內高班預科與高中數(shù)學銜接教學的研究
——對“一元二次函數(shù)”教學中的幾點思考

蘇華飛

（江門市培英高級中學,廣東 江門 529000）

內高班預科與高中數(shù)學銜接教學的研究
——對“一元二次函數(shù)”教學中的幾點思考

蘇華飛

（江門市培英高級中學,廣東 江門 529000）

內高班預科數(shù)學教學一直沒有統(tǒng)一。為更好地開展預科與高中數(shù)學銜接教學，總結2年預科班教學經驗，以一元二次函數(shù)教學為切入點，分析教學內容在銜接課程中的作用，提出預科班數(shù)學教學內容設計的原則。

內高班；預科；數(shù)學教學

一、問題的緣起

內地新疆高中班（內高班）辦班已有17年歷史，但內高班預科的課程教學普遍處于混亂狀態(tài)，一方面沒有統(tǒng)一教材，課程內容主要是承辦學?！懊魇健敝v授；另一方面，內高班生源的素質良莠不齊，兩極分化嚴重，給預科班教學帶來很大的挑戰(zhàn)?？偨Y2年預科班教學經驗，以一元二次函數(shù)為載體，例談如何更好地開展內高班預科與高中數(shù)學銜接教學，以期為相關教學提供借鑒。

二、本部分內容在銜接課程中的地位與作用

作為初中數(shù)學三大函數(shù)模型之一，一元二次函數(shù)有著廣泛的生活應用，是初中函數(shù)模塊的核心內容，更是高中數(shù)學課程的重要載體。人教版必修一以一元二次函數(shù)為主要載體，從數(shù)形結合的角度闡述函數(shù)的基本性質，同時二次函數(shù)的載體應用價值在“方程的根與函數(shù)的零點”內容中得到進一步的突出，一元二次函數(shù)也是一元二次方程與一元二次不等式之間的橋梁，與代數(shù)、幾何等緊密相關。事實上，一元二次函數(shù)的載體應用價值貫穿整個高中數(shù)學課程，所以，本部分內容作為預科班初中與高中銜接課程內容，不僅要求學生熟練掌握一元二次函數(shù)的相關知識點，更重要的潛在課程目標是培養(yǎng)新疆學生的數(shù)形結合思想，為高中數(shù)學課程學習奠定基礎。

三、本部分教學內容設計的原則

（一）基礎性

內高班的學生多數(shù)來自新疆各地區(qū)偏遠農村，數(shù)學水平差距較大，部分學生不具備漢語審題能力。在教學內容的設計上首先要立足基礎，抓住基本概念，突出基本方法，滲透基本思想。

例1求滿足下列條件的一元二次函數(shù)的解析式：

（1）已知頂點坐標為(2,-1)，且過點(4,3)；

（2）已知拋物線與x軸交于(1,0)，(3,0)兩點，與y軸交于點(0,9)；

（3）已知拋物線過A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)3點；

（4）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1。

解析：（1）y=(x-2)2-1;（2）y=3(x-1)(x-3);

點評：（1）一元二次函數(shù)的解析式是初中數(shù)學的重要考點，而靈活運用二次函數(shù)的3種表示法是解題的關鍵；（2）待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法。

例2求函數(shù)y=-2x2-12x-10圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最小值、與坐標軸的交點坐標，指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（增函數(shù)），當x取何值時，y隨x的增大而減?。p函數(shù)）？并畫出該函數(shù)的圖象。

解：y=-2(x2+6x)-10=-2(x+3)2+8拋物線的開口向下；對稱軸是直線x=-3;頂點坐標為A(-3,8);

當x=-3時，函數(shù)有最大值y=8;

當x＜-3時，y隨著x的增大而增大；當x＞-3時，y隨著x的增大而減?。?/p>

令-2(x+3)2+8=0,解得x=-5或x=-1;

令x=0,得y=-10;與x軸的交點坐標是B(-5,0)和C(-1,0),與y軸的交點坐標是D(0,-10)。

采用描點法作圖，取關鍵點A、B、C、D4點，以及點D(0,-10)關于對稱軸x=-3的對稱點E(-6,-10),通過這5點就可以畫出二次函數(shù)的簡圖（圖像略）。

點評：（1）配方后易得二次函數(shù)的性質，配方法也是解一元二次方程的方法之一；（2）描點法畫函數(shù)圖象的核心在于選取關鍵點（頂點，與坐標軸的交點，端點等）。

（二）新穎性

在題型的選擇上注重與其它知識的結合，拓展學生的數(shù)學視野，這是新課程中考和高考命題的新特征：（1）題型新：在傳統(tǒng)題型上融入新元素，充分發(fā)揮其載體功能；（2）視角新：在知識的交匯處尋找考點，重視考查思維靈活性和接受新信息能力。

圖1 例3示意圖

A.8 B.6 C.10 D.4

解析：兩條拋物線的頂點坐標分別為（0，1），（0，－1），觀察圖像易得，陰影部分的面積等于由4條直線x=-2、x=2、y=-1和y=1圍成的矩形的面積，S陰影=4×2=8故選A。

例4定義新運算：a×b=a×(1-b),若(a,0),(b,0)是拋物線與x軸的交點坐標，則b×b-a×a的值為( )。

A.0 B.1 C.2 D.與m有關

解析：由題意得a,b是方程的2個根，所以b×b-a×a=b(1-b)-a(1-a)=(b-a)-(b2-a2)=(b-a)[1-(b+a)] =0。

點評：（1）以二次函數(shù)為載體考查陰影部分面積的計算，培養(yǎng)學生的觀察力；（2）信息題成為新中考、高考的亮點，考查學生接受新知識的能力，給人耳目一新的感覺。

（三）銜接性

預科班的復習既要鞏固舊知識，更重要的是為高中的數(shù)學教學打基礎。所以，在教學內容上要考慮銜接性，融入高中數(shù)學的相關知識，滲透相應的數(shù)學思想與方法技能。

圖2 例5示意圖

例5觀察函數(shù)y=x2+mx+n的圖象（示意圖見圖2），探究下列問題：

（1）m=_______，n=_______；

（2）函數(shù)的最小值是_______，最大值_______；

（3）當4≤x≤6時，函數(shù)的最小值是_______，最大值是_______；

當0≤x≤2時，函數(shù)的最小值是_______，最大值是_______；

當0≤x≤5時，函數(shù)的最小值是_______，最大值是_______。

（4）當t≤x≤t+1時，討論函數(shù)的最小值情況：

①當對稱軸在所給范圍左側時，t_______，y最小= ____________；

②當對稱軸在所給范圍之間時，t_______，y最小= ____________；

③當對稱軸在所給范圍右側時，t_______，y最小= ____________。

總結歸納求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在某一范圍內的極值的步驟：

第一步。先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸；

第二步。畫簡圖，根據自變量范圍，找相應部分的圖像（含字母的一般分3種情況討論）。

（5）當x=____________時，y=0,即方程x2+mx+n=0的根是____________；

當x＞___或x＜___時，y＞0,即不等式x2+mx+n＞0的由韋達定理（根與系數(shù)的關系）得解集是__________；

當___＜x＜___時，y＜0,即不等式x2+mx+n＜0的解集是____________。

注：由拋物線與軸的交點坐標可以確定對應的二次方程的解和一元二次不等式的解集。

（6）展示二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點個數(shù)的3種圖像，探究二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a≠0)的解集。

總結歸納：求二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的解集的步驟：

第一步。計算判別式△=b2-4ac,若△≥0,求出相應方程的根；

第二步。畫二次函數(shù)簡圖，借助圖像得出二次不等式的解集。

例6已知方程x2+(2m-1)x+4-2m=0,求滿足下列條件的m的取值范圍。

（1）2個正根；

（2）1個根大于2，1個根小于2；

（3）1個根在（-2，0）內，另1個根在（0，3）內。

解析：

解法一：利用韋達定理（略）。

解法二：借助二次函數(shù)圖象，設f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m

點評：（1）數(shù)形結合是處理函數(shù)問題的重要思想方法，是求二次函數(shù)的最值問題、二次不等式的解集問題的共性通法；（2）把方程的根的分布轉化為函數(shù)問題，這正是必修一“函數(shù)與方程”要突出的數(shù)學思想方法。

（四）綜合性

二次函數(shù)集觀察分析、作圖計算、推理論證于一體，蘊含著形數(shù)結合、分類討論、轉換化歸等豐富的數(shù)學思想，它與代數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，教學中要考慮把相關知識點有機地串聯(lián)起來，全面考查學生的應用能力。

圖3 例7示意圖

（1）直接寫出A、B、C的坐標；

（2）在拋物線對稱軸上確定一點Q,使△QBC的周長最小，求出點Q的坐標；

（3）求△PCD面積的最大值。

解析：

（1）A(4,0)、B(-2,0)、C(0,-4);

（2）設拋物線的對稱軸交AC于點Q,則Q點即為所求。

因對稱軸為x=1,直線AC的解析式為y=x-4,所以所求點Q的坐標是(1,-3)。

（3）設P(x,0)(-2＜x＜4),

因為PD∥AC,所以解得

邊PD上的高等于P到AC的距離d=PA×sin45°=

△PCD的面積所以△PCD面積的最大值是3。

點評：（1）面積（距離）的變化問題歸根到底是函數(shù)的極值問題，關鍵是確定面積（距離）函數(shù)；（2）重視數(shù)形結合，充分挖掘圖形中隱含的條件。

[1] 蘇華飛.一道課后習題的研究性學習[J].中學教學參考，2009（02）：14-15.

[2] 黃之.正確解讀教材文本，準確把握教學內容[J].中學數(shù)學教學，2016（04）：13-16.

[3] 黃飛躍，李昌貴.在空間品“角”論“距”[J].廣東教育：高中版，2008（06）：17-19.

（責任編輯：張寶杰）

蘇華飛，男，廣東省江門市培英高級中學，數(shù)學中學一級教師。