關(guān)于線性子空間基的一種求解方法

張立卓

(對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 北京100029)

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關(guān)于線性子空間基的一種求解方法

張立卓

(對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 北京100029)

討論了線性子空間基的一種求解方法.

線性子空間； 基； 維數(shù)

眾所周知，關(guān)于線性子空間基的求解方法要視具體情況而定，本文擬通過下述兩例探討求解線性子空間基的一種方法.

定義1設(shè)W是數(shù)域K上線性空間V的非空子集，如果對(duì)任意α,β∈W,k∈K，有

α+β∈W，且kα∈W，

則稱W是V的一個(gè)線性子空間.

定義2設(shè)W是數(shù)域K上線性空間V的一個(gè)子空間，W中的向量組α1,α2,…,αr如果滿足：

(i) α1,α2,…,αr線性無關(guān)；

(ii)W中每一向量都可由α1,α2,…,αr線性表示，則稱α1,α2,…,αr是W的一個(gè)基.

定義3設(shè)W是數(shù)域K上線性空間V的一個(gè)子空間，W的一個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù)稱為W的維數(shù)，記作dimW.

定理1n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

定理2數(shù)域K上n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A的特征多項(xiàng)式的全部復(fù)根都屬于K，并且A的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)(特征子空間的維數(shù))等于其代數(shù)重?cái)?shù)(特征值在特征多項(xiàng)式的根的重?cái)?shù))[1].

定理3如果B是主對(duì)角元兩兩不等的對(duì)角矩陣，那么與B可交換的矩陣一定是對(duì)角矩陣[2].

證設(shè)B=diag{b1,b2,…,bn}，其中b1,b2,…,bn兩兩不等，如果n階矩陣A=(aij)與B可交換，即AB=BA，以AB(i;j)表示AB的第i行、第j列的元素，于是

AB(i;j)=BA(i;j)(i,j=1,2,…,n)，

即aijbj=biaij，也即aij(bj-bi)=0，又bj≠bi(i≠j)，因此aij=0(i,j=1,2,…,n,i≠j)，從而A=(aij)為對(duì)角矩陣.

定理4設(shè)V是數(shù)域K上一個(gè)線性空間，如果dimV=n，則V中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都是V的一個(gè)基.

例1設(shè)Mn(R)是實(shí)數(shù)域R上全體n階矩陣按照通常的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成的實(shí)數(shù)域R上的線性空間

(i) 設(shè)A=(aij)∈Mn(R)，如果AF=FA，證明A=an1Fn-1+a(n-1)1Fn-2+…+a11E；

證(i) 設(shè)A的列向量組為α1,α2,…,αn，記A=(α1,α2,…,αn)，令

B=an1Fn-1+a(n-1)1Fn-2+…+a21F+a11E，

(1)

設(shè)B的列向量組為γ1,γ2,…,γn，記B=(γ1,γ2,…,γn)，下面要證B=A，只需證

γj=αj,j=1,2,…,n.

設(shè)ε1,ε2,…,εn為單位列向量組，注意到

Fε1=ε2,F2ε1=Fε2=ε3，…，F(xiàn)n-1ε1=Fn-2ε2=…=Fεn-1=εn，

(2)

由(1)式和(2)式，有

即γ1=α1，由上述證明知，Bε1=γ1=α1=Aε1，又由AF=FA可知

AF2=(AF)F=(FA)F=F(AF)=F(FA)=F2A，

類似地，A與Fn-1,Fn-2,…,F3均可交換，顯然B與Fn-1,Fn-2,…,F,E均可交換，又由(2)式，有

γ2=Bε2=B(Fε1)=(FB)ε1=F(Bε1)=F(Aε1)=(FA)ε1=A(Fε1)=Aε2=α2，

γ3=Bε3=B(F2ε1)=(F2B)ε1=F2(Bε1)=F2(Aε1)=(F2A)ε1=A(F2ε1)=Aε3=α3，

…………………………………………………………

γn=Bεn=B(Fn-1ε1)=(Fn-1B)ε1=Fn-1(Bε1)=Fn-1(Aε1)=(Fn-1A)ε1=A(Fn-1ε1)

=Aεn=αn，

即A=(α1,α2,…,αn)=(γ1,γ2,…,γn)=B，從而由(1)式，有

A=an1Fn-1+a(n-1)1Fn-2+…+a21F+a11E.

(ii) 顯然W?Mn(R)，且n階單位矩陣E∈W，即W不是空集.任取X,Y∈W,?k∈R，則XF=FX,YF=FY，于是

(X+Y)F=XF+YF=FX+FY=F(X+Y)，

即

X+Y∈W，

(kX)F=k(XF)=k(FX)=F(kX)，

即kX∈W，依定義1，W是Mn(R)的一個(gè)線性子空間.

顯然Fn-1,Fn-2,…,E都在W中，由(i)可知，W中每一矩陣都可由Fn-1,Fn-2,…,E線性表示，下面要證Fn-1,Fn-2,…,E就是W的一個(gè)基，為此只需證Fn-1,Fn-2,…,E線性無關(guān).

設(shè)k0E+k1F+…+kn-2Fn-2+kn-1Fn-1=O，等式兩端右乘ε1，

k0ε1+k1Fε1+…+kn-2Fn-2ε1+kn-1Fn-1ε1=0，

由(2)式，即

k0ε1+k1ε2+…+kn-2εn-1+kn-1εn=0，

因ε1,ε2,…,εn-1,εn線性無關(guān)，所以

k0=k1=…=kn-2=kn-1=0，

即Fn-1,Fn-2,…,F,E線性無關(guān)，依定義2和定義3，F(xiàn)n-1,Fn-2,…,F,E是子空間W的一個(gè)基，且

dimW=n.

注要求解W的一個(gè)基，可先證明

A=an1Fn-1+a(n-1)1Fn-2+…+a11E，?A∈W，

為此令

B=an1Fn-1+…+a11E，

需證A的各列α1,α2,…,αn與B的各列γ1,γ2,…,γn對(duì)應(yīng)相等，先證γ1=α1，即

Bε1=γ1=(a11,a21,…,a(n-1)1,an1)T=α1=Aε1，

再依A,B都與Fn-1,Fn-2,…,F,E可交換，有

αj=Aεj=AFj-1ε1=BFj-1ε1=Bεj=γj(j=2,…,n)，

即A=B.依F的結(jié)構(gòu)特征，由(2)式

k0ε1+k1Fε1+…+kn-2Fn-2ε1+kn-1Fn-1ε1=0

?k0ε1+k1ε2+…+kn-2εn-1+kn-1εn=0，

因此Fn-1,Fn-2,…,F,E線性無關(guān)，是W的一個(gè)基.

評(píng)實(shí)數(shù)域上所有與F可交換的矩陣集合構(gòu)成Mn(R)的一個(gè)子空間，而其一個(gè)基就是

Fn-1,Fn-2,…,F,E.

例2設(shè)

證顯然W?Mn(R)，與上例(ii)同法可證，W是Mn(R)的一個(gè)線性子空間.由題設(shè)，A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，依定理1，A可對(duì)角化，依定理2，A的特征值都是實(shí)數(shù)，且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)都等于其代數(shù)重?cái)?shù).設(shè)λ是A的一個(gè)特征值，此時(shí)矩陣λE-A有一個(gè)n-1階非零子式

令

則A=PΛP-1，對(duì)?X∈W，XA=AX，依上式

XA=AX ? X(PΛP-1)=(PΛP-1)X.

? (P-1XP)Λ=Λ(P-1XP)(上式兩端分別左乘P-1和右乘P)

? P-1XP=diag{d1,d2,…,dn}(定理3)

? X=Pdiag{d1,d2,…,dn}P-1

? X=P(d1E11+d2E22+…+dnEnn)P-1

? X=d1PE11P-1+d2PE22P-1+…+dnPEnnP-1，

(3)

其中Ejj∈Mn(R) (j=1,2,…,n)，其元(j;j)=1，其余元素均為零. (3)式表明，?X∈W，X都可由PE11P-1,PE22P-1,…,PEnnP-1線性表示，下面要證PE11P-1,PE22P-1,…,PEnnP-1就是W的一個(gè)基.首先，PEjjP-1∈W,j=1,2,…,n.這是因?yàn)?/p>

EjjP-1AP=EjjΛ=λjEjj=ΛEjj=P-1APEjj，

上式兩端分別左乘P和右乘P-1，有

PEjjP-1A=APEjjP-1，

所以

PEjjP-1∈W,j=1,2,…,n.

其次，設(shè)k1PE11P-1+k2PE22P-1+…+knPEnnP-1=O，即

P(k1E11+k2E22+…+knEnn)P-1=O，

上式兩端分別左乘P-1和右乘P，有

k1E11+k2E22+…+knEnn=O，

即

k1=k2=…=kn=0，因此PE11P-1,PE22P-1,…,PEnnP-1線性無關(guān)，依定義2和定義3，PE11P-1,PE22P-1,…,PEnnP-1就是W的一個(gè)基，且dimW=n.

又設(shè)αj(j=1,2,…,n)是A的屬于特征值λj(j=1,2,…,n)的特征向量，則

顯然E,A,A2,…,An-1∈W，設(shè)

l0E+l1A+l2A2+…+ln-1An-1=O，

用αj(j=1,2,…,n)右乘上式兩端

l0Eαj+l1Aαj+l2A2αj+…+ln-1An-1αj=0，

即

因?yàn)樘卣髦郸?,λ2,…,λn兩兩不等，依范德蒙行列式結(jié)論，

因此方程組只有零解，從而l0=l1=l2=…=ln-1=0，E,A,A2,…,An-1線性無關(guān)，因?yàn)閐imW=n，依定理4，E,A,A2,…,An-1也是W的一個(gè)基.

注要證E,A,A2,…,An-1是W的一個(gè)基，可先求解W的一個(gè)基.由A可對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使P-1AP=Λ，從而PE11P-1,PE22P-1,…,PEnnP-1是W的一個(gè)基，于是dimW=n.依A的結(jié)構(gòu)特征，再證A的n個(gè)特征值兩兩不等，因此E,A,A2,…,An-1線性無關(guān)，從而E,A,A2,…,An-1也是W的一個(gè)基.

評(píng)實(shí)數(shù)域上所有與A可交換的矩陣集合構(gòu)成Mn(R)的一個(gè)子空間，而其一個(gè)基就是

E,A,A2,…,An-1.

[1]丘維聲. 高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(上冊(cè)).[M].2版. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2005: 333-334.

[2]丘維聲. 高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(上冊(cè)).[M].2版. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2005: 169-170.

A Method of Determining the Base of Linear Subspace

ZHANG Li-zhuo

(School of Statistics, University of International Business and Economics, Beijing 100029, China)

A method for determining the base of linear subspace is discussed.

linear subspace; base; dimensionality

2015-04-18；[修改日期]2016-03-30

張立卓(1963-),女，碩士，副教授，從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.Email:zlizhuo@uibe.edu.cn

O151.2

C

1672-1454(2016)04-0107-05