不同坐標(biāo)系下傅立葉變換性質(zhì)

李盤潤(rùn) 劉 瑤

（四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 廣元 628000）

傅立葉變換作為一種線性積分變換，在物理學(xué)及工程技術(shù)有許多應(yīng)用，通常將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號(hào)，分析信號(hào)的頻域成分。對(duì)于簡(jiǎn)單的時(shí)間信號(hào)。通常僅考慮一個(gè)維度的信號(hào)變化，即一維傅立葉變換。近年來，圖像處理技術(shù)越來越多采用傅立葉變換技術(shù)，而空間上圖像不再是簡(jiǎn)單的一維信號(hào)，可以由一維推廣獲得二維傅立葉變換。對(duì)于更高維信號(hào)，同樣存在高維傅立葉變換。

本文主要針對(duì)二維傅立葉變換進(jìn)行研究。在笛卡爾坐標(biāo)系下，在空間上對(duì)信號(hào)做采樣處理，將連續(xù)傅立葉變換(CFT)轉(zhuǎn)換為離散傅立葉變換(DFT)，進(jìn)而容易在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。而對(duì)于某些中心對(duì)稱函數(shù)，更容易在極坐標(biāo)上描述，則需要定義在極坐標(biāo)上傅立葉變換，如傅立葉光學(xué)。此時(shí)采樣信息為極坐標(biāo)采樣，因此不能夠采用離散傅立葉的快速算法。而極坐標(biāo)上采樣可以認(rèn)為是一種非均勻采樣方法，進(jìn)而可采用NEFT 實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)采樣條件下的離散傅立葉變換計(jì)算。但對(duì)于一些特殊的極坐標(biāo)函數(shù)，容易獲得相應(yīng)連續(xù)傅立葉變換的解析解。

本文將針對(duì)不同坐標(biāo)定義下的連續(xù)傅立葉變換進(jìn)行研究，并給出關(guān)于連續(xù)變換與離散變換及非均勻變換之間的關(guān)系。進(jìn)一步針對(duì)某些理想?yún)^(qū)域上的特殊函數(shù)，利用傅立葉變換積分定義，容易計(jì)算相應(yīng)傅立葉變換的原函數(shù)。對(duì)于特殊的高斯函數(shù)，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的傅立葉變換對(duì)。

1 積分變換定義

本節(jié)給出不同坐標(biāo)系條件下，二維傅立葉變換的定義，同時(shí)，給出一維Hankel 變換，在后面的內(nèi)容中，二維極坐標(biāo)上的傅立葉變換可轉(zhuǎn)為一維Hankel 變換。

1.1 笛卡爾坐標(biāo)系傅立葉變換

笛卡爾坐標(biāo)下，函數(shù)f（x，y）在[-∞，+∞]有定義，且滿足傅立葉積分定理?xiàng)l件，則函數(shù)：

稱為f（λ，ω）的傅立葉逆變換。

f（λ，ω）稱為f（x，y）在傅立葉變換下的象函數(shù)，反之，稱為原函數(shù)。象函數(shù)與原函數(shù)構(gòu)成一組傅立葉變換對(duì)。

1.2 極坐標(biāo)系傅立葉變換

對(duì)于某些二維函數(shù)，具有中心對(duì)稱的性質(zhì)，相比與笛卡爾坐標(biāo)系，該函數(shù)更容易在極坐標(biāo)系上描述。在極坐標(biāo)下，設(shè)空間域函數(shù)，其對(duì)應(yīng)域上的傅立葉象函數(shù)為F（ρ，φ）。則傅立葉變換的形式如下：

極坐標(biāo)系的傅立葉變換定義與式(1)與式(2)等價(jià)，象函數(shù)與原函數(shù)構(gòu)成一組傅立葉變換對(duì)。關(guān)于兩種定義的等價(jià)關(guān)系，可通過積分的變量替換方法實(shí)現(xiàn)證明，此處不做詳細(xì)說明

1.3 Hankel 變換

Hankel 變換為另一類積分變換，n 階Hankel 變換定義為如下積分：

極坐標(biāo)上的二維傅立葉變換，可通過一維上的Hankel 變換描述，從而容易計(jì)算極坐標(biāo)上的傅立葉變換對(duì)。

2 離散傅立葉變換

在笛卡爾坐標(biāo)系上，式(1)通常為連續(xù)傅立葉變換。為使該積分變換的計(jì)算能在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，需將式(1)連續(xù)傅立葉變換轉(zhuǎn)為離散傅立葉變換。若f（x，y）在x=nT，y=mT（n，m=0，±0，±1，±2，…）是連續(xù)的，稱f（nT，mT）為采樣間隔為T 的采樣波形。其對(duì)應(yīng)的離散傅立葉變換為：

根據(jù)采樣定理，頻域上采樣間隔δf=1/NT,關(guān)于上式存在快速計(jì)算方法(FFT)，需要注意離散傅立葉變換空間采樣及頻域采樣存在極強(qiáng)的耦合關(guān)系。

在研究過程中，任意函數(shù)關(guān)于(1)的連續(xù)傅立葉變換不存在耦合關(guān)系，但其直接積分計(jì)算，需記住黎曼積分計(jì)算頻域上特定位置的象函數(shù)：

比較(7)與(8)，即連續(xù)傅立葉變換與離散傅立葉變換的頻域振幅存在T2的倍數(shù)關(guān)系，從而可根據(jù)快速傅立葉方法（FFT）獲得特定頻域位置上的傅立葉象函數(shù)。類似簡(jiǎn)單推導(dǎo)可應(yīng)用在逆變換上。

3 基于采樣的非均勻傅立葉變換

式(7)為離散傅立葉變換，它的快速算法FFT 的計(jì)算復(fù)雜度為O（nlogn）。但是存在諸多限制，比如頻域點(diǎn)與空間點(diǎn)存在極強(qiáng)的耦合關(guān)系δf=1/T，且必須在采樣空間必須均勻采樣。這些限制導(dǎo)致在應(yīng)用中，如果使用FFT 算法，無法通過在頻率域加密采樣來提高空間域變換結(jié)果的精度。連續(xù)傅立葉變換，可以避免頻域點(diǎn)與空間點(diǎn)的耦合關(guān)系及采樣條件限制，但是需進(jìn)行復(fù)雜且耗時(shí)的積分運(yùn)算。存在基于采樣的非均勻傅立葉變換。

其中x 為空間上任意位置，從而避免的限制，其計(jì)算復(fù)雜度為O（n2）。對(duì)于頻域均勻采樣而空間域非均勻c 采樣的非均勻傅立葉變換，同樣存在快速計(jì)算方法[3]。

非均勻傅立葉變換的快速實(shí)現(xiàn)。其本質(zhì)為連續(xù)傅立葉變化的離散化。對(duì)于離散采樣精度直接影響空間域變換結(jié)果的精度，直接的辦法可通過在頻率域加密采樣，提高計(jì)算精度。對(duì)于某些函數(shù)F（p），若采樣結(jié)果F（pi）=0。則加密采樣的同時(shí)。會(huì)增加計(jì)算的時(shí)間，但對(duì)于精度的提升有限。另一種方法是提高頻域采樣精度，取采樣結(jié)果為F（pi）采樣對(duì)應(yīng)區(qū)域與F（p）有效區(qū)域相交面積。該方法等價(jià)于在頻率域加密采樣，但僅選擇特殊位置的采樣結(jié)果去計(jì)算式(9),且該位置的采樣結(jié)果為周圍采樣結(jié)果的均值。

基于采樣離散傅立葉變換可獲得特定位置(原)象函數(shù)值，而非均勻傅立葉變換容易獲得任意位置的（原）象函數(shù)值。另一方面，極坐標(biāo)上的采樣可認(rèn)為是笛卡爾坐標(biāo)上的非均勻采樣，從而極坐標(biāo)上傅立葉變換容易通過非均勻傅立葉變換快速計(jì)算。

4 傅立葉變換與Hanker 變換的關(guān)系

本節(jié)中，著重說明極坐標(biāo)條件下，連續(xù)傅立葉變換可表述為一維Hanker 變換的無窮級(jí)數(shù)。

4.1 徑向?qū)ΨQ函數(shù)

極坐標(biāo)上某些徑向?qū)ΨQ函數(shù)(高斯函數(shù)等)，僅需ρ 徑向描述該二維函數(shù)，考慮極坐標(biāo)系下的傅立葉變換定義(3);

對(duì)于徑向?qū)ΨQ函數(shù)，二維空間上的傅立葉變換，可通過一維的Hankel 變換計(jì)算。

4.2 徑向非對(duì)稱函數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，笛卡爾坐標(biāo)系的傅立葉變換核存在如下級(jí)數(shù)展開式：

即傅立葉變換對(duì)中，空間函數(shù)的級(jí)數(shù)展開系數(shù)fn（r）與對(duì)應(yīng)頻域函數(shù)的級(jí)數(shù)展開系數(shù)Fn（ρ）存在倍數(shù)關(guān)系。

5 理想函數(shù)的傅立葉變換

5.1 多邊形區(qū)域

若采樣窗口大小為ω 和h，且對(duì)應(yīng)頻域采樣點(diǎn)fn和gm分別為

則對(duì)于簡(jiǎn)單多邊形區(qū)域，順時(shí)針定義多邊形區(qū)域Ω 的頂點(diǎn)(xi，yi),根據(jù)(1)，對(duì)應(yīng)的傅立葉變換：

5.2 圓形區(qū)域

針對(duì)理想函數(shù)，上節(jié)對(duì)于簡(jiǎn)單多邊形區(qū)域，給出了笛卡爾坐標(biāo)系下的傅立葉變換的計(jì)算過程。對(duì)于更一般的圓形區(qū)域，其傅立葉變換更容易在極坐標(biāo)下的傅立葉變換實(shí)現(xiàn)積分計(jì)算。

6 結(jié)論

本文分別針對(duì)兩種坐標(biāo)系，分別考慮相應(yīng)的連續(xù)傅立葉變換定義。在笛卡爾坐標(biāo)系條件下，介紹了基于采樣的離散傅立葉變換及非均勻傅立葉變換，通過數(shù)學(xué)描述與連續(xù)變換之間的關(guān)系。在極坐標(biāo)系條件下，二維傅立葉變換容易通過一維上的Hankel 變換快速計(jì)算。并分別針對(duì)多邊形區(qū)域、圓形區(qū)域的理想函數(shù)，根據(jù)傅立葉變換定義，計(jì)算相應(yīng)的(原)象函數(shù)。最后，根據(jù)Bessel 函數(shù)性質(zhì)，二維高斯函數(shù)容易在極坐標(biāo)系上描述，根據(jù)相應(yīng)傅立葉變換定義，容易獲得空間及頻域上的傅立葉變換對(duì)。

致謝:感謝審稿人提出的寶貴修改意見。