拉馬努金等式的證明及推廣

李堯其

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,上海200234)

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拉馬努金等式的證明及推廣

李堯其

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,上海200234)

對(duì)于拉馬努金等式，本文首先應(yīng)用數(shù)列極限的方法給出其收斂性的證明.再結(jié)合式中多重根號(hào)嵌套的結(jié)構(gòu)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)方程，給出一個(gè)推廣的結(jié)果.并將這種方法推廣到一般形式，最后得到了此類極限的收斂性的一般判別法.文中使用的方法，為無(wú)窮根號(hào)形式的極限問(wèn)題提供了系統(tǒng)化思路，豐富了極限的表達(dá)形式.

拉馬努金等式； 極限； 收斂性； 函數(shù)方程

1　引　　言

拉馬努金(Ramanujan，1887-1920)是印度歷史上極其偉大的數(shù)學(xué)家.他自學(xué)成才，尤其癡迷數(shù)論，思維極有跳躍性.拉馬努金1887年生于印度東部的埃德羅，10歲進(jìn)入中學(xué)，接觸了正式的數(shù)學(xué)教育，并很快展現(xiàn)出很高的數(shù)學(xué)天賦.1913年，拉馬努金給劍橋大學(xué)三一學(xué)院的哈代(G.H.Hardy，1840-1928)寫(xiě)信，報(bào)告自己的數(shù)學(xué)研究成果，他的數(shù)學(xué)天才由此受到學(xué)術(shù)界重視.拉馬努金一生貧困，33歲便英年早逝，死后留下5個(gè)筆記本.時(shí)至今日，藏在這些筆記本中的數(shù)學(xué)思想與方法依然在被不斷挖掘出來(lái)，并且應(yīng)用到很多前沿領(lǐng)域.以下便是拉馬努金發(fā)現(xiàn)的眾多令人匪夷所思的等式中的一個(gè)

上式出自拉馬努金數(shù)學(xué)筆記的第289題，稱作拉馬努金等式.拉馬努金常憑直覺(jué)進(jìn)行推導(dǎo)，筆者未見(jiàn)到拉馬努金本人對(duì)這個(gè)等式的嚴(yán)格證明.本文分析了拉馬努金等式的結(jié)構(gòu)，分別應(yīng)用數(shù)列極限、函數(shù)方程、函數(shù)列得到幾種不同的證明方法以及推廣結(jié)果.

2　基于數(shù)列極限的證法

容易驗(yàn)證，對(duì)于自然數(shù)n，有

3　 利用函數(shù)方程作推廣

初看拉馬努金等式的結(jié)構(gòu)，往往覺(jué)得證明無(wú)從入手.由于多層根號(hào)嵌套的形式，容易聯(lián)想到以下這個(gè)結(jié)論

它和拉馬努金等式的形式很接近，若是直接套用它的證法，卻對(duì)拉馬努金等式無(wú)效.通過(guò)以上的分析可以看出，同樣是利用遞推數(shù)列，轉(zhuǎn)換遞推方式，便能得到完全不同的結(jié)果.但是如果事先不知道原式等于3，那么證明過(guò)程將很難想到.利用函數(shù)方程的思路，又有了以下的方法.

令

當(dāng)x>1時(shí)，有

另一方面

即

亦即

重復(fù)上述步驟可知，對(duì)于任何自然數(shù)n，有

令n→∞即可得到f(x)=x+1，從而f(2)=3，拉馬努金等式成立.

由于函數(shù)方程并沒(méi)有統(tǒng)一的解法，從f2(x)=1+xf(x+1)得出f(x)=x+1更多靠觀察，或者拉馬努金所說(shuō)的“直覺(jué)”.證明過(guò)程中的不等式運(yùn)用是非常巧妙的，至于x>1的限制是為了保證不等式成立，但1未必是最佳估計(jì).

4　構(gòu)造函數(shù)列

將數(shù)列和函數(shù)方程的思路相結(jié)合，又可以得到另一種證法.

另一方面

以下估計(jì)f(x)和x+1的距離.設(shè)δ(x)=x+1-f(x)，則有0≤δ(x)<1. 由

f2(x)=1+xf(x+1)

得

從而對(duì)于任何有限的正數(shù)x，有

故

即δ(x)=0.則f(x)=x+1.f(2)=3. 拉馬努金等式得證.

5　同斂態(tài)數(shù)列的構(gòu)造

令

=…

此外，還有等式

成立.

6　結(jié)　　論

對(duì)于拉馬努金等式，最容易想到的證明方法是利用數(shù)列極限.本文在這種方法的基礎(chǔ)上，將其推廣到一般的函數(shù)形式，這是一個(gè)自然的、也是重大的拓展.對(duì)于本文第五節(jié)中給出的一組同斂態(tài)數(shù)列，若此兩個(gè)數(shù)列的極限果真有某種定量關(guān)系，則可由此輕易得到很多形如拉馬努金等式的結(jié)果.

鑒于連分?jǐn)?shù)理論的發(fā)展，筆者猜想形如拉馬努金等式的“連根式”也會(huì)有一整套理論值得探討.目前尚未見(jiàn)到這方面的專門研究.這無(wú)疑將是對(duì)數(shù)論問(wèn)題的一種有益的補(bǔ)充和完善.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]. 4版.北京:高等教育出版社,2010.

[2]劉培杰，等.超越吉米多維奇：數(shù)列的極限[M].哈爾濱：哈工大出版社,2009.

[3]羅伯特·卡尼格爾.知無(wú)涯者——拉馬努金傳[M]. 胡樂(lè)士、齊民友譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?2002.

The Proof and Generalization of Ramanujan’s Equation

LI Yao-qi

(Institute of Mathematical ,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

For the Ramanujan’s Equation,we give the proof of convergency by sequence limit firstly.Then construct a function equation for the square roots,and show a wider conclusion.In the end,we generalize the method to the general situation,and give a criterion for this kind of limit.The discuss in this article give a unitive train of thought of infinite square roots,and supplement the expressions of limit.

Ramanujan’s Equation; limit; convergency; function equation

2015-08-18；[修改日期]2016-05-19

李堯其(1994-)，男，在讀碩士，從事微分方程研究.Email：965156745@qq.com.

O171

C

1672-1454(2016)04-0118-05