結(jié)合律在數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的巧用

徐輝明

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004)

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結(jié)合律在數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的巧用

徐輝明

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004)

討論結(jié)合律在無窮級數(shù)中的運(yùn)用，并對2015年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽中一道競賽題進(jìn)行了分析和探討.

級數(shù)； 收斂； 結(jié)合律

1　引　　言

眾所周知，有限個實(shí)(復(fù))數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，但在無窮級數(shù)中，交換律和結(jié)合律一般不成立，要在數(shù)項(xiàng)級數(shù)中運(yùn)用交換律和結(jié)合律，需要滿足一定的條件. 在數(shù)學(xué)分析教材中，下面兩個定理是常見的.

定理1[1]在收斂級數(shù)的項(xiàng)中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變級數(shù)的和.

定理2[1]若級數(shù)∑un絕對收斂，且其和為S，則對該級數(shù)的項(xiàng)任意重排后所得的級數(shù)也收斂于S.

由此可見，收斂級數(shù)的項(xiàng)之間適用結(jié)合律，絕對收斂級數(shù)的項(xiàng)之間滿足交換律.

在研究無窮級數(shù)的某些問題時，若能巧用結(jié)合律對級數(shù)的項(xiàng)進(jìn)行分組，將有助于問題的解決. 本文中，我們將通過實(shí)例展示結(jié)合律在研究級數(shù)收斂性問題中的運(yùn)用，并對2015年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽中一道競賽題進(jìn)行分析和探討.

2　運(yùn)用結(jié)合律研究級數(shù)的斂散性

由定理1可知，若級數(shù)收斂，則可適用結(jié)合律，下面的例子說明一般情形下結(jié)合律并不成立.

(-1+1)+(-1+1)+…+(-1+1)+…，

所得到的級數(shù)收斂.

上述例子表明，發(fā)散級數(shù)通過適當(dāng)?shù)姆绞郊永ㄌ柡笥锌赡苁諗? 但對于正項(xiàng)級數(shù)，這樣的情形就不會發(fā)生.

命題1在正項(xiàng)級數(shù)的項(xiàng)中任意加括號，不改變級數(shù)的斂散性.

(1)

級數(shù)(1)的第k個部分和(k>1)是

命題2對級數(shù)

(2)

加括號，得到級數(shù)

(u1+…+un1)+(un1+1+…+un2)+…+(unk-1+1+…+unk)+…，

(3)

如果級數(shù)(3)的每個括號中各項(xiàng)符號相同，則當(dāng)級數(shù)(3)收斂時，級數(shù)(2)也收斂.

|Snk-A|<ε.

(4)

注1命題2是文獻(xiàn)[1]中的一個習(xí)題，為了內(nèi)容的完整性，我們在這里給出了證明.

(5)

(6)

由命題2，只需證明級數(shù)(6)收斂.

另一方面，

而

根據(jù)交錯級數(shù)的Leibniz判別法知級數(shù)(6)收斂.

發(fā)散.

?ε>0，?N>1，當(dāng)n>N時，?正整數(shù)p，都有

(7)

+[(nm+1)anm+1+…+nm+1anm+1]+…

其中

也可采用下列的分組方法：

第1組從n+1項(xiàng)到2n項(xiàng)，第2組從2n+1項(xiàng)到4n項(xiàng)，……，第m組從2m-1n+1項(xiàng)到2mn項(xiàng)，……，于是，有

+[(2m-1n+1)a2m-1n+1+…+2mna2mn]+…

其中

(2m-1n+1)a2m-1n+1+…+2mna2mn<2mn(a2m-1n+1+…+a2mn)

利用上述分組方式，通過進(jìn)一步分析還發(fā)現(xiàn)，可以對條件或者結(jié)論進(jìn)行改進(jìn)，將條件減弱或者結(jié)論加強(qiáng)，得到如下的

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊)[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2010.

[2]王泓博. 一道數(shù)學(xué)競賽題的探討[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2015, 31(1):102-104.

[3]薛凌霄，李德新. 一類級數(shù)求和的推廣[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2015, 31(3):86-89.

Application of the Associative Law in Series

XU Hui-ming

(College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University,Jinhua Zhejiang 321004, China)

The author discusses the application of the associative law in series, analyses and studies a question of the competiton of advanced mathematics in Zhejiang Province in 2015.

series; convergence; associative law

2015-09-23；[修改日期]2016-04-07

國家自然科學(xué)基金(11271124, 11271332)；浙江省自然科學(xué)基金(LY14A010013, LY16A010004)

徐輝明(1963-),男，博士，教授，從事多復(fù)變函數(shù)論研究.Email:xhm@zjnu.cn

O173.1

C

1672-1454(2016)04-0123-04