例談圓錐曲線中的定值、定點問題

盛文斌

圓錐曲線是解析幾何的重要內容之一，也是高考考查的重點和熱點，知識綜合性較強，對學生邏輯思維能力、計算能力等要求很高，這些問題重點考查學生方程思想、函數思想、轉化與化歸思想的應用.定值問題與定點問題是這類題目的典型代表，為了提高學生的解題效率，特別是高考備考效率，筆者列舉了一些典型的定點和定值問題，以起到拋磚引玉的作用.

例1在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x29+y25=1的左，右頂點分別為A，B，右焦點為F.設過點T（t，m）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0.（1）設動點P滿足：|PF|2-|PB|2=4，求點P的軌跡；（2）設x1=2，x2=13，求點T的坐標；（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.

解（1）設P（x，y），由題意知F（2，0），B（3，0），A（-3，0），

則|PF|2=（x-2）2+y2，|PB|2=（x-3）2+y2.

由|PF|2-|PB|2=4，

得（x-2）2+y2-[（x-3）2+y2]=4，

化簡，得x=92.故點P的軌跡方程是x=92.

（2）將x1=2，x2=13分別代入橢圓方程，

并考慮到y(tǒng)1>0，y2<0，得M（2，53），N（13，-209）.

則直線MA的方程為y-053-0=x+32+3，即x-3y+3=0.

直線NB的方程為y-0-209-0=x-313-3，即5x-6y-15=0.

聯立方程x-3y+3=0，

5x-6y-15=0，解得x=7，y=103，

所以點T的坐標為（7，103）.

（3）證明：如圖1所示，點T的坐標為（9，m）.

直線TA的方程為y-0m-0=x+39+3，

直線TB的方程為y-0m-0=x-39-3，

分別與橢圓x29+y25=1聯立方程，

解得M（3（80-m2）80+m2，40m80+m2），

N（3（m2-20）20+m2，-20m20+m2）.

直線MN的方程為

y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x-3（m2-20）20+m23（80-m2）80+m2-3（m2-20）20+m2.

令y=0，解得x=1，

所以直線MN必過x軸上的一定點（1，0）.

思維升華求定點及定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

例2（2013年江西）橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的離心率e=32，a+b=3.（1）求橢圓C的方程；（2）如圖2所示，A、B、D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m-k為定值.

解（1）因為e=32=ca，所以a=23c，b=13c.

代入a+b=3，得c=3，a=2，b=1.

故橢圓C的方程為x24+y2=1.

（2）方法一：因為B（2，0），點P不為橢圓頂點，則直線BP的方程為

y=k（x-2） （k≠0，k≠±12）.①

①代入x24+y2=1，解得P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1）.

直線AD的方程為y=12x+1②

①與②聯立解得M（4k+22k-1，4k2k-1）.

由D（0，1），P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1），N（x，0）三點共線知

-4k4k2+1-18k2-24k2+1-0=0-1x-0，解得N（4k-22k+1，0）.

所以MN的斜率為

m=4k2k-1-04k+22k-1-4k-22k+1=4k（2k+1）2（2k+1）2-2（2k-1）2

=2k+14.

則2m-k=2k+12-k=12 （定值）.

方法二：設P（x0，y0） （x0≠0，±2），則k=y0x0-2，

直線AD的方程為y=12（x+2），

直線BP的方程為y=y0x0-2（x-2），

直線DP的方程為y-1=y0-1x0x.

直線與圓位置關系的化歸處理