基于積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器的角加速度觀測器的噪聲參數(shù)整定及性能研究

邱文彬　柴建云　陸海峰　曾穎宇　孫旭東

(電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點實驗室(清華大學(xué))　北京　100084)

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基于積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器的角加速度觀測器的噪聲參數(shù)整定及性能研究

邱文彬柴建云陸海峰曾穎宇孫旭東

(電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點實驗室(清華大學(xué))北京100084)

噪聲統(tǒng)計特征值的整定是積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器(IKF)的設(shè)計要點。針對噪聲統(tǒng)計特征值的整定進(jìn)行研究，推導(dǎo)出積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器的離散噪聲統(tǒng)計特征值與離散采樣周期的函數(shù)關(guān)系，定量分析了積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器的離散噪聲統(tǒng)計特征值的跟蹤性能。在此基礎(chǔ)上，提出了一種定量計算噪聲統(tǒng)計特征值的方法，通過濾波器截止頻率、離散采樣周期直接計算得到噪聲統(tǒng)計特征值，改變了以往的仿真-實驗-調(diào)整環(huán)整定方法，簡化了設(shè)計流程。仿真和實驗驗證了所提出方法的有效性。

卡爾曼濾波器角加速度加速度觀測器跟蹤性能噪聲統(tǒng)計特征值

0　引言

伺服控制系統(tǒng)是高端裝備制造業(yè)的基礎(chǔ)。通過加速度閉環(huán)控制、擾動轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、自適應(yīng)控制[1-13]等方式引入角加速度控制可有效提高系統(tǒng)的魯棒性。如在工業(yè)機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床等多軸機(jī)電系統(tǒng)的運(yùn)行過程中，常伴隨有參數(shù)變化和負(fù)載擾動，傳統(tǒng)伺服系統(tǒng)受參數(shù)變化影響較大，系統(tǒng)的魯棒性不足，而角加速度閉環(huán)可在不改變原控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，提高系統(tǒng)的魯棒性，例如，基于加速度的負(fù)載擾動觀測器在調(diào)速系統(tǒng)中得到了廣泛研究和應(yīng)用。

角加速度信號的獲取主要有兩種途徑：一是通過角加速度傳感器直接測量，二是通過位置信號間接觀測。由于伺服電機(jī)大多已裝配有高性能位置傳感器，使得角加速度傳感器的安裝困難，另外，角加速度傳感器會增加系統(tǒng)成本。所以，基于角位置測量的間接角加速度觀測方法被認(rèn)為是獲取加速度信號的主要途徑[14-21]。角加速度信號是位置信號的二階差分值，直接差分運(yùn)算會放大位置信號中的量化噪聲，使觀測精度受到嚴(yán)重影響。卡爾曼濾波器具有最優(yōu)的白噪聲抑制能力，但卡爾曼濾波器的設(shè)計在應(yīng)用中一直存在兩個難點：一是輸入信號的白噪聲模型，二是噪聲的統(tǒng)計特征值。

文獻(xiàn)[15-21]使用基于多項式曲線擬合和非線性反饋來構(gòu)造角加速度觀測器，該方法比直接差分法具有更好的噪聲抑制能力，但非線性方法難以定量分析其噪聲抑制性能。文獻(xiàn)[22-25]提出了基于積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器(All-Integrator Model Kalman Filter，IKF)的角加速度觀測器，解決了用于觀測角加速度的輸入信號白噪聲模型問題，文獻(xiàn)在定性分析噪聲參數(shù)特征值與觀測性能的基礎(chǔ)上，首先根據(jù)位置傳感器的精度確定測量噪聲的特征值，然后采用不斷重復(fù)仿真-實驗-調(diào)整的方法來整定輸入信號噪聲特征值，直到設(shè)計的觀測器達(dá)到滿意的噪聲抑制性能。

本文對基于IKF的角加速度觀測器進(jìn)行了研究。首先，對基于連續(xù)IKF的角加速度觀測器的噪聲特征值與截止頻率、穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差的關(guān)系進(jìn)行研究；然后，定量分析了加速度觀測器性能保持不變時，離散時間與離散IKF的噪聲特征值的關(guān)系；在上述分析基礎(chǔ)上，提出了整定IKF噪聲特征值的方法，并對所提出方法進(jìn)行仿真和實驗，驗證了方法的有效性。

1　基于IKF的加速度觀測器

基于IKF的加速度觀測器的狀態(tài)方程為[23]

(1)

式中，輸入噪聲w(t)的統(tǒng)計特征值為qc；測量噪聲v(t)的統(tǒng)計特征值為rc；加速度觀測器的狀態(tài)變量和系數(shù)矩陣分別為

(2)

由于將位置變量θ及其一階、二階微分作為狀態(tài)變量，相鄰狀態(tài)變量之間存在積分關(guān)系，基于該狀態(tài)方程的卡爾曼濾波器被稱之為積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器(IKF)。狀態(tài)方程(1)的Riccati方程為

APc+PcAT-PcCT(rc)-1CPc+qcΓΓT=0

(3)

式中，Pc為狀態(tài)變量x(t)的誤差協(xié)方差矩陣。狀態(tài)方程(1)以周期Ts離散化時，差分方程輸入噪聲w(k)的統(tǒng)計特征值為qd，測量噪聲v(k)的統(tǒng)計特征值為rd，誤差協(xié)方差矩陣的穩(wěn)定值為Pd。若Ts足夠小，差分方程式的Riccati方程可簡化為[6]

(4)

2　基于IKF的噪聲特征值設(shè)計

離期IKF在最優(yōu)預(yù)測時，離散周期內(nèi)加速度為常數(shù)，信號模型等效為二次多項式；在最優(yōu)估計時，基于最小二乘的迭代運(yùn)算將測量信號擬合為三次多項式曲線。

2.1基于IKF的加速度觀測器的性質(zhì)

2.1.1連續(xù)IKF的自由度與噪聲特征值的關(guān)系

連續(xù)IKF只有qc/rc一個自由度，qc與rc同比變化時，卡爾曼濾波器的性能不變。由于卡爾曼濾波器與線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)存在對偶關(guān)系，狀態(tài)方程(1)的卡爾曼濾波器反饋系數(shù)矩陣與線性二次型性能函數(shù)式(5)的最優(yōu)反饋控制系數(shù)Kc相同。

(5)

若式(5)中線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的控制系數(shù)Kc不變，則對偶的卡爾曼濾波器的反饋系數(shù)矩陣不變，所以卡爾曼濾波器的性能不變，連續(xù)IKF只有qc/rc一個自由度。

2.1.2連續(xù)IKF的截止頻率與噪聲特征值的關(guān)系

基于IKF的加速度觀測器與三階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)相同，截止頻率ωc為

(6)

根據(jù)狀態(tài)方程(1)及其Riccati方程式可得到觀測角加速度x3的傳遞函數(shù)為

(7)

從式(7)可以看出，加速度x3的截止頻率為qc/rc。例如卡爾曼濾波器狀態(tài)方程的噪聲特征值取值范圍和離散周期Ts如表1所示時，首先，根據(jù)式(11)可得到離散卡爾曼濾波器的噪聲特征值qd和rd；然后，將qd和rd代入卡爾曼濾波器進(jìn)行循環(huán)迭代運(yùn)算，得到穩(wěn)定的系數(shù)矩陣Kd；最后，由反饋系數(shù)矩陣Kd得到加速度的離散傳遞函數(shù)，由離散傳遞函數(shù)可得到觀測器的截止頻率ωc。

表1　系統(tǒng)參數(shù)Tab.1　System parameters

對表1中的qc、rc進(jìn)行遍歷運(yùn)算，圖1為截止頻率ωc與qc、rc的關(guān)系，圖中離散周期與截止頻率的乘積ωcTs最大值為0.314 2。

圖1　加速度觀測器的截止頻率與qc、rc的關(guān)系Fig.1　The relationship between the cut-off frequency of the acceleration observer and the values of qc，rc

從圖1中可看出，離散IKF只有qc/rc一個自由度，截止頻率ωc與qc、rc的關(guān)系滿足式(7)。

2.1.3連續(xù)IKF的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能與噪聲特征值的關(guān)系

根據(jù)式(7)可知，基于IKF的角加速度觀測器對多項式位置信號的穩(wěn)態(tài)觀測誤差為

(8)

輸入位置信號為多項式時，觀測角加速度x3的穩(wěn)態(tài)觀測誤差如表2所示，位置信號為三次以下多項式

表2　加速度觀測誤差Tab.2　Error of the acceleration observed

時，觀測加速度的穩(wěn)態(tài)誤差為零；位置信號為三次多項式時，觀測加速度的穩(wěn)態(tài)誤差為直流偏置，與截止頻率呈反比；位置信號為三次以上多項式時，觀測加速度的穩(wěn)態(tài)誤差趨于無窮。

2.1.4離散IKF性能與離散化周期的關(guān)系

當(dāng)CPdCT?rd時，由差分方程及其簡化的Riccati方程式可得到誤差協(xié)方差矩陣穩(wěn)態(tài)值Pd為

Pd=

(9)

差分方程的穩(wěn)態(tài)反饋系數(shù)矩陣Kd為

(10)

連續(xù)IKF與離散IKF具有相同的性能，即誤差協(xié)方差矩陣Pc和Pd相等時，對比式(3)和式(4)可知，連續(xù)噪聲特征值與離散噪聲特征值間存在如下關(guān)系

qd=qcTs

(11)

由式(11)可得

CPdCT+rd=rd(1+2ωcTs)

由于噪聲特征值1/rd與截止頻率的6次方呈正比，rd簡化值使截止頻率波動幅值小于0.1倍時，此時離散周期與截止頻率存在如下關(guān)系

ωcTs≤0.45

(12)

當(dāng)離散噪聲特征值與連續(xù)噪聲特征值滿足式(11)時，離散化周期Ts越小，對卡爾曼濾波器的性能影響也越小。當(dāng)離散周期與截止頻率滿足式(12)時，工程上可認(rèn)為離散卡爾曼濾波器的性能與Ts無關(guān)。

通過例子說明此性質(zhì)的意義。若卡爾曼濾波器狀態(tài)方程的噪聲特征值qc為600，rc為3×10-12時，截止頻率fc為38.5 Hz。以Ts為1 ms時加速度觀測器的幅頻響應(yīng)為基準(zhǔn)值，截止頻率與離散周期的乘積ωcTs為0.242，由式(7)和式(9)可得到差分方程的噪聲特征值qd、rd以及反饋系數(shù)矩陣Kd，對應(yīng)的加速度觀測器幅頻特性曲線如圖2所示。當(dāng)離散時間Ts取不同的值且滿足式(9)時，加速度觀測器幅頻特性曲線的相對誤差如圖3所示，加速度觀測器頻率延時曲線如圖4所示。

圖2　Ts =1 ms時加速度觀測器的幅頻特性曲線Fig.2　Magnitude-frequency characteristic curve of the acceleration observer at Ts=1 ms

圖3　不同離散時間下加速度觀測器幅頻特性曲線的相對誤差Fig.3　The relative error of the Magnitude-frequency characteristic curves of the acceleration observer at different sampling periods

圖4　不同離散時間下加速度觀測器的延時-頻率特性曲線Fig.4　The delay-frequency characteristic of the acceleration observer at different sampling periods

從圖3和圖4可看出，Ts取不同值時，加速度觀測器的幅頻特性曲線的相對誤差在1.5%左右；頻率延時曲線間的絕對誤差約為0.4 ms，與基準(zhǔn)頻率延時特性曲線的相對誤差在4%左右。以上分析可知，在離散頻率與截止頻率滿足式(11)和式(12)約束時，Ts對離散卡爾曼濾波器性能的影響在設(shè)計要求內(nèi)，即從工程實用的角度認(rèn)為離散卡爾曼濾波器的性能與Ts無關(guān)。

2.2噪聲特征值的整定步驟

傳統(tǒng)積分鏈?zhǔn)娇柭鼮V波器的噪聲特征值整定步驟為：

1)假設(shè)傳感器測量噪聲為均勻白噪聲分布，求得測量參數(shù)噪聲特征值rd。

2)任意給定qd初始值。

3)仿真和實驗觀測濾波器輸出值，如果噪聲過大，則執(zhí)行步驟4，如果輸出值的延時過長，則執(zhí)行步驟5，如果符合要求，則停止整定進(jìn)程。

4)減小qd，回到步驟3。

5)增大qd，回到步驟3。

基于IKF的加速度觀測器的性質(zhì)，本文提出一種根據(jù)截止頻率來定量計算濾波器噪聲特征值的方法，設(shè)計流程如圖5所示，具體整定步驟如下：

1)由設(shè)計需求確定連續(xù)卡爾曼濾波器的截止頻率ωc，選擇離散周期Ts，使ωcTs的乘積滿足式(12)。

2)連續(xù)卡爾曼濾波器的性能由qc/rc惟一決定，根據(jù)截止頻率ωc與qc/rc滿足式(7)，可求出qc/rc。

圖5　噪聲特征值整定流程Fig.5　Flow chart of the setting of the statistic characteristics of noises

3)將離散周期Ts和qc/rc代入式(11)，可計算得到qd/rd的值。

(13)

4)選擇rd的值，使1/rd與qd在同一個數(shù)量級，然后求出qd的值。

(14)

5)將離散時間Ts、qd和rd代入式(11)得到連續(xù)卡爾曼濾波器的噪聲特征值qc和rc。

3　仿真與實驗驗證

3.1仿真

根據(jù)本文所提出的方法，設(shè)計基于IKF的加速度觀測器，使截止頻率為45 Hz，計算過程如下：

根據(jù)截止頻率fc為45 Hz，選擇離散周期Ts為1 ms，截止頻率與離散周期的乘積ωcTs為0.282 7，滿足式(10)；將截止頻率ωc代入式(12)，可求得qc/rc為5.11×1014；由qc/rc以及離散周期Ts可求得qd/rd為5.11×108；選取rd為2×10-5，此時，噪聲特征值qd為1.022×104；將離散時間Ts、qd和rd代入式(7)可得到反饋系數(shù)矩陣穩(wěn)定值Kd，此時，加速度觀測器的離散傳遞函數(shù)為

上式的幅頻特性曲線如圖6所示，加速度觀測器的截止頻率為45 Hz，滿足設(shè)計要求。

圖6　幅頻特性曲線Fig.6　Magnitude-frequency characteristic curve

當(dāng)位置傳感器為參數(shù)每周2000脈沖的光電編碼器時，經(jīng)過4倍頻后編碼器的分辨精度為0.27′，若輸入10 Hz、幅值為11.5°的正弦波位置信號，基于IKF的角加速度觀測器輸出值如圖7所示，位置信號直接二階差分運(yùn)算輸出的觀測加速度如圖8所示。

圖7　輸入角加速度及卡爾曼濾波器觀測的角加速度Fig.7　The input acceleration and the acceleration observed by the proposed Kalman filter

圖8　直接二階差分運(yùn)算觀測的角加速度Fig.8　The acceleration observed by the direct 2nd differential operation

圖9　卡爾曼濾波器觀測加速度及加速度誤差Fig.9　The acceleration and the acceleration error observed by the proposed Kalman filter

從圖7和圖8可看出，當(dāng)延時相近時，基于卡爾曼濾波器的加速度觀測器相比直接差分運(yùn)算擁有較好的噪聲抑制能力。

實際輸入加速度為±750 rad/s2的方波信號時，輸入位置信號為二次多項式，角加速度觀測值及觀測誤差如圖9所示。從圖中可看出，實際加速度出現(xiàn)階躍變化時，觀測加速度會在躍變瞬間出現(xiàn)誤差，但很快就跟蹤上實際加速度，且穩(wěn)態(tài)輸出誤差為零，圖中的噪聲波動是由編碼器的量化誤差引起。

當(dāng)參考加速度為三角波時，輸入位置信號為三次多項式，加速度觀測值及觀測誤差如圖10所示。

圖10　卡爾曼濾波器觀測加速度及加速度誤差Fig.10　The acceleration and the acceleration error observed by the proposed Kalman filter

從圖10可看出，位置信號為三次多項式時，加速度觀測器輸出存在穩(wěn)態(tài)誤差，誤差值與式(8)計算值相同。

仿真驗證了本文所提的IKF的噪聲特征值設(shè)計方法的正確性。當(dāng)延時相近時，基于卡爾曼濾波器的加速度觀測器相比直接差分運(yùn)算擁有更好的噪聲抑制能力；卡爾曼濾波器的加速度觀測器的輸出穩(wěn)態(tài)誤差與表3所示一致。

3.2實驗

實驗平臺為類似PUMA工業(yè)機(jī)器人的第六臂，驅(qū)動器為松下伺服電機(jī)MSMD5AZS1，額定轉(zhuǎn)矩為0.16 N·m，電機(jī)慣量為0.027×10-4kg·m2，負(fù)載率為1∶1時，額定加速度為2.963×104rad·s-2，輸出軸連接有1∶100的諧波減速機(jī)，絕對位置編碼器每周的編碼數(shù)為217。

考慮到電機(jī)運(yùn)行過程中的機(jī)械振動以及工頻電源引入的干擾，設(shè)計加速度觀測器的截止頻率為20 Hz，離散周期Ts選擇為0.5 ms，截止頻率與離散周期的乘積ωcTs為0.062 8。根據(jù)本文所提的設(shè)計方法得到一組噪聲特征值為

qd=qcTs≈5 907

當(dāng)伺服電動機(jī)運(yùn)行在恒定轉(zhuǎn)速狀態(tài)時，如圖11所示，參考加速度為零，卡爾曼濾波器觀測的加速度如圖11b所示。

圖11　恒轉(zhuǎn)速條件下測量的轉(zhuǎn)速及觀測到的角加速度Fig.11　The measured speed and the observed acceleration at constant speed

從圖11a可看出，速度的波動幅值為±5 r/min，相對誤差在0.4%以內(nèi)，說明速度的測量值中除了含有量化噪聲外，還有其他周期噪聲，觀測加速度的輸出如圖11b所示，噪聲引起的波動幅值為±15 rad/s2，相對額定值的絕對誤差為0.05%。

當(dāng)伺服電動機(jī)的轉(zhuǎn)速呈梯形變化時，如圖12a所示，卡爾曼濾波器觀測的加速度如圖12b所示。

圖12　變速條件下測量的轉(zhuǎn)速及觀測到的加速度Fig.12　The measured speed and the observed acceleration at varied speed

在圖12b中，轉(zhuǎn)速過零時，加速度存在幅值變小的階躍，這是由于靜摩擦力和減速器滯環(huán)的影響，圖中，速度的波動幅值為±40 r/min，相對誤差在1%以內(nèi)，加速度觀測值的波動幅值為±200 rad/s2，為加速度額定值的0.7%左右。

從圖11和圖12的速度波動幅值可看出，噪聲特征值除了含有量化噪聲外，還包括實際過程中引入的其他噪聲，而從圖中可看出，本文所提的噪聲特征值設(shè)計方法，能一次性設(shè)計出符合要求的卡爾曼濾波器，而不需要像傳統(tǒng)的設(shè)計方法一樣，通過不斷重復(fù)仿真-實驗-調(diào)整流程來設(shè)計噪聲特征值。

4　結(jié)論

本文針對基于IKF的角加速度觀測器進(jìn)行了研究。首先，由連續(xù)IKF的加速度觀測器傳遞函數(shù)，得到了加速度觀測器截止頻率ωc與qc和rc的定量計算公式，在此基礎(chǔ)上，分析了加速度觀測器的ωc與穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差的關(guān)系；然后，通過對比簡化后離散IKF和連續(xù)IKF的Riccati表達(dá)式，得到了截止頻率ωc與qd和rd的關(guān)系以及截止頻率ωc和離散時間Ts表示的離散IKF的Riccati表達(dá)式簡化條件，獲得了在不同離散時間Ts條件下，離散IKF的加速度觀測器性能保持不變的關(guān)系；最后，在上述分析基礎(chǔ)上，提出了一種根據(jù)截止頻率定量設(shè)計噪聲特征值的方法。

仿真分析和實驗表明，本文所提的設(shè)計方法可一次性定量設(shè)計出指定性能的離散IKF噪聲參數(shù)特征值，改變了以往通過不斷重復(fù)仿真-實驗-調(diào)整來設(shè)計噪聲特征值的方法，克服了卡爾曼濾波器噪聲特征值設(shè)計困難的問題，方便IKF角加速度觀測器的廣泛應(yīng)用，同時也為研究基于IKF的速度觀測器提供了新思路。

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Parameters Setting and Performance Research for the Angular Acceleration Observer Based on All-Integrator Model Kalman Filter

Qiu WenbinChai JianyunLu HaifengZeng YingyuSun Xudong

(State Key Laboratory of Control and Simulation of Power System and Generation Equipments Tsinghua UniversityBeijing100084China)

Obtaining the statistic characteristics of noises is the key point in the design of the all-integrator model Kalman filter (IKF).The setting of the statistic characteristics of noises has been studied in this paper.The function of the discrete statistic characteristics of noises and sampling period within the IKF has been derived.The tracking performance on the statistic characteristics of noises within the IKF has been quantitatively analyzed.On this basis，a method for calculating the statistic characteristics of noises by directly using roll-off frequency and discrete sampling period has been proposed，which overcomes the drawbacks of the traditional simulation-experiment-adjustment loop setting method and simplifies the design procedure.This proposed method is verified by simulations and experiments.

Kalman filter，angular acceleration，acceleration observer，tracking performance，statistic characteristics of noises

2015-04-28改稿日期2015-07-23

TM315

邱文彬男，1981年生，博士研究生，研究方向為伺服控制。

E-mail：qiuwb.hn@gmail.com(通信作者)

柴建云男，1961年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為風(fēng)力發(fā)電、電機(jī)設(shè)計。

E-mail：chaijy@tsinghua.edu.cn