再論一類數(shù)列求和問(wèn)題

高峰

[摘 要] 數(shù)列求和問(wèn)題是數(shù)列中的重點(diǎn)問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在求和問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)（-1）n這樣一個(gè)式子，被稱為求和符號(hào)調(diào)節(jié)器，對(duì)其的處理方式是分奇偶討論，但有時(shí)也不需要分奇偶討論，可具體問(wèn)題具體分析.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列；求和；列項(xiàng)；（-1）n

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此高考對(duì)這部分知識(shí)的考查的題型多樣. 在必修部分內(nèi)容中解答題的難度也是較高的. 縱觀近幾年的高考，關(guān)于數(shù)列的考查主要有以三個(gè)方面的內(nèi)容：一是數(shù)列本身的知識(shí)，主要是等差數(shù)列、等比數(shù)列概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式；二是數(shù)列與其他知識(shí)的交匯，如與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的結(jié)合；三是數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，主要是增長(zhǎng)率、分期付款等.數(shù)列的通項(xiàng)以及求和問(wèn)題是重點(diǎn)，也是這幾年考試的熱點(diǎn)，無(wú)論是期中、期末還是會(huì)考、高考，都是高中數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一. 2015年3月青島市一?？荚嚁?shù)學(xué)理科卷19題與2014年山東高考數(shù)學(xué)理科卷第19題如出一轍，把大家又一次聚焦到了數(shù)列裂項(xiàng)求和符號(hào)調(diào)節(jié)器（-1）n的作用上，對(duì)此本文嘗試做一些分析.

首先，我們從2015年3月青島市一?？荚嚁?shù)學(xué)理科卷19題目和解法入手.

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，且a10=19，S10=100；數(shù)列{bn}對(duì)任意n∈N*，總有b1·b2·b3·…·bn-1·bn=an+2成立.

拓展思考一：通項(xiàng)公式具有什么特點(diǎn)時(shí)適合裂和？

觀察該數(shù)列通項(xiàng)公式cn=（-1）n·，不難發(fā)現(xiàn)，分母2n-1與2n+1的和恰好為分母4n，適合裂和.

又如：2013年高考數(shù)學(xué)江西卷理科第17題的第二問(wèn)正是這樣一個(gè)混合型的裂解，在第一問(wèn)中已經(jīng)求出an=2n，第二問(wèn)中令bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn. 要求證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn<.

在平日教學(xué)過(guò)程中，只要我們善于發(fā)現(xiàn)，不斷總結(jié)，總會(huì)有“創(chuàng)新的火花”在閃爍，這些難能可貴的見解也是對(duì)課堂教學(xué)的補(bǔ)充與完善，可以不斷拓寬教師的教學(xué)思路，提高教學(xué)水平，促進(jìn)教師的專業(yè)化成長(zhǎng).