整體思想方法在三角問題中的獨特妙用

劉利紅

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求注重學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)，“授人以魚，不如授人以漁”.解答某些三角題采用整體的思想方法求解，往往能起到出奇制勝的效果.本文通過實例，介紹幾種整體思想在解三角題中的應(yīng)用，供大家參考.

一、高瞻遠(yuǎn)矚，把握公式

例1已知cos（α+β）=12，cos（α-β）=13，求tanα tanβ的值.

解由cos（α+β）=12，

cos（α-β）=13，

即cosαcosβ-sinαsinβ=12，

cosαcosβ+sinαsinβ=13.

解得cosαcosβ=512，sinαsinβ=-112.

所以tanα tanβ=sinαsinβcosαcosβ=-112×125=-15.

小結(jié)把兩角和與差的正弦、余弦公式中的sinαcosβ，cosαsinβ，cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ+cosαsinβ，sinαcosβ-cosαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ，cosαcosβ-sinαsinβ看成整體求解.

例2已知方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有兩根tanα，tanβ，求tan（α+β）的最小值.

解因為mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有兩根tanα，tanβ，

所以Δ=（2m-3）2-4m（m-2）≥0，

m≠0.

解得m≤94且m≠0.

由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系得

tanα+tanβ=3-2mm，tanαtanβ=m-2m.

所以tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3-2m2=32-m

≥32-94=-34.

故tan（α+β）的最小值為-34.

小結(jié)在三角函數(shù)的求值和化簡過程中，靈活使用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式中的整體思想，對解題思路展開大有益處.

二、整體代入，直奔終點

例3化簡：sin（x+π3）+2sin（x-π3）-3cos（2π3-x）.

解原式=sin（x+π3）+3cos（x+π3）+2sin（x-π3）

=2[sin（x+π3）×12+cos（x+π3）×32]+2sin（x-π3）

=2sin（x+2π3）+2sin（x-π3）

=2sin[π+（x-π3）]+2sin（x-π3）

=-2sin（x-π3）+2sin（x-π3）=0.

小結(jié)逆用和角或差角公式將其合并成一個三角函數(shù)來處理可以簡化運算.

例4 已知cos（ + ）= ，cos（ - ）=- ， < + < ， < - < ，求cos 與cos 的值.解：因為 < + < ，cos（ + ）= ，所以sin（ + ）=- .又 < - < ，cos（ - ）=- ，所以sin（ - ）= .所以cos2 =cos[（ + ）+（ - ）]= cos（ + ）cos（ - ）-sin（ + ）sin（ - ）=- .同理cos2 =cos[（ + ）-（ - ）]=-1.小結(jié)：研究題中角與角之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)2 =（ + ）+（ - ），2 =（ + ）-（ - ），實施角變換.例5 的值等于（ ）.（A）2+ （B） （C）2- （D） 解： = = =tan15°=tan（45°-30°）= =2- .小結(jié)：觀察被求式子中角的特點，實施角變換.三、整體聯(lián)想，建對偶式

例4求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解令M=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°，

則其對偶式為

N=cos220°+sin280°+3cos20°·sin80°.

因為M+N =（sin220°+cos220°）+（cos280°+sin280°）+3（sin20°cos80°+cos20°sin80°）=2+3sin100°，（1）

M-N=（sin220°-cos220°）+（cos280°-sin280°）+3（sin20°cos80°-cos20°sin80°）=-cos40°+cos160°-3sin60°=-2sin100°sin60°-32=-3sin100°-32，（2）

所以（1）+（2）得2M=12，M=14，

即sin220°+cos220°+3sin20°·cos80°=14.

小結(jié)在上式中，把各角的弦值轉(zhuǎn)化為同角互余的弦值，從而構(gòu)造出一個對偶式，并通過對原式和對偶式進(jìn)行和差或積的運算，可使問題得到巧妙的解決.

四、內(nèi)在聯(lián)系，整體代換

例5求函數(shù)γ=（sinx+a）（cosx+a）的最值（0

解γ=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a2.

令sinx+cosx=t∈[-2，2]，

且有sinx·cosx=t2-12，故γ=12（t+a）2+a2-12.

當(dāng)t=2時，γmax=a2+2a+12.

小結(jié)遇到sinx+cosx，sinx-cosx，sinx·cosx相關(guān)的問題，常采用換元法.但要注意范圍的確定.

例6已知函數(shù)f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零實數(shù)，又知f（2003）=-1，求f（2004）的值.

解f（2003）=asin（2003π+α）+bcos（2003π+β）

=asin（2002π+π+α）+bcos（2002π+π+β）

=asin（π+α）+bcos（π+β）=-asinα-bcosβ

=-（asinα+bcosβ）.

因為f（2003）=-1，所以asinα+bcosβ=1.

所以f（2004）=asin（2004π+α）+bcos（2004π+β）

=asinα+bcosβ=1.

小結(jié)尋找聯(lián)系是解決問題的關(guān)鍵.

從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡，求職變換中，一定要本著先整體再局部的基本原則，先整體分析三角函數(shù)的特點，如果符合上述某些關(guān)系，則整體變形，否則進(jìn)行局部變換.