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    不同坐標(biāo)系下傅立葉變換性質(zhì)

    2021-11-27 09:35:12李盤潤(rùn)
    科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2021年31期
    關(guān)鍵詞:傅立葉極坐標(biāo)笛卡爾

    李盤潤(rùn) 劉 瑤

    (四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川 廣元 628000)

    傅立葉變換作為一種線性積分變換,在物理學(xué)及工程技術(shù)有許多應(yīng)用,通常將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號(hào),分析信號(hào)的頻域成分。對(duì)于簡(jiǎn)單的時(shí)間信號(hào)。通常僅考慮一個(gè)維度的信號(hào)變化,即一維傅立葉變換。近年來,圖像處理技術(shù)越來越多采用傅立葉變換技術(shù),而空間上圖像不再是簡(jiǎn)單的一維信號(hào),可以由一維推廣獲得二維傅立葉變換。對(duì)于更高維信號(hào),同樣存在高維傅立葉變換。

    本文主要針對(duì)二維傅立葉變換進(jìn)行研究。在笛卡爾坐標(biāo)系下,在空間上對(duì)信號(hào)做采樣處理,將連續(xù)傅立葉變換(CFT)轉(zhuǎn)換為離散傅立葉變換(DFT),進(jìn)而容易在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。而對(duì)于某些中心對(duì)稱函數(shù),更容易在極坐標(biāo)上描述,則需要定義在極坐標(biāo)上傅立葉變換,如傅立葉光學(xué)。此時(shí)采樣信息為極坐標(biāo)采樣,因此不能夠采用離散傅立葉的快速算法。而極坐標(biāo)上采樣可以認(rèn)為是一種非均勻采樣方法,進(jìn)而可采用NEFT 實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)采樣條件下的離散傅立葉變換計(jì)算。但對(duì)于一些特殊的極坐標(biāo)函數(shù),容易獲得相應(yīng)連續(xù)傅立葉變換的解析解。

    本文將針對(duì)不同坐標(biāo)定義下的連續(xù)傅立葉變換進(jìn)行研究,并給出關(guān)于連續(xù)變換與離散變換及非均勻變換之間的關(guān)系。進(jìn)一步針對(duì)某些理想?yún)^(qū)域上的特殊函數(shù),利用傅立葉變換積分定義,容易計(jì)算相應(yīng)傅立葉變換的原函數(shù)。對(duì)于特殊的高斯函數(shù),計(jì)算其對(duì)應(yīng)的傅立葉變換對(duì)。

    1 積分變換定義

    本節(jié)給出不同坐標(biāo)系條件下,二維傅立葉變換的定義,同時(shí),給出一維Hankel 變換,在后面的內(nèi)容中,二維極坐標(biāo)上的傅立葉變換可轉(zhuǎn)為一維Hankel 變換。

    1.1 笛卡爾坐標(biāo)系傅立葉變換

    笛卡爾坐標(biāo)下,函數(shù)f(x,y)在[-∞,+∞]有定義,且滿足傅立葉積分定理?xiàng)l件,則函數(shù):

    稱為f(λ,ω)的傅立葉逆變換。

    f(λ,ω)稱為f(x,y)在傅立葉變換下的象函數(shù),反之,稱為原函數(shù)。象函數(shù)與原函數(shù)構(gòu)成一組傅立葉變換對(duì)。

    1.2 極坐標(biāo)系傅立葉變換

    對(duì)于某些二維函數(shù),具有中心對(duì)稱的性質(zhì),相比與笛卡爾坐標(biāo)系,該函數(shù)更容易在極坐標(biāo)系上描述。在極坐標(biāo)下,設(shè)空間域函數(shù),其對(duì)應(yīng)域上的傅立葉象函數(shù)為F(ρ,φ)。則傅立葉變換的形式如下:

    極坐標(biāo)系的傅立葉變換定義與式(1)與式(2)等價(jià),象函數(shù)與原函數(shù)構(gòu)成一組傅立葉變換對(duì)。關(guān)于兩種定義的等價(jià)關(guān)系,可通過積分的變量替換方法實(shí)現(xiàn)證明,此處不做詳細(xì)說明

    1.3 Hankel 變換

    Hankel 變換為另一類積分變換,n 階Hankel 變換定義為如下積分:

    極坐標(biāo)上的二維傅立葉變換,可通過一維上的Hankel 變換描述,從而容易計(jì)算極坐標(biāo)上的傅立葉變換對(duì)。

    2 離散傅立葉變換

    在笛卡爾坐標(biāo)系上,式(1)通常為連續(xù)傅立葉變換。為使該積分變換的計(jì)算能在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行,需將式(1)連續(xù)傅立葉變換轉(zhuǎn)為離散傅立葉變換。若f(x,y)在x=nT,y=mT(n,m=0,±0,±1,±2,…)是連續(xù)的,稱f(nT,mT)為采樣間隔為T 的采樣波形。其對(duì)應(yīng)的離散傅立葉變換為:

    根據(jù)采樣定理,頻域上采樣間隔δf=1/NT,關(guān)于上式存在快速計(jì)算方法(FFT),需要注意離散傅立葉變換空間采樣及頻域采樣存在極強(qiáng)的耦合關(guān)系。

    在研究過程中,任意函數(shù)關(guān)于(1)的連續(xù)傅立葉變換不存在耦合關(guān)系,但其直接積分計(jì)算,需記住黎曼積分計(jì)算頻域上特定位置的象函數(shù):

    比較(7)與(8),即連續(xù)傅立葉變換與離散傅立葉變換的頻域振幅存在T2的倍數(shù)關(guān)系,從而可根據(jù)快速傅立葉方法(FFT)獲得特定頻域位置上的傅立葉象函數(shù)。類似簡(jiǎn)單推導(dǎo)可應(yīng)用在逆變換上。

    3 基于采樣的非均勻傅立葉變換

    式(7)為離散傅立葉變換,它的快速算法FFT 的計(jì)算復(fù)雜度為O(nlogn)。但是存在諸多限制,比如頻域點(diǎn)與空間點(diǎn)存在極強(qiáng)的耦合關(guān)系δf=1/T,且必須在采樣空間必須均勻采樣。這些限制導(dǎo)致在應(yīng)用中,如果使用FFT 算法,無法通過在頻率域加密采樣來提高空間域變換結(jié)果的精度。連續(xù)傅立葉變換,可以避免頻域點(diǎn)與空間點(diǎn)的耦合關(guān)系及采樣條件限制,但是需進(jìn)行復(fù)雜且耗時(shí)的積分運(yùn)算。存在基于采樣的非均勻傅立葉變換。

    其中x 為空間上任意位置,從而避免的限制,其計(jì)算復(fù)雜度為O(n2)。對(duì)于頻域均勻采樣而空間域非均勻c 采樣的非均勻傅立葉變換,同樣存在快速計(jì)算方法[3]。

    非均勻傅立葉變換的快速實(shí)現(xiàn)。其本質(zhì)為連續(xù)傅立葉變化的離散化。對(duì)于離散采樣精度直接影響空間域變換結(jié)果的精度,直接的辦法可通過在頻率域加密采樣,提高計(jì)算精度。對(duì)于某些函數(shù)F(p),若采樣結(jié)果F(pi)=0。則加密采樣的同時(shí)。會(huì)增加計(jì)算的時(shí)間,但對(duì)于精度的提升有限。另一種方法是提高頻域采樣精度,取采樣結(jié)果為F(pi)采樣對(duì)應(yīng)區(qū)域與F(p)有效區(qū)域相交面積。該方法等價(jià)于在頻率域加密采樣,但僅選擇特殊位置的采樣結(jié)果去計(jì)算式(9),且該位置的采樣結(jié)果為周圍采樣結(jié)果的均值。

    基于采樣離散傅立葉變換可獲得特定位置(原)象函數(shù)值,而非均勻傅立葉變換容易獲得任意位置的(原)象函數(shù)值。另一方面,極坐標(biāo)上的采樣可認(rèn)為是笛卡爾坐標(biāo)上的非均勻采樣,從而極坐標(biāo)上傅立葉變換容易通過非均勻傅立葉變換快速計(jì)算。

    4 傅立葉變換與Hanker 變換的關(guān)系

    本節(jié)中,著重說明極坐標(biāo)條件下,連續(xù)傅立葉變換可表述為一維Hanker 變換的無窮級(jí)數(shù)。

    4.1 徑向?qū)ΨQ函數(shù)

    極坐標(biāo)上某些徑向?qū)ΨQ函數(shù)(高斯函數(shù)等),僅需ρ 徑向描述該二維函數(shù),考慮極坐標(biāo)系下的傅立葉變換定義(3);

    對(duì)于徑向?qū)ΨQ函數(shù),二維空間上的傅立葉變換,可通過一維的Hankel 變換計(jì)算。

    4.2 徑向非對(duì)稱函數(shù)

    根據(jù)文獻(xiàn)[6],笛卡爾坐標(biāo)系的傅立葉變換核存在如下級(jí)數(shù)展開式:

    即傅立葉變換對(duì)中,空間函數(shù)的級(jí)數(shù)展開系數(shù)fn(r)與對(duì)應(yīng)頻域函數(shù)的級(jí)數(shù)展開系數(shù)Fn(ρ)存在倍數(shù)關(guān)系。

    5 理想函數(shù)的傅立葉變換

    5.1 多邊形區(qū)域

    若采樣窗口大小為ω 和h,且對(duì)應(yīng)頻域采樣點(diǎn)fn和gm分別為

    則對(duì)于簡(jiǎn)單多邊形區(qū)域,順時(shí)針定義多邊形區(qū)域Ω 的頂點(diǎn)(xi,yi),根據(jù)(1),對(duì)應(yīng)的傅立葉變換:

    5.2 圓形區(qū)域

    針對(duì)理想函數(shù),上節(jié)對(duì)于簡(jiǎn)單多邊形區(qū)域,給出了笛卡爾坐標(biāo)系下的傅立葉變換的計(jì)算過程。對(duì)于更一般的圓形區(qū)域,其傅立葉變換更容易在極坐標(biāo)下的傅立葉變換實(shí)現(xiàn)積分計(jì)算。

    6 結(jié)論

    本文分別針對(duì)兩種坐標(biāo)系,分別考慮相應(yīng)的連續(xù)傅立葉變換定義。在笛卡爾坐標(biāo)系條件下,介紹了基于采樣的離散傅立葉變換及非均勻傅立葉變換,通過數(shù)學(xué)描述與連續(xù)變換之間的關(guān)系。在極坐標(biāo)系條件下,二維傅立葉變換容易通過一維上的Hankel 變換快速計(jì)算。并分別針對(duì)多邊形區(qū)域、圓形區(qū)域的理想函數(shù),根據(jù)傅立葉變換定義,計(jì)算相應(yīng)的(原)象函數(shù)。最后,根據(jù)Bessel 函數(shù)性質(zhì),二維高斯函數(shù)容易在極坐標(biāo)系上描述,根據(jù)相應(yīng)傅立葉變換定義,容易獲得空間及頻域上的傅立葉變換對(duì)。

    致謝:感謝審稿人提出的寶貴修改意見。

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