問題驅(qū)動使定理生成更自然

劉剛　趙毅

[摘 要] 數(shù)學(xué)概念、定理等內(nèi)容是數(shù)學(xué)的重要組成部分，強(qiáng)調(diào)概念、定理的自然生成更是現(xiàn)行新課標(biāo)的重要理念之一. 兩個平面平行的判定定理是立體幾何中的一個重要定理，它揭示了線線平行、線面平行、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 通過定理的探究，滲透“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知方法和抽象概括能力.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動；平面與平面；平行；判定定理

數(shù)學(xué)概念、定理等內(nèi)容是數(shù)學(xué)的重要組成部分，強(qiáng)調(diào)概念、定理的自然生成更是現(xiàn)行新課標(biāo)的重要理念之一. 但是，目前的教學(xué)中“重結(jié)論、輕過程”的現(xiàn)象普遍存在，將數(shù)學(xué)教學(xué)簡單地等同于解題教學(xué)，將學(xué)生推向題海戰(zhàn)中，本末倒置，費(fèi)時費(fèi)力，教學(xué)效果很不好.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“返璞歸真”，努力揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、定理的形成過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法.下面以人教A版數(shù)學(xué)“平面與平面平行的判定”為例，談?wù)劰P者在教學(xué)實(shí)踐中的體會.

[?] 教材分析

本節(jié)課是在空間線線、線面、面面位置關(guān)系以及直線與平面平行的判定基礎(chǔ)上進(jìn)行的，兩個平面平行的判定定理是立體幾何中的一個重要定理，它揭示了線線平行、線面平行、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 通過定理的探究，滲透“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知方法，培養(yǎng)幾何直觀能力和抽象概括能力，為以后學(xué)習(xí)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)打下基礎(chǔ).

[?] 學(xué)情分析

（1）學(xué)生學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系以及直線與平面平行的判定定理，對研究立體幾何問題的方法有了一些初步認(rèn)識，具備了一定的空間想象能力、邏輯推理能力.

（2）學(xué)生參與課堂、自主探索意識明顯增強(qiáng)，對能夠引起認(rèn)知沖突，表現(xiàn)自身價值的學(xué)習(xí)素材很感興趣.

（3）學(xué)生把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識還有所欠缺，在理解直線、平面位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系上還不夠深入.

[?] 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識目標(biāo)：理解平面與平面平行的判定定理，能夠應(yīng)用判定定理解決簡單問題.

（2）能力目標(biāo)：通過平面與平面平行的判定定理的探究和運(yùn)用，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象概括能力，體會轉(zhuǎn)化、類比數(shù)學(xué)思想，滲透研究立體幾何問題的方法.

（3）情感目標(biāo)：通過定理的探究，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生主動探究的習(xí)慣.

[?] 教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）實(shí)例引入，導(dǎo)入新課

師：你知道木工師傅是如何檢驗(yàn)桌面與水平面平行的嗎？

對于這個問題，不急于讓學(xué)生回答，先引起學(xué)生思考.緊接著，教師指出本節(jié)課所研究的課題.

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問題入手，激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

（二）啟發(fā)引導(dǎo)，探究定理

1. 類比

問題1：前面我們研究了直線與平面平行的判定，都有哪些方法？

生1：定義法與判定定理. 用定義法就是判斷直線與平面無公共點(diǎn)；用判定定理就是證明平面外直線與平面內(nèi)直線平行.

師：很好！用定義判定線面平行很麻煩，因此常用判定定理來判定線面平行. 也就是說，將判定線面平行的問題轉(zhuǎn)化為判定線線平行的問題.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)知識，明確研究問題的方法，為下面把面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題做好鋪墊.

2. 遷移

問題2：類比線面平行的判定方法，你有什么方法判定面面平行呢？

生2：用定義判斷，即判定兩個平面是否有公共點(diǎn)，如果沒有公共點(diǎn)，那么就說兩個平面互相平行.

問題3：用定義判定兩個平面平行很麻煩，還有其他的判定方法嗎？

啟發(fā)學(xué)生類比線面平行的判定定理，判斷面面平行的問題能否轉(zhuǎn)化為判斷線面平行呢？同時進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：如果一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行，根據(jù)兩個平面平行的定義可得這兩個平面一定平行，否則這兩個平面就會有公共點(diǎn). 這樣，在一個平面內(nèi)通過公共點(diǎn)的直線就與另一個平面不平行，所以判定兩個平面平行的問題可以轉(zhuǎn)化為判定一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題.

設(shè)計(jì)意圖：線面平行問題可以轉(zhuǎn)化為線線平行問題，因此引導(dǎo)學(xué)生將面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題，體會類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

3. 探究

問題4：我們需要判斷一個平面上的幾條直線與另一個平面平行就可以判定這兩個平面平行呢？

生3：從簡單、特殊情況入手，即先從一條直線開始研究.

問題5：平面β內(nèi)有一條直線與平面α平行，α，β平行嗎？請舉例說明.

引導(dǎo)學(xué)生在研究線面位置關(guān)系時，通常借助特殊的幾何體（如正方體、長方體）模型進(jìn)行研究，體現(xiàn)直觀性.下面借助長方體模型（讓學(xué)生課前每人做一個長方體模型）進(jìn)行研究.

生4：不一定平行. 如圖2所示，平面A′ADD′中直線A′A∥平面DCC′D′，但平面A′ADD′與平面DCC′D'相交.

問題6：平面β內(nèi)有兩條直線平行于平面α，則α∥β嗎？

生5：不一定平行. 如圖3所示，平面A′ADD′內(nèi)有一條與A′A平行的直線EF，顯然A′A與EF都平行于平面DCC′D′，但這兩條平行直線所在的平面A′ADD′與平面DCC′D′相交.

問題7：我們在研究問題時，應(yīng)做到不重不漏，接下來是否研究三條直線呢？

生6：還應(yīng)進(jìn)一步研究一個平面中兩條相交直線的情況.

問題8：平面β內(nèi)有兩條相交直線與平面α平行，情況如何？

生7：可以考慮長方體的兩條面對角線，如圖4所示，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線AC，BD分別與平面A′B′C′D′內(nèi)兩條相交直線A′C′，B′D′平行，由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC，BD都與平面A′B′C′D′平行. 此時，平面ABCD與平面A′B′C′D′平行.

問題9：你能用文字語言對上述探究結(jié)論進(jìn)行概括嗎？

生8：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

問題10：上述結(jié)論正確嗎？你能進(jìn)行解釋嗎？

此問題先由學(xué)生討論，然后回答，教師補(bǔ)充完善.

根據(jù)公理2推論，過兩條相交直線有且只有一個平面，記為β，如圖5所示. 如果平面β與另一個平面α有公共點(diǎn)，則必有一條交線l，而l至少會與直線a，b中的一條相交，這與a，b和平面α平行相矛盾.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生動手操作，通過問題鏈的設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn)，使學(xué)生對問題本質(zhì)的思考逐步深入，體會知識產(chǎn)生的過程，滲透“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括及動手能力.

4. 歸納

（1）引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納面面平行的判定定理.

文字語言：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

符號語言：若a?β，b?β，a∩b=P，且a∥α，b∥α，則α∥β.

圖形語言：

（2）引導(dǎo)學(xué)生小組討論，加深對定理的認(rèn)識：

①五個條件一個也不能少，關(guān)鍵詞是：“內(nèi)”“交”“平行”.

②線線、線面、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系：線線平行?線面平行?面面平行，即用低一級位置關(guān)系判斷高一級位置關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過三種語言認(rèn)識定理，利用討論加深對定理的理解，反思新舊知識間的聯(lián)系.

（三）應(yīng)用定理，加深理解

例1：木工師傅如何檢驗(yàn)桌面與水平面平行.

木工師傅通常拿氣泡水準(zhǔn)器進(jìn)行檢驗(yàn). 工作原理：當(dāng)水準(zhǔn)器中氣泡居中時，水準(zhǔn)器與水平面平行. 木工師傅用水準(zhǔn)器在桌面上交叉放兩次，如果水準(zhǔn)器的氣泡都是居中的，就可以判定桌面和水平面平行. 這里面的依據(jù)就是面面平行的判定定理. 教師事先準(zhǔn)備一臺，讓學(xué)生動手操作、體驗(yàn).

設(shè)計(jì)意圖：理論聯(lián)系實(shí)際，體會定理在實(shí)際生活中的作用.

例2：判斷下列命題是否正確，正確的說明理由，錯誤的舉例說明.

（1）已知平面α，β和直線m，n，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β.

（2）若α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行，則α∥β.

（3）一個平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面β，則α∥β.

（4）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行.

學(xué)生思考后回答，結(jié)合長方體模型進(jìn)行反例說明.

設(shè)計(jì)意圖：通過一些命題的判斷，進(jìn)一步強(qiáng)化定理的應(yīng)用條件，特別是對定理中相交直線的重視.

這兩個變式由學(xué)生獨(dú)立完成，教師投影展示，及時給予點(diǎn)評.

設(shè)計(jì)意圖：例3及兩個變式都是依托正方體展開的，由于正方體也是學(xué)生所熟悉的幾何體，具有豐富的性質(zhì)，再加上本節(jié)課是研究面面平行的第一節(jié)課，不適宜在復(fù)雜的幾何體中展開. 變式2是一道探索性問題，引導(dǎo)學(xué)生把面面平行的問題最終轉(zhuǎn)化為線線平行的問題，在空間找線線平行的常用方法有：利用三角形的中位線；利用平行四邊形的性質(zhì)及公理4. 邊找邊證既培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力，又培養(yǎng)了大膽猜想、小心求證的科學(xué)研究方法.

（四）歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

師：今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識？用到了哪些思想方法？

教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行概括.

（1）知識方面：①兩個平面平行的判定定理；②判定兩個平面平行的方法——定義，判定定理；③線線、線面、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系：線線平行?線面平行?面面平行.

（2）方法方面：類比、轉(zhuǎn)化思想.

設(shè)計(jì)意圖：對學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個全面、深刻的認(rèn)識，對學(xué)生知識體系的形成有很好的指導(dǎo)作用，培養(yǎng)歸納、概括能力.

（五）布置作業(yè)，鞏固知識

（1）教材P62—7，8；

（2）探索直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，加深對知識的理解，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考的空間.

[?] 教學(xué)體會與反思

本節(jié)課研究了平面與平面平行的判定，并進(jìn)行了簡單的應(yīng)用.在教學(xué)中通過實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生探究的興趣. 本課所創(chuàng)設(shè)的實(shí)際問題情境學(xué)生不一定熟悉，通過教學(xué)幫助學(xué)生了解生活，積累經(jīng)驗(yàn). 讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是為了考試，還要學(xué)會應(yīng)用，每節(jié)課教師都應(yīng)適當(dāng)選擇一些與本課有關(guān)的實(shí)際問題供學(xué)生思考、探究，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活”的應(yīng)用意識.

本節(jié)課注重定理的產(chǎn)生過程，按照“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)識過程展開. 由于長方體是立體幾何中的基本幾何體，其結(jié)構(gòu)對稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等關(guān)系，內(nèi)涵豐富，它的性質(zhì)已為學(xué)生所熟知，是研究線線、線面、面面位置關(guān)系以及特殊幾何體的一個重要載體，是展開空間想象的重要依托，因此在定理生成過程中借助長方體模型直觀感知、分析，給學(xué)生提供動手操作的機(jī)會. 同時教師精心設(shè)計(jì)問題，通過問題引導(dǎo)，層層遞進(jìn)，使學(xué)生產(chǎn)生一種心理上的期待感，形成探究問題的強(qiáng)烈意識，引發(fā)積極的思維活動，直至揭開廬山真面目，使定理的生成水到渠成. 在學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等合情推理活動后再進(jìn)行思辨論證.按照教參要求，對定理不要求證明，但這并不等于不作說明，若對定理為真所必要的說明也沒有了，則無從談起培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理、邏輯論證能力，更不符合人們“大膽猜想、小心求證”的科學(xué)研究的基本要求.

總之，在立體幾何教學(xué)中，要借助實(shí)物模型，精心設(shè)計(jì)問題，細(xì)化教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生親身、主動地經(jīng)歷定理的形成過程，努力培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.