備課參考東臨碣石以觀滄海

羅展華　沈恒

[摘 要] 說題是近年來考查教師教學(xué)能力的一種新方式，其更為直接地展示了教師在試題剖析、思維導(dǎo)引、解決方式、變式拓展、解題反思等各方面的綜合素養(yǎng)，愈來愈受到歡迎. 以高考真題為載體，以典型遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求解為例進(jìn)行說題.

[關(guān)鍵詞] 說題；思維；思路；規(guī)律；數(shù)列；構(gòu)造

說題活動是高中數(shù)學(xué)一種比較新型的教學(xué)交流方式，近年來受到教師交流活動或職稱評選活動的關(guān)注. 那么何為說題？如何說題？說題過程中如何展示教師的問題處理能力呢？如何體現(xiàn)教師專業(yè)化的能力與水平？這些都是值得教師在說題活動前做充分的了解和嘗試，近期筆者以一次自身說題活動的參與，談?wù)務(wù)f題活動對自身的一些啟示和思考，旨在拋磚引玉與大家交流.

[?] 題源

題：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2，則a12=__________.

本題是由全國卷改編而來的一道高考試題，是本次說題活動給出的一道基本數(shù)列題. 從初步分析來看：本數(shù)列問題解決的基本知識在于做差之后等比數(shù)列知識的運(yùn)用，其基本思想在于數(shù)列的做差思想、整體思想、構(gòu)造思想等的運(yùn)用. 從近年各地省市高考、競賽試題來看，數(shù)列中遞推數(shù)列通項(xiàng)的求解是一直是熱點(diǎn)和難點(diǎn).

[?] 說題

諸如《說題教學(xué)的嘗試》（作者：李萍）與《說題——讓數(shù)學(xué)課題更精彩》（作者：金秀青）等比較關(guān)注的是教師如何指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說題，其目的旨在提高學(xué)生對問題的理解能力和解決的方向性、知識的整合度以及思維的發(fā)散性等等，而本次是以教師說題為主的教學(xué)活動，有所不同.

首先談?wù)務(wù)f題的界定：說題是什么？筆者認(rèn)為就是要求教師通過分析，將問題從審題—分析—解答—小結(jié)—提升等過程按照一定的規(guī)律進(jìn)行語言的口述，在這過程中要求說題者將整個對試題的分析思維過程進(jìn)行暴露，即“說數(shù)學(xué)思維”. 說題是近年比較流行、高效的考查教師基本課堂教學(xué)能力的一種方式，要求利用教學(xué)語言口述探尋解題的思維過程、對問題分析處理的想法以及針對這一問題進(jìn)行的挖掘和提升，進(jìn)一步對教師專業(yè)化素養(yǎng)的考查等，其作用是大大方便教師間的交流、節(jié)省大量的教學(xué)課時、理清教學(xué)的思路、提高教學(xué)的效率，這樣的新型教研活動值得我們做一定的思考與嘗試.

羅增儒教授關(guān)于解題教學(xué)提出的一些嘗試和建議，其指出：解數(shù)學(xué)題要將陌生的條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為通俗易懂的數(shù)學(xué)語言；按照這一想法，筆者類比思考說題正是將此形式進(jìn)行語言表達(dá)的一種態(tài)勢，即利用教學(xué)語言口述探尋解題通路的思維過程以及所采納的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹和歸納，因此往往涉及下面幾個方面：

1. 說題意

說出試題考查的背景、意圖、隱含條件、處理方式、處理技巧等，是說明題意的基本要求. 數(shù)列知識板塊是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其所占分值約15%，小題主要考查數(shù)列基本知識和基本技能，解答題側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思想方法在數(shù)列中的運(yùn)用，諸如：整體思想進(jìn)行構(gòu)造、函數(shù)思想研究數(shù)列性質(zhì)、數(shù)列求和中的倒序相加等思想.

從本題來看，本題的意圖言簡意賅：首先從基本處理而言是數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的做差思想，在得到遞推數(shù)列關(guān)系之后，進(jìn)一步利用整體構(gòu)造進(jìn)行處理.對本題的后半階段處理，我們知道構(gòu)造類求數(shù)列通項(xiàng)是遞推數(shù)列考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師對問題的處理、解決是站在教師自身的角度而言的，將基本方法進(jìn)行闡述的同時，要立足于學(xué)生思維、考慮問題的角度再進(jìn)行深思研究.

2. 說思維

簡述解決試題探索過程中的思維方法和心理活動過程，這是說思維的基本要求.一般在指導(dǎo)學(xué)生解題思維培養(yǎng)途徑上常常使用下面的方法方式：

（1）運(yùn)用直覺思維，從類似問題中探索解題途徑、滲透一般問題的解題規(guī)律，即模式識別策略；

（2）采用“庖丁解?！辈呗?，將問題分解為若干小問題，逐一突破；

（3）分析綜合策略，從條件出發(fā)、結(jié)論思考，對條件進(jìn)行順推、結(jié)論進(jìn)行逆推，尋找問題突破點(diǎn)；

（4）轉(zhuǎn)化策略，將命題不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變換，轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的問題進(jìn)行突破.

縱觀本題，參加本題說題活動的老師給出了多種不同的解決思路，水平非常了得，但筆者思考：說題活動并非一味提倡一題多解，更要在說題過程中將學(xué)生能夠解決的方法，其使用這樣方法的依據(jù)說清楚，還要在探索解題過程中能夠使用的解法和構(gòu)建這些解法的心理機(jī)制進(jìn)行分析，這些更值得教師去關(guān)注.

（2）對an+1=4an-4an-1進(jìn)行構(gòu)造，這里的構(gòu)造借助學(xué)生對等比數(shù)列、等差數(shù)列的整體認(rèn)知而定，既可以利用等差構(gòu)造，也可以利用等比構(gòu)造，相比而言學(xué)生往往更喜歡利用等差整體進(jìn)行構(gòu)造，但是等比整體的構(gòu)造更具備解決遞推數(shù)列的一般性.

利用等差數(shù)列的構(gòu)造是學(xué)生較為熟悉的一種問題解決方案，教師必須將其講清楚，學(xué)生使用該種方法時的心理機(jī)制也可以適當(dāng)提及.

教師：令bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1，所以{bn}是首項(xiàng)b1=3，公比為2的等比數(shù)列.

3. 說思路

說出本題解決的一般性思路更為重要，針對本題而言，教師要以第二種方法進(jìn)行問題一般性的思路說明，盡可能進(jìn)行推廣. 針對上述解法二，學(xué)生思路一般性的方法是：

（1）主要思想：整體思想、構(gòu)造思想、運(yùn)算中注意如何利用整體性解決問題；

（2）考慮到數(shù)列an+1=pan+f（n）這一模型的重要性，開展說題活動的一般性思路說明；

（3）給出f（n）為一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型的通用型問題解決指導(dǎo).

4. 說規(guī)律

通過數(shù)列遞推求通項(xiàng)，諸如an+1=pan+f（n）模型的一般性規(guī)律是利用等比數(shù)列的整體性構(gòu)造解決，筆者概括出一般性的解決方式，并交流心得體會：

可以用上述一般性的規(guī)律解決下列問題：

（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項(xiàng)an.

（2）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項(xiàng)an.

（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn，求{an}的通項(xiàng)公式.

現(xiàn)代意義的解題教學(xué)特點(diǎn)：更注重解題的過程、策略以及思維品質(zhì)的培養(yǎng)；更注重解題過程中的情感、態(tài)度、價(jià)值觀，從變化中尋求不變才是教師所追求的和學(xué)生需掌握的.

[?] 感受

在參與本次說題活動中，筆者感受到教師的說題注重以下幾方面：培養(yǎng)學(xué)生以知識整合能力為主，注重試題講解以多變多樣化為切入點(diǎn)，關(guān)注解題過程中數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的引導(dǎo)，關(guān)注一題多解帶來的思維發(fā)散效應(yīng)，關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度與價(jià)值觀等，這些都是很好的嘗試.

但是通過說題活動筆者也發(fā)現(xiàn)，我們有時候在處理說題目標(biāo)的具體性、適度性和合適性上把握還顯不足，甚至有些混亂，在面對一道具體的數(shù)學(xué)題目時，課程標(biāo)準(zhǔn)中的空話、套話切勿對應(yīng)于具體題目. 教師更應(yīng)該關(guān)心的是如何將本題所涉及的說題目標(biāo)進(jìn)行具體的、合理的敘述，這樣比較貼合實(shí)際.

按照本次說題教學(xué)得到的一些嘗試，筆者認(rèn)為我們應(yīng)該將說題目標(biāo)進(jìn)行層層遞進(jìn)式的剖析：

（1）其一是說題的初級目標(biāo)，其主要是教師將問題的思路和解決方法進(jìn)行敘說，將學(xué)生可能的解決方案予以呈現(xiàn)，將教師在問題解決過程中的對話交流、問題設(shè)置等進(jìn)行合理的安排，以符合學(xué)生解決問題心理機(jī)制為前提下的設(shè)計(jì)是符合學(xué)生認(rèn)知心理的，并讓學(xué)生進(jìn)行探究性的嘗試.

（2）其二是說題的中級目標(biāo)，此時筆者以為，我們在解決說題過程中所反映的基本思想方法應(yīng)該向?qū)W生予以呈現(xiàn)，以本文中數(shù)列問題為例，教師努力向?qū)W生傳遞的是運(yùn)用基本數(shù)列（等差、等比）解決未知數(shù)列模型，即轉(zhuǎn)化思想；利用整體構(gòu)造進(jìn)行問題求解，即整體運(yùn)用思想等，并對比兩種不同的問題解決方法，鼓勵學(xué)生思考、認(rèn)知哪種方法更具備一般性、普遍性，進(jìn)而將問題教學(xué)效益最大化.

（3）其三是說題的高級目標(biāo)，筆者對本文中的數(shù)列問題進(jìn)行了一般性的推廣，通過自身經(jīng)驗(yàn)積累、搜集加工、自行編譯一些符合數(shù)列模型an+1=pan+f（n）的遞歸數(shù)列，利用中級目標(biāo)得到的問題解決方案和思想方法進(jìn)行更廣泛問題的開拓、更發(fā)散方向的嘗試，真正將說題效應(yīng)上升到一種“以點(diǎn)及面”的層面上，使得課堂教學(xué)工作效率大大提升. 這里要注意把握好歸納與演繹的度，做到收斂思維與發(fā)散思維交替運(yùn)用，同化規(guī)律與順應(yīng)規(guī)律多化循環(huán)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律、特點(diǎn)和方法，在參與思維中發(fā)展能力，在知識、規(guī)律的探索和歸納中形成創(chuàng)新意識.

總之，本次說題活動的嘗試給教師專業(yè)化素養(yǎng)發(fā)展帶來了一個全新的視角，筆者認(rèn)為我們應(yīng)該加強(qiáng)高考試題的研究，將有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題通過說題的教學(xué)形式予以展示和交流，這樣既發(fā)揮了優(yōu)秀試題的典型性，也大大提高了教師對有價(jià)值試題的研究能力，使得教學(xué)水平得到進(jìn)一步的提升. 中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師孫維剛教學(xué)觀：“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底！”筆者想說，正是借用這樣的教學(xué)觀念，使得我們教師站在更高、更系統(tǒng)的舞臺來指導(dǎo)教學(xué)，讓我們的教學(xué)之路越走越寬廣.