運(yùn)用貫通法構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系

蔣海燕

[摘 要]貫通法是指通過(guò)多種途徑將數(shù)學(xué)知識(shí)按照其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行有機(jī)整合貫通.這種方法不僅有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系，而且有助于學(xué)生獲得相對(duì)系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力.運(yùn)用貫通法的主要途徑可以歸納為：以系統(tǒng)性為導(dǎo)向，貫通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系；以核心內(nèi)容為統(tǒng)領(lǐng)，貫通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的縱向聯(lián)系；以現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法為紅線貫通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系；以例題變式訓(xùn)練為手段，幫助學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

[關(guān)鍵詞]貫通法 構(gòu)建 知識(shí)體系

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2016）110001

貫通法是筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常自覺運(yùn)用的一種方法.所謂貫通法是指通過(guò)多種途徑將數(shù)學(xué)知識(shí)按照其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行有機(jī)整合貫通，使分散的知識(shí)點(diǎn)形成一個(gè)相對(duì)系統(tǒng)完整的知識(shí)體系.這樣不僅有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，而且有助于學(xué)生獲得相對(duì)系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力.

根據(jù)系統(tǒng)論的觀點(diǎn)，系統(tǒng)地組織起來(lái)的材料所提供的信息，遠(yuǎn)大于部分材料所提供的信息之和.創(chuàng)造心理學(xué)研究則表明，新的發(fā)明創(chuàng)造主要決定于整體性認(rèn)知框架的轉(zhuǎn)換，而整體性認(rèn)知框架的形成則在于對(duì)對(duì)象整體的把握.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，怎樣才能幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)，形成具有整體性的認(rèn)知框架呢？筆者在教學(xué)實(shí)踐中深深體會(huì)到，貫通法就是其中一種非常有效的方法.

一、以系統(tǒng)性為導(dǎo)向，貫通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系

希爾伯特曾指出：“數(shù)學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，它的生命力正是各個(gè)部分之間的內(nèi)在聯(lián)系.”[1]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容編排的重要特點(diǎn)之一是系統(tǒng)性.系統(tǒng)性主要包括邏輯性、連續(xù)性和層次性等幾個(gè)方面的要求.所謂邏輯性，即數(shù)學(xué)概念和命題的排列是以它們賴以生存的思維順序展開的.數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓允撬闹饕卣髦?，因而?shù)學(xué)教材中一切數(shù)學(xué)概念的展開都是以概念間的聯(lián)系為依據(jù)，并形成概念系統(tǒng)，所有數(shù)學(xué)命題的建立都是以學(xué)科公理為基礎(chǔ)，用邏輯推理的方法來(lái)證明.所謂連續(xù)性，即數(shù)學(xué)知識(shí)間的過(guò)渡是連續(xù)的，先行知識(shí)與后繼知識(shí)之間是連續(xù)地發(fā)展.所謂層次性，即數(shù)學(xué)教材本身是一個(gè)前后相繼的結(jié)構(gòu)系統(tǒng).一般都是先安排最基本的概念和原理，再逐步呈現(xiàn)其下屬概念和下位原理.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)性的特點(diǎn)決定了教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須注重系統(tǒng)性，即注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯性、連續(xù)性和層次性，從宏觀上構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).例如在講某個(gè)概念時(shí)，教師首先要在宏觀上認(rèn)識(shí)這個(gè)概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位與作用，弄清楚“為什么要引入這個(gè)概念，這個(gè)概念與相鄰概念之間是什么關(guān)系，它們之間有何聯(lián)系與區(qū)別”等問題，從而在頭腦中建立起由基本概念構(gòu)成的概念系統(tǒng)，然后再把這種觀念傳遞給學(xué)生，讓學(xué)生圍繞這個(gè)概念逐步構(gòu)建起一個(gè)概念網(wǎng)絡(luò).網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)越多，概念系統(tǒng)就會(huì)越完善，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、遷移的能力就會(huì)越來(lái)越強(qiáng).如實(shí)數(shù)概念的教學(xué)，可以把實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，寫出分類表，通過(guò)分類表指出數(shù)的概念從自然數(shù)到分?jǐn)?shù)、有理數(shù)再到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，進(jìn)一步比較各種數(shù)集及其運(yùn)算性質(zhì)，從而指出數(shù)概念的擴(kuò)充原則以及各種數(shù)集間的關(guān)系，這樣學(xué)生可清晰系統(tǒng)地掌握概念間的邏輯關(guān)系.中學(xué)數(shù)學(xué)中許多定理彼此緊密聯(lián)系，教完這些定理之后，應(yīng)及時(shí)揭示這些定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)化，形成數(shù)學(xué)命題體系.如學(xué)習(xí)了幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理以后，可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，生動(dòng)巧妙地闡明它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并給以量化，統(tǒng)一成圓冪定理.

二、以核心內(nèi)容為統(tǒng)領(lǐng)，貫通數(shù)學(xué)知識(shí)間的縱向聯(lián)系

對(duì)于一個(gè)由若干相關(guān)章節(jié)內(nèi)容組成的數(shù)學(xué)單元來(lái)說(shuō)，其內(nèi)部知識(shí)之間必然有著緊密的邏輯聯(lián)系，而在這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)中必定有其核心內(nèi)容.所謂核心內(nèi)容，就是指在單元知識(shí)結(jié)構(gòu)中能夠?qū)ζ渌R(shí)起著統(tǒng)領(lǐng)、整合和解釋作用的基本概念、基本方法或基本規(guī)律，在單元復(fù)習(xí)中只有注重運(yùn)用核心知識(shí)統(tǒng)領(lǐng)并整合其他知識(shí)，才有可能更好地掌握知識(shí)單元的邏輯結(jié)構(gòu)，形成良好的具有整體性的認(rèn)知框架.例如，在復(fù)習(xí)《解析幾何》這一單元的知識(shí)時(shí)，就要抓住其核心內(nèi)容——解析法.解析法是數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)核，也是直線、圓以及各種圓錐曲線方程的上位概念，解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)直接依解析法而展開，因此，解析法在解析幾何知識(shí)中居統(tǒng)領(lǐng)地位.在解析幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)中，必須運(yùn)用解析法去研究推導(dǎo)直線、圓以及各種圓錐曲線的典型方程，幫助學(xué)生掌握曲線的點(diǎn)、對(duì)稱軸、焦點(diǎn)、離心率、弦、切線等有關(guān)元素，樹立曲線與方程相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)，掌握轉(zhuǎn)化的基本方法及應(yīng)遵循的基本規(guī)則，明確解析法與其他各項(xiàng)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，使本單元的整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.這樣不僅有利于學(xué)生加深理解，也有利于學(xué)生記憶，更有利于知識(shí)的遷移，為學(xué)生發(fā)展智力、提高能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

三、以現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法為紅線，貫通數(shù)學(xué)知識(shí)間的橫向聯(lián)系

中學(xué)數(shù)學(xué)的全部教學(xué)內(nèi)容中有兩條主線，一條是反映數(shù)學(xué)知識(shí)間縱向聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的線；另一條是反映了數(shù)學(xué)知識(shí)間橫向聯(lián)系數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)的線.這兩個(gè)系統(tǒng)從縱橫兩個(gè)維度上構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)促進(jìn)學(xué)生把握學(xué)科結(jié)構(gòu)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力是至關(guān)重要的問題.而淡化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度上把握學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，也使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握若明若暗，嚴(yán)重影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重運(yùn)用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想方法處理數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生把握知識(shí)間的橫向聯(lián)系.

例如數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念.數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法都是圍繞對(duì)這兩個(gè)概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的.在數(shù)學(xué)科的發(fā)展中，數(shù)與形常常是結(jié)合在一起的，內(nèi)容上相互滲透，方法上相互聯(lián)系，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化.中學(xué)數(shù)學(xué)的代數(shù)、函數(shù)、三角、幾何都滲透了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容和思想.如實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；復(fù)數(shù)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；函數(shù)可用圖像表示；二元一次方程表示坐標(biāo)平面上的一條直線；二元二次方程表示二次曲線；等等.掌握了數(shù)形結(jié)合的思想方法，有助于把代數(shù)、函數(shù)、三角、幾何的相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，在分析問題與解決問題時(shí)，把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，或者將數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化，化難為易.

對(duì)于這樣一個(gè)知識(shí)跨度較大的題目，如果到此結(jié)束，不給出幾個(gè)變式進(jìn)行強(qiáng)化，學(xué)生仍然對(duì)有關(guān)知識(shí)和思想方法不能融會(huì)貫通，稍微變形便會(huì)不知所措，找不到解題方法.因此，有必要順?biāo)浦劢o出下面幾個(gè)變式練習(xí)：

變式 設(shè)f（x）=ax2+bx，1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，

（1）求f（-2）的取值范圍；（2）求ba的最小值；

（3）求a2+b2的取值范圍；（4）求a2+b2-4a-2b+5的取值范圍.

通過(guò)這樣的變式訓(xùn)練，不僅能使學(xué)生從整體上把握線性規(guī)劃問題的本質(zhì)特征，而且能使學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散思維，達(dá)到“會(huì)一題，通一類”的效果.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 希爾伯特.數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)譯文集[M].上海：上海科技出版社，1981.

[2] 張建.試卷講評(píng)要關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（2）.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）