由經(jīng)典模型出發(fā)，聚焦數(shù)列裂項(xiàng)求和的解法探究

于濤

[摘 要] 裂項(xiàng)求和是數(shù)列求和的重要方法之一，教學(xué)以兩種經(jīng)典模型為主.在具體應(yīng)用中，不能解決經(jīng)典模型以外的裂項(xiàng)求和問(wèn)題. 從一道裂項(xiàng)求和問(wèn)題的解決方式出發(fā)，對(duì)裂項(xiàng)求和的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行了分析，應(yīng)用特殊與一般、轉(zhuǎn)化及類比等數(shù)學(xué)思想方法提出了兩個(gè)裂項(xiàng)求和的一般模型，使裂項(xiàng)求和的應(yīng)用不局限于與等差數(shù)列有關(guān)的裂項(xiàng)求和. 在應(yīng)用一般模型的過(guò)程中，旨在提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，并掌握分析裂項(xiàng)求和的一般思路與策略.

[關(guān)鍵詞] 裂項(xiàng)求和；分子；分母；經(jīng)典模型；數(shù)列

在數(shù)列的綜合性問(wèn)題中，符合裂項(xiàng)求和的通項(xiàng)公式具有特殊的結(jié)構(gòu)特征，這種特殊結(jié)構(gòu)在兩個(gè)經(jīng)典模型中，局限于與等差數(shù)列有關(guān)的通項(xiàng)公式，從而也體現(xiàn)了兩個(gè)經(jīng)典模型是裂項(xiàng)求和的兩個(gè)特殊模型，并不是一般模型. 文中結(jié)合一道裂項(xiàng)求和題目的求解過(guò)程，引發(fā)對(duì)裂項(xiàng)求和結(jié)構(gòu)特征的思考，將原有特殊模型轉(zhuǎn)化提升為一般模型.

這個(gè)題目是裂項(xiàng)求和問(wèn)題，在學(xué)生思考求和時(shí)，根據(jù)通項(xiàng)公式的形式，容易排除公式求和、錯(cuò)位相減求和、倒序求和，但是也很難與裂項(xiàng)求和聯(lián)系起來(lái)，這就不得不對(duì)裂項(xiàng)求和進(jìn)行新的思考.學(xué)生不能很好地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)求和，主要原因在于，教學(xué)中有關(guān)裂項(xiàng)求和主要是下列兩個(gè)經(jīng)典模型.

上述兩個(gè)經(jīng)典模型不能應(yīng)用于引例所處理的題目，它們的特殊性在于：均與等差數(shù)列有關(guān). 引例中的通項(xiàng)公式相較而言就顯得更一般，這就引起了對(duì)引例與經(jīng)典模型在應(yīng)用裂項(xiàng)求和中轉(zhuǎn)化的共同性的思考.

[?] 裂項(xiàng)求和的一般模型

1. 模型1的推廣

裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是如何將一項(xiàng)裂為兩項(xiàng)的差.觀察引例的解題過(guò)程，核心步驟為，問(wèn)題在轉(zhuǎn)化過(guò)程中應(yīng)用了分子與分母之間的內(nèi)在聯(lián)系，若記an=n2，則bn==-，不難發(fā)現(xiàn)分子為分母兩項(xiàng)的差.

2. 模型2的推廣

針對(duì)模型1的特征，將其推廣為模型3，由裂項(xiàng)核心思路的一致性，類比模型1推廣為模型3的方式，可將模型2推廣為模型4，模型4如下：

模型4：數(shù)列{an}，其中?n∈N*，an>0，=m（-）（其中k∈N*，m≠0）.

模型4的特征：

（1）分母為同一數(shù)列中兩項(xiàng)（一般為相鄰兩項(xiàng)）平方根的和；

（2）分子為分母中兩項(xiàng)的差或差的倍數(shù).

注意：{an}的數(shù)列類型不局限于等差數(shù)列，可以推廣至各種形式的數(shù)列，只需要求{an}中的所有項(xiàng)均為正項(xiàng).

模型4可以裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)與模型3略有區(qū)別，它可以裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征為=k（-），能否求和依然需要A，B間存在聯(lián)系，因此A，B仍然要是同一數(shù)列中的某兩項(xiàng)（一般為相鄰兩項(xiàng)），這就使得原來(lái)的模型2成為模型4的一個(gè)特例，將{an}局限于等差數(shù)列的特殊情形推廣到符合要求的一般數(shù)列.

通過(guò)上述兩部分的分析，不難發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)求和轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵為數(shù)列的通項(xiàng)公式能否轉(zhuǎn)化、如何轉(zhuǎn)化為符合裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，即：或.

[?] 一般模型的應(yīng)用

由于模型4應(yīng)用于較復(fù)雜的通項(xiàng)公式與應(yīng)用模型3的一般思路和策略相同，并且沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有相關(guān)題目的考查，所以一般模型的應(yīng)用主要以模型3為主.應(yīng)用過(guò)程中的一般的解題策略為：若求和可能是裂項(xiàng)求和，在應(yīng)用模型3時(shí)，從模型的兩個(gè)特征出發(fā)，先考慮分母是否是同一個(gè)數(shù)列中某兩項(xiàng)的積，再考慮分子是否與這兩項(xiàng)的差有倍數(shù)關(guān)系. 從解決裂項(xiàng)求和的一般策略里，能夠使得學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力提高到一個(gè)新的層次，不僅僅是記住模型，更重要的是提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

下面通過(guò)3個(gè)題目的應(yīng)用簡(jiǎn)要分析應(yīng)用模型3解題的一般思路.在選擇求和方法時(shí)，例1、例2、例3均可排除公式求和、錯(cuò)位相減求和及倒序求和.

例1 （2010年湖南）給出下面的數(shù)表序列：其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1，3，5，…，2n-1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和. （1）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；（2）每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12，…，記此數(shù)列為{bn}，求和：++…+（n∈N*）.

從而轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)求和問(wèn)題.

例2在裂項(xiàng)求和的過(guò)程中，通項(xiàng)公式需要通過(guò)轉(zhuǎn)化才能應(yīng)用模型3，解題的一般策略指導(dǎo)學(xué)生有了一般的思路，轉(zhuǎn)化分母與分子間的關(guān)系.

例3 （2006年山東）已知a1=2，點(diǎn)（an，an+1）在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上.

（1）證明：數(shù)列{lg（1+an）}是等比數(shù)列；

（2）設(shè)Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)；

（3）記bn=+，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1.

分析：題目的難點(diǎn)在于第3問(wèn)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn的求解，由前2問(wèn)及題意得an+1=a+2an，an=32n-1-1，則bn=+==或bn=+=·

在上面的步驟中，無(wú)論{bn}的通項(xiàng)用an表示，還是用具體的關(guān)于n的式子表示，分母都只有數(shù)列{an}中的1項(xiàng)即第n+1項(xiàng)，在選擇求和方法時(shí)，較為貼近裂項(xiàng)求和，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中先考慮分母，兩項(xiàng)的積中的另一項(xiàng)選擇誰(shuí)？根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及檢驗(yàn)，選擇第n項(xiàng).

例3應(yīng)用裂項(xiàng)求和的難度更大，主要原因在于通項(xiàng)公式的形式與模型3的形式相比較，差距較大，需要通過(guò)較高的配湊技巧達(dá)到模型3的形式，從而應(yīng)用裂項(xiàng). 這一問(wèn)還有另一個(gè)解法，以消元為主要思想，在這里不做介紹.從學(xué)生學(xué)習(xí)接受的角度，更多的學(xué)生覺(jué)得用裂項(xiàng)求和的配湊更易理解，同時(shí)也使得裂項(xiàng)求和的模型3的一般思路有了更廣泛的應(yīng)用.

[?] 模型的再思考

一般模型在處理裂項(xiàng)求和問(wèn)題時(shí)，能夠體現(xiàn)對(duì)模型的深入理解應(yīng)從模型結(jié)構(gòu)入手，如文中所提到的兩個(gè)典型結(jié)構(gòu)或可以裂項(xiàng)，能否求和還決定于A，B的關(guān)系.再具體問(wèn)題應(yīng)用中，需要將實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而實(shí)施裂項(xiàng)求和. 這也打破了原有模型的局限性，使得裂項(xiàng)求和能夠應(yīng)用于更廣闊的范圍. 當(dāng)然，是否還有其他結(jié)構(gòu)能應(yīng)用裂項(xiàng)求和，文章沒(méi)有進(jìn)行進(jìn)一步的思考，只是針對(duì)原有兩個(gè)模型進(jìn)行特殊到一般的提升. 在教學(xué)過(guò)程中，模型的深刻理解也讓學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)求和等有關(guān)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，有了思考方向，提高了化歸與轉(zhuǎn)化能力.

另外，新模型除了能夠幫助學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)理解更深刻，對(duì)提高轉(zhuǎn)化能力有更大的幫助以外，也可以給出題者一個(gè)出題的思路，應(yīng)用裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，設(shè)置一個(gè)數(shù)列中的某兩項(xiàng)分別放入A，B，構(gòu)造出一個(gè)可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列通項(xiàng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行考查，打開了裂項(xiàng)求和更廣闊的天地.

以上是在日常教學(xué)中，總結(jié)歸納出的一點(diǎn)感悟，在解決裂項(xiàng)求和的問(wèn)題中，能夠有助于學(xué)生找到難度較大的問(wèn)題的思考方向，從而提升轉(zhuǎn)化能力. 文章對(duì)裂項(xiàng)求和的深入分析旨在希望學(xué)生能夠理解得更深刻，并培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象、分析、轉(zhuǎn)化能力.