多元向量函數(shù)的中值定理及應(yīng)用

黃永忠，　劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

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多元向量函數(shù)的中值定理及應(yīng)用

黃永忠，劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

中值定理是可微函數(shù)的重要性質(zhì)，是證明某些等式和不等式的重要工具，而等式形式的向量函數(shù)的微分中值定理一般是不成立的，通常只能得到微分中值不等式.本文從一元函數(shù)的Newton-Leibniz公式出發(fā)，證明了一個(gè)多元向量函數(shù)等式形式的積分型中值定理.該定理揭示了多元向量函數(shù)等式形式的微分中值定理不成立的原因，也蘊(yùn)含了微分中值不等式.

多元向量函數(shù)； 積分型中值定理； 微分中值不等式

1　問(wèn)題的提出

通用的數(shù)學(xué)分析教材在涉及多元向量函數(shù)時(shí)，只給出了微分中值不等式，例如文獻(xiàn)[1]下冊(cè)P 333定理23.14和文獻(xiàn)[2]下冊(cè)P 104定理16.2.3.特別地，文獻(xiàn)[2]下冊(cè)P 105說(shuō)明了對(duì)于取值維數(shù)n≥2的向量函數(shù)只能得到微分中值不等式，而不能如數(shù)量函數(shù)那樣得到等式形式的微分中值定理，并且給出下面的反例.

例1考慮定義在R2上的二維向量函數(shù)

Φ(x,y)=(excosy,exsiny)T,?(x,y)T∈R2,

其中T表示轉(zhuǎn)置.顯然，Φ在整個(gè)R2上可微，且

記兩點(diǎn)P=(0,0)T和Q=(0,2π)T，易見(jiàn)

Φ(Q)-Φ(P)=(0,0)T，

Φ(Q)-Φ(P)=DΦ(M)(Q-P).

關(guān)于多元向量函數(shù)的中值定理除教材[1]中形式(即本文后面的定理6和推論7)外，文獻(xiàn)[3]得到相應(yīng)的Rolle中值定理，文獻(xiàn)[4]-[5]研究了一元向量函數(shù)的中值定理.文獻(xiàn)[4]，對(duì)區(qū)間[a,b]上的可微函數(shù)r:[a,b]→Rn，得到一定條件下存在ξ∈(a,b)使得r′(ξ)//r(b)-r(a)的結(jié)論, 此時(shí)n=2. 文獻(xiàn)[5]得到：存在ξ∈(a,b)使得

r′(ξ)=λ[r(b)-r(a)]，n=2，

其中λ=|r′(ξ)|/|r(b)-r(a)|；

λ1r(a)+λ2r(b)+λ3r′(ξ)=0，n=3，

其中λ1,λ2,λ3為不全為零的常數(shù).

對(duì)n>3，得到n=3時(shí)的類(lèi)似形式(高階導(dǎo)數(shù)型).本論文研究思路與現(xiàn)有文獻(xiàn)都不相同.

本文將從一元函數(shù)的Newton-Leibniz公式出發(fā)，證明一個(gè)多元向量函數(shù)等式形式的積分型中值定理.我們也將用此定理解釋多元向量函數(shù)等式形式的微分中值定理不成立的原因，作為推論得到了微分中值不等式.

2　一元函數(shù)的Newton-Leibniz公式和中值定理

首先敘述下面一元函數(shù)的Lagrange微分中值定理(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]上冊(cè)P 123定理6.2).

定理1設(shè)函數(shù)F(t)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在(a,x)上可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)ξ∈(a,x)，使

F(x)-F(a)=F′(ξ)(x-a).

在定理1中，若進(jìn)一步要求導(dǎo)函數(shù)局部可積，則有下面形式的Newton-Leibniz公式，其證明用了Lagrange微分中值定理，參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]上冊(cè)P206定理9.1和P207注2.

則有等式

證由假設(shè)，對(duì)每個(gè)c∈(a,x)和所有的u∈(a,c]，F(xiàn)′(t)在[u,c]可積.由文獻(xiàn)[1]上冊(cè)P206定理9.1和P 207注2，有

注意到F(t)在a右連續(xù)，因此

同理

對(duì)上面兩個(gè)等式相加立得定理的結(jié)論.

令t=a+θ(x-a),則dt=(x-a)dθ.因此，在定理2的條件下有

(1)

公式(1)可看成積分型的中值定理，但不同于文獻(xiàn)[8-11]的積分中值定理.我們可以用Darboux定理(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]上冊(cè)P127定理6.5)證明下面條件稍弱的積分第一中值定理，參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]上冊(cè)P220定理9.7或者文獻(xiàn)[9]P290性質(zhì)6.與文獻(xiàn)[1]上冊(cè)P220定理9.7相比，我們并不要求F′(t)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù).

則存在一點(diǎn)ξ∈(a,x)，使

因此

由Darboux定理(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]上冊(cè)P 127定理6.5)知，存在一點(diǎn)ξ∈(a,x)使

注1設(shè)函數(shù)F(t)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在(a,x)上可導(dǎo).再假設(shè)a為F′(t)的瑕點(diǎn)，即F′(t)在a的任一右鄰域上無(wú)界，但對(duì)任意的ε>0，F(xiàn)′(t)在[a-ε,x]有界、可積.定理2表明瑕積分

收斂，且Newton-Leibniz公式

成立.

例2設(shè)

則

由注1，有

注2條件“設(shè)函數(shù)F(t)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在(a,x)上可導(dǎo)”并不蘊(yùn)含導(dǎo)函數(shù)F′(t)在(a,x)的所有閉子集上可積.因?yàn)镽iemann可積要求函數(shù)是Lebesgue測(cè)度下幾乎處處連續(xù)的(參見(jiàn)文獻(xiàn)[10] P57 Theorem1.7.1和 P59 Problems 3，或者文獻(xiàn)[9]P311 的定理)，但存在滿(mǎn)足上述條件卻在正Lebesgue測(cè)度集上間斷的例子(參見(jiàn)[11]P115例35)，因此不是Riemann可積的.

注3積分型中值定理增加了導(dǎo)函數(shù)F′(t)可積性的要求，因此積分型中值定理的條件比微分中值定理?xiàng)l件更強(qiáng).但是，如果將定理中的Riemann積分換為L(zhǎng)ebesgue積分，則積分型中值定理中對(duì)函數(shù)F(t)的要求可以減弱為F(t)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，其不要求F(t)在(a,x)上每點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]P178定理6.9.

3　多元函數(shù)的中值定理

對(duì)于多元函數(shù)情形，我們可以通過(guò)構(gòu)造一個(gè)一元實(shí)值函數(shù)，利用一元函數(shù)的中值定理來(lái)得到多元函數(shù)的中值定理，具體如下.

若進(jìn)一步，DF(y+τ(x-y))(x-y)在(0,1)的所有閉子集上可積，則

證考察輔助函數(shù)

φ(τ)=F(y+τ(x-y)),

則φ(τ)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可微，且

φ′(τ)=DF(y+τ(x-y))(x-y).

若DF(y+τ(x-y))(x-y)在(0，1)的所有閉子集上可積，由定理2有

也成立.

例2設(shè)F(x,y)=xey, 則DF(x,y)=(ey,xey)，且

F(x2,y2)-F(x1,y1)=x2ey2-x1ey1.

另一方面

于是

=x1(ey2-ey1)+(x2-x1)ey2

=x2ey2-x1ey1.

故

4　多元向量函數(shù)的積分型中值定理

對(duì)于多元向量函數(shù)情形，我們自然可以對(duì)每個(gè)分量得到相應(yīng)的中值定理.但是，對(duì)于所有分量卻只能得到積分型中值定理，一般不能得到等式的微分中值定理，具體結(jié)論如下.

定理5設(shè)S是Rm中的凸區(qū)域， Φ是定義在S上的可微m元n維向量函數(shù).對(duì)任意兩點(diǎn)x,y∈S，若DΦ(y+θ(x-y))關(guān)于θ在(0，1)的所有閉子集上可積，則

(2)

其中Φ=(φ1,φ2,…,φn)T，且

證對(duì)于Φ的第i個(gè)分量φi，1≤i≤n，應(yīng)用定理4的結(jié)論得

例1′再看例1，注意到

因此下面積分型中值定理成立

但是，仍有等式微分中值定理的以下變種，參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]下冊(cè) P345總練習(xí)題4，或者文獻(xiàn)[10] P56 Lemma 2.5.1.

證考察輔助函數(shù)

h(τ)=αTΦ(y+τ(x-y)),

則h(τ)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可微，且

h′(τ)=αTDΦ(y+τ(x-y))(x-y).

成立.

在定理6中取α=Φ(x)-Φ(y)，由Cauchy不等式以及矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性立得下面的微分中值不等式, 參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]下冊(cè)P333定理23.14，或者文獻(xiàn)[2]下冊(cè)P104定理16.2.3，以及文獻(xiàn)[10] P57 Theorem 2.5.3.

注5若在推論7中增加要求DΦ(y+τ(x-y))關(guān)于τ在(0,1)的所有閉子集上可積，則由定理5及矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性可得推論7的結(jié)論.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè)) [M].4版.北京：高等教育出版社， 2010.

[2]崔尚斌.數(shù)學(xué)分析教程(上、中、下冊(cè)) [M]. 北京：科學(xué)出版社，2013.

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[6]高國(guó)成，鄭艷琳，張來(lái)亮.關(guān)于積分中值定理的一個(gè)注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2003, 19(2)：94-95.

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[10]Duistermaat J, Kolk J.Multidimensional real analysis I: Differentiation[M].北京：世界圖書(shū)出版公司北京公司，英文版，2009.

[11]鄭維行，王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要(第一冊(cè)) [M].2版.北京：高等教育出版社， 1989.

Mean Value Theorem of Multivariate Vector Valued Functions and its Applications

HUANG Yong-zhong，LIU Ji-cheng

(School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

The mean value theorem is an important property of differentiable functions, which is an important tool to prove some equalities and inequalities. In this paper, we prove a mean value theorem of the multivariate vector valued function based on the Newton-Leibniz formula. At the same time, this theorem reveals the reason of the failure for the differential mean value theorem of multivariate vector valued functions, and also implies the differential mean value inequality.

multivariate vector valued function; mean value theorem of integral type; differential mean value inequality

2015-11-05；[修改日期] 2016-04-10

湖北省教學(xué)研究項(xiàng)目(2013052)；華中科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(2015067)

黃永忠(1965-),男，博士，副教授，從事數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)研究.Email:huangyz@hust.edu.cn

劉繼成(1976-),男，博士，教授，從事數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)研究.Email: jcliu@hust.edu.cn

O172.2

C

1672-1454(2016)04-0097-06