完整性、條理性和思維的縝密性，同時(shí)教師不斷進(jìn)行示范，讓學(xué)生在獨(dú)立解決問題時(shí)，也會模仿多問幾個(gè)“為什么”，把問題研究得更完整透徹.加強(qiáng)數(shù)學(xué)的思維意識，其實(shí)更重要的一點(diǎn)是指教師對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練等活動(dòng)[2].

4 作業(yè)簡單，卻承上啟下

作業(yè)：2015年10月《青年報(bào)》記者圍繞“中學(xué)生該不該配手機(jī)”這一問題展開了調(diào)查.調(diào)查顯示有82.5%的中學(xué)生擁有手機(jī)，高中生更能自由支配手機(jī)，并且有46%的高中生課上玩過手機(jī).

對于“中學(xué)生該不該配手機(jī)”這一問題，請?jiān)诒拘８咭?6個(gè)班級800位學(xué)生中進(jìn)行抽樣調(diào)查.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生在課下活動(dòng)中運(yùn)用新知，感受新知，并且在運(yùn)用中發(fā)現(xiàn)問題，比如樣本的選擇要更好地代表總體，而高一16個(gè)班級層次不同，樣本容量選多少合適、調(diào)查應(yīng)該怎樣實(shí)施等，從而自然引入新的抽樣方法，促使學(xué)生自覺查閱資料，進(jìn)入自我探究階段.

5 點(diǎn)評簡單，但處處發(fā)人深思

授課結(jié)束后的研討氛圍濃厚，把本節(jié)課又推上另外一個(gè)高潮.

教師A：有事說事，我認(rèn)為簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這3個(gè)內(nèi)容可以在一節(jié)課全部完成.

以單元教學(xué)的模式進(jìn)行教學(xué)，第一是因?yàn)閮?nèi)容簡單易懂，第二是抽樣的不可割裂性、連貫性，通過解決具體題目發(fā)現(xiàn)問題，再針對性地調(diào)整.

教師B：試問，這節(jié)課如果放在初中，甚至小學(xué)，是不是同樣可以達(dá)到這個(gè)效果？

學(xué)生基本都能夠接受.作為高一學(xué)生，在初中階段已經(jīng)接觸到統(tǒng)計(jì)的一部分知識，那么這樣一節(jié)課，效果又有多少？對于隨機(jī)數(shù)表法，學(xué)生是否理解為何要剔除重復(fù)的；超過區(qū)間范圍的號碼，為何能保證隨機(jī)性、均等性呢？隨機(jī)數(shù)表法學(xué)生都掌握了嗎？這個(gè)表從哪里來的？教師如何對待以上這些問題呢？

教師C：我認(rèn)為，學(xué)生或許會有這樣的困惑，但把為何機(jī)會均等等內(nèi)容放入本節(jié)課，有越俎代庖之感，一節(jié)課要有一節(jié)課要解決的主要任務(wù).

本節(jié)課的目的就是帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)統(tǒng)計(jì)的世界，體會統(tǒng)計(jì)的基本思想等，即使學(xué)生提出這樣的問題，我們也要在課堂上收放自如，課后可以單獨(dú)解決.

王思儉老師進(jìn)行了點(diǎn)評，本節(jié)課的優(yōu)點(diǎn)有：

1)實(shí)在性.本節(jié)課的引入非常貼近學(xué)生.整個(gè)教學(xué)過程可以說自然貼切，一點(diǎn)都不忸怩，數(shù)學(xué)課堂就是需要實(shí)實(shí)在在，貼生而行.

2)真實(shí)性.大量的舉例，不僅真實(shí)廣泛，也貼近學(xué)生的興趣和年齡特點(diǎn)，同時(shí)融入了數(shù)學(xué)即生活的理念.

3)可鑒性.本課的操作程序規(guī)范，課堂活動(dòng)豐富，其他教師拿來就可以用，這樣的課堂更具有大眾性.

4)現(xiàn)代性.本教學(xué)內(nèi)容，尤其適合多媒體輔助完成，課件簡潔清晰，內(nèi)容豐富而不雜亂，視頻介入簡短而真實(shí).

5)融洽性.滕教師上課特別有親和力，課堂上能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，有學(xué)生回答，必有教師點(diǎn)評，引導(dǎo)學(xué)生恰到好處.讓人感動(dòng)的是即使學(xué)生回答錯(cuò)誤也能耐心地聽完，有親和力的教師更容易讓學(xué)生喜歡這門學(xué)科.

本節(jié)課的不足之處有：

2)點(diǎn)學(xué)要到位.比如這節(jié)課比較難學(xué)的是隨機(jī)數(shù)表法的使用，上課的時(shí)候，估計(jì)到學(xué)生看屏幕不方便，教師組織學(xué)生看書上的數(shù)表，同桌2人制定一定的規(guī)則讀數(shù).這樣的活動(dòng)若暴露在大眾之下，則效果更好.

3)收放要自如.滕教師說上課的另一個(gè)班級出現(xiàn)了“從20個(gè)乒乓球中選擇5個(gè)”，學(xué)生意外地回答了下一節(jié)課程內(nèi)容系統(tǒng)抽樣的方法.這就考驗(yàn)了教師上課的應(yīng)變能力，如果這樣回答：一方面你可以索性選擇單元教學(xué)，另一方面可以追問從19個(gè)乒乓球中選擇3個(gè)呢，從而把學(xué)生“收回來”.因此，備課首先要備學(xué)生、備不同的班級.

一堂看似簡單的課，從備課、上課到課后研討，凝聚了一位教師甚至一個(gè)團(tuán)隊(duì)的心血，目標(biāo)簡單清晰、內(nèi)容取舍相宜、方式適切有效、形式力戒浮華，才能讓數(shù)學(xué)課堂真正折射出一道道“不簡單”的光芒.

[1] 宋東娟．設(shè)計(jì)有效問題串，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(1)：8-9．

[2] 陸吉健,朱哲．“數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)教育”研究綜述[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(3)：23-26．

[3] 李昕．高中生提出問題能力的調(diào)查分析與對策[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(3)：3-7．

?2016-06-22；

2016-07-28

滕陳英(1979-)，女，江蘇無錫人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.4

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1003-6407(2016)11-14-04