Matlab在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張紅寧

（北京工業(yè)大學(xué)耿丹學(xué)院，北京　101301）

Matlab在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張紅寧

（北京工業(yè)大學(xué)耿丹學(xué)院，北京101301）

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)非常重要的基礎(chǔ)課，課程中涉及大量的計(jì)算，學(xué)生常?；ù罅繒r(shí)間在不必要的機(jī)械性的計(jì)算上，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入Matlab可以方便實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的極限、求導(dǎo)、積分、以及微分方程等計(jì)算問(wèn)題.Matlab強(qiáng)大的繪圖功能還可以幫助學(xué)生從直觀上理解高等數(shù)學(xué)中抽象的概念，將邏輯思維與形象思維有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，從而有效提升課堂教學(xué)效果.

Matlab；高等數(shù)學(xué)；符號(hào)計(jì)算；圖形處理

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)研究和工程技術(shù)應(yīng)用的重要工具，在理工科院校中，高等數(shù)學(xué)是一門(mén)非常重要的基礎(chǔ)課，是學(xué)生學(xué)好其他基礎(chǔ)課和專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).然而，高等數(shù)學(xué)中涉及大量的計(jì)算，學(xué)生在掌握理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，要演算某個(gè)例題或者推算定義定理的時(shí)間較長(zhǎng).如果學(xué)生大部分時(shí)間都花在不必要的機(jī)械性的計(jì)算上，就會(huì)忽略對(duì)定義和定理的理解.Matlab中包括大量的函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)可以方便實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的極限、求導(dǎo)、積分、以及微分方程等計(jì)算問(wèn)題.Matlab指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，學(xué)生稍加理解就能上手.在教學(xué)中引入Matlab提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.本文以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)》為例，主要介紹符號(hào)計(jì)算和圖形處理功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

1　符號(hào)計(jì)算在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.1求極限

高等數(shù)學(xué)教學(xué)通常會(huì)介紹等價(jià)無(wú)窮小求極限、洛必達(dá)法則求極限、兩個(gè)重要極限等方法求極限.對(duì)理工科學(xué)生以及部分經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)生在極限的應(yīng)用中更關(guān)心的是所求極限的結(jié)果.這時(shí)學(xué)習(xí)一個(gè)Matlab命令要比學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)方法要快得多.

1.2求積分

高等數(shù)學(xué)求積分的內(nèi)容涉及不定積分，定積分，重積分，以及積分的應(yīng)用，但是在講不定積分、定積分內(nèi)容授課學(xué)時(shí)中2/3之二的時(shí)間都在介紹計(jì)算方法，包括湊微分、換元、分部積分、有理函數(shù)積分、反常積分.而Matlab的求積分命令只有一個(gè)卻可以解決各類積分方法的積分求解問(wèn)題.

1.3求解微分方程

高等數(shù)學(xué)微分方程這一章主要介紹微分方程求解方法，如齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程.對(duì)于具體的微分方程問(wèn)題，學(xué)生往往不知道采用哪種方法去求解.Matlab微分方程求解也只有一個(gè)命令.

如求微分方程y"=+y=xcos2x.此方程為常系數(shù)非齊次線性微分方程，求解方法為先求得其所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，再求其一個(gè)特解.計(jì)算量較大，而一個(gè).Matlab命令就可以解這個(gè)微分方程，并且所有的微分方程求解都用這個(gè)命令.此題Matlab命令為：

2　繪圖功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

Matlab強(qiáng)大的繪圖功能可以幫助學(xué)生從直觀上理解高等數(shù)學(xué)中抽象的概念，將邏輯思維與形象思維有機(jī)的結(jié)合起來(lái).

2.1圖示法觀察泰勒級(jí)數(shù)和原函數(shù)的逼近

在教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)生對(duì)泰勒公式的含義理解不清楚，如果引入Matlab中的：taylortool通過(guò)圖形從直觀上幫助學(xué)生加深對(duì)泰勒公式的理解，加深對(duì)泰勒級(jí)數(shù)逼近函數(shù)這一思想方法的理解.

如求y=cosx的麥克勞林展式.在命令窗口輸入taylortool回車，打開(kāi)taylor tool窗口，函數(shù)f（x）輸入cos（x），a輸入0，x的變化范圍輸入-2*pi，2*pi.分別給出N=3，N=7，N=20函數(shù)的逼近圖形.讓學(xué)生理解，離x=0處越近函數(shù)的逼近效果越好，N越大，函數(shù)逼近效果越好.

2.2圖示法理解振蕩間斷點(diǎn)和無(wú)窮小量與有界量乘積仍是無(wú)窮小量

輸入：ezplot（'sin（1/x）'，［-pi，pi］）輸出為圖1

輸入：syms x

limit（sin（1/x），x，0）

輸出：ans=-1..1

圖1

輸入：ezplot（x*sin（1/x），［-pi，pi］）

圖2

再求函數(shù)在x趨于0時(shí)的極限：

輸入：syms x

limit（x*sin（1/x），x，0）

輸出：ans=0

2.3圖示法理解函數(shù)用冪級(jí)數(shù)逼近和用傅立葉級(jí)數(shù)逼近的區(qū)別

學(xué)生常常不明白函數(shù)用冪級(jí)數(shù)逼近和用傅立葉級(jí)數(shù)逼近有什么區(qū)別，若單純從理論上來(lái)分析解釋，學(xué)生是難以接受和理解，利用matlab軟件作圖，可以幫助學(xué)生區(qū)分二者不同，化解難點(diǎn).

我們可以利用前文中的y=codx的麥克勞林展式為例，幫助學(xué)生理解，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)逼近只在某一點(diǎn)附近的逼近效果較好.對(duì)于函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)逼近，我們可以采用下面的例子：

g（x）是以2π為周期的周期函數(shù)，它在［-π，π］表達(dá)式為

將g（x）展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，并用matlab作圖，分別比較g（x）的傅立葉級(jí)數(shù)的前3、5、7、9項(xiàng)與g（x）的接近情況.程序和圖如下：

圖3的四幅圖中紅色線為g（x）的圖形，是一方波，藍(lán)色線為展開(kāi)的g（x）的傅立葉級(jí)數(shù)的不同項(xiàng)數(shù)的函數(shù)曲線，從圖中可以看出，n越大，整體逼近效果越好.通過(guò)matlab作圖幫助學(xué)生理解了和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)逼近只在某一點(diǎn)附近的逼近效果不同，函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)逼近是整體的逼近.

圖3

3　結(jié)束語(yǔ)

MATLAB為多層次教學(xué)、演示教學(xué)、實(shí)踐教學(xué)等現(xiàn)代化教學(xué)提供了一個(gè)良好的平臺(tái)，通過(guò)MATLAB強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能和圖像處理功能，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，起到了事半功倍的效果，真正體現(xiàn)了虛擬課堂的作用，為進(jìn)一步提高教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量，推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了新的思路.

〔1〕吳磊.Matlab在《高等數(shù)學(xué)》中的應(yīng)用［J］.陰山學(xué)刊，2014，12.

〔2〕黃煒.MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的典型問(wèn)題應(yīng)用探索［J］.江西科學(xué)，2010，2.

〔3〕張國(guó)輝.Matlab在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探析［J］.當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2009，6.

〔4〕張棟恩，馬玉蘭，徐美萍，李雙.Matlab高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006.

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2016-06-19