數(shù)學(xué)慢教育“全”“程”思維范式：內(nèi)涵、價(jià)值及其闡釋

孫朝仁　朱桂鳳

【摘 要】 數(shù)學(xué)慢教育全程思維范式，以問(wèn)題加工為載體，具有完備性和過(guò)程性特征.進(jìn)一步研究可知，全程思維價(jià)值不止于突出思維的過(guò)程性和完備性特征，更在于突出經(jīng)驗(yàn)的概括性和批判性.在此基礎(chǔ)上，提出數(shù)學(xué)慢教育全程思維范式的三種形態(tài)，即陳述化前概念認(rèn)知形態(tài)、程序化主概念認(rèn)知形態(tài)和遷移化后概念認(rèn)知形態(tài)，三種認(rèn)知形態(tài)與知識(shí)加工的三個(gè)階段密切相關(guān).

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；慢教育；全程思維范式

數(shù)學(xué)慢教育[1]作為系統(tǒng)思維范式，包括整體思維范式、曲線思維范式和全程思維范式.前兩種思維范式，已于近期行文并刊發(fā)[2][3].“全程思維”因慢教育實(shí)施秩序的內(nèi)在需要，滯后于前兩種思維進(jìn)行研究，本文呈現(xiàn)其研究成果.

本研究是以信息加工為立論基礎(chǔ)，以全程思維的內(nèi)涵建設(shè)、理論框架、分析實(shí)施為維度要素，進(jìn)行實(shí)證研究，顯化慢教育思維范式的思想力和示范力. 1 數(shù)學(xué)慢教育全程思維的內(nèi)涵與價(jià)值

1.1 “全”“程”思維的內(nèi)涵

在這里，“全”取“完備”之意；“程”取“過(guò)程”所指，是事物變化、發(fā)展經(jīng)過(guò)的集中指向.從信息加工的角度來(lái)看[4]，思維是對(duì)感知記憶的信息進(jìn)行加工而得出新信息的過(guò)程.數(shù)學(xué)慢教育環(huán)境下，全程思維是通過(guò)信息加工，讓學(xué)生在經(jīng)歷表象、概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與綜合、判斷與推理、應(yīng)用與遷移等認(rèn)識(shí)活動(dòng)的全過(guò)程.

一方面，全程思維具有“完備性”特征，包括前概念系統(tǒng)、主概念系統(tǒng)和后概念系統(tǒng)等系統(tǒng)產(chǎn)生式；另一方面，全程思維具有“過(guò)程性”特征，包括陳述化加工——概念的前概念行為，反映概念理解的工具性特征；程序化加工——概念的主概念行為，反映概念理解的概念性特征；遷移化加工——概念的后概念行為，反映概念理解的關(guān)系性特征，終于概念本質(zhì)屬性的把握.

整體思維范式，以統(tǒng)整教材為中介，突出思維的系統(tǒng)性特征；曲線思維范式，以方案比較為平臺(tái)，突出思維的批判性特征；全程思維范式，則以問(wèn)題加工為載體，突出思維的關(guān)系性特征.而就概念的概念理解來(lái)說(shuō)，只有從工具性理解到達(dá)關(guān)系性理解，學(xué)生才能把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)[5].為此，在數(shù)學(xué)慢教育視野下，全程思維的啟動(dòng)，具有獨(dú)特的元認(rèn)知監(jiān)控與調(diào)節(jié)價(jià)值.

1.2 “全”“程”思維的價(jià)值

數(shù)學(xué)慢教育課堂背景下，全程思維價(jià)值不止于突出思維的過(guò)程性和完備性特征，更在于突出經(jīng)驗(yàn)的概括性和批判性特征.而這些思維特征正是元認(rèn)知思維的起始狀態(tài)，標(biāo)志著創(chuàng)造意識(shí)的開(kāi)始.全程思維起于系統(tǒng)思維的完備形態(tài)，終于經(jīng)驗(yàn)關(guān)系的重組形態(tài)，終歸于學(xué)習(xí)對(duì)象的元認(rèn)知產(chǎn)生式形成（反問(wèn)監(jiān)控與逆向調(diào)節(jié)）.全程思維的實(shí)施作用，簡(jiǎn)概如下：

其一，元認(rèn)知監(jiān)控行為，順應(yīng)了認(rèn)知遷移的概括性關(guān)系特征.

“反問(wèn)”監(jiān)控是慢教育元認(rèn)知監(jiān)控的主流行為，是對(duì)“正在做什么”“為什么這樣做”“后續(xù)還應(yīng)做什么”等思維關(guān)系特征的外在刻畫(huà).“反問(wèn)”和“理答”是學(xué)生元認(rèn)知思維的心理表現(xiàn)，需要監(jiān)控和概括.學(xué)生自覺(jué)回答“什么”的思維過(guò)程就是概括順應(yīng)性遷移的過(guò)程，反映認(rèn)知遷移的概括性關(guān)系特征.

事實(shí)上，順應(yīng)性遷移[6]是將原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于新情境中時(shí)，需要調(diào)整原有的經(jīng)驗(yàn)或?qū)π屡f經(jīng)驗(yàn)加以概括，形成一種包含新舊經(jīng)驗(yàn)的更高一級(jí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)外界的變化.比如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)“圖形的位似”時(shí)，就是通過(guò)概括“圖形的相似”經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)進(jìn)行順應(yīng)性遷移.因?yàn)橄嗨苾H從“形”的層面揭示圖形變換的特征，而位似則從“形狀”與“位置”兩個(gè)維度來(lái)揭示圖形變化的特征，因此“位似圖形”就是包含新舊經(jīng)驗(yàn)的更高級(jí)概念.

其二，元認(rèn)知調(diào)節(jié)行為，遵循了經(jīng)驗(yàn)改造的批判性特征.

逆向調(diào)節(jié)是元認(rèn)知調(diào)節(jié)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是以“逆向思維”形式呈現(xiàn)的，是對(duì)“正反例證”的內(nèi)部邏輯關(guān)系的批判與權(quán)衡.回問(wèn)調(diào)節(jié)“為什么是這樣”“而不是那樣”“還有更適合的途徑嗎”的過(guò)程就是重組性遷移的過(guò)程，包括方法的選擇、思想的統(tǒng)整、經(jīng)驗(yàn)的調(diào)節(jié)等正向遷移的關(guān)系特征，揭示元認(rèn)知調(diào)節(jié)的實(shí)體價(jià)值.

從經(jīng)驗(yàn)加工學(xué)角度來(lái)說(shuō)，重組性遷移[7]指重新組合原有認(rèn)知系統(tǒng)中某些構(gòu)成要素或成分，調(diào)整各成分間的關(guān)系或建立新的聯(lián)系，從而應(yīng)用于新情境.比如，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育中的變式教學(xué)，其中隱性變式（譬如，變化參數(shù)、微妙的省去某些條件、變化背景等）目標(biāo)，就是通過(guò)重組性遷移來(lái)實(shí)現(xiàn)的.在重組過(guò)程中，基本經(jīng)驗(yàn)成分（心理原型）不變，但各成分間的結(jié)合關(guān)系發(fā)生了變化（譬如，條件和結(jié)論交換類(lèi)變式等），即進(jìn)行了改造或重新組合.當(dāng)然改造和重組加工過(guò)程，必然有批判思維的參與，才有變式背景下的調(diào)節(jié)性遷移. 2 數(shù)學(xué)慢教育全程思維的范式與闡釋

慢教育背景下，全程思維起于數(shù)學(xué)理解，終于概念關(guān)系的把握.數(shù)學(xué)理解[8]是對(duì)知識(shí)的正確、完整、合理的表征.它決定知識(shí)獲得質(zhì)量的可靠性、可用性和靈活性，這些關(guān)乎質(zhì)量的質(zhì)量因素高度影響思維范式的運(yùn)行.數(shù)學(xué)慢教育全程思維范式涵蓋陳述化前概念認(rèn)知形態(tài)、程序化主概念認(rèn)知形態(tài)和遷移化后概念認(rèn)知形態(tài).三種認(rèn)知形態(tài)與知識(shí)加工的三個(gè)階段密切相關(guān).下面從實(shí)證層面，對(duì)全程思維范式的組成成分進(jìn)行闡釋.

2.1 陳述化加工啟動(dòng)前概念關(guān)系系統(tǒng)

數(shù)學(xué)科學(xué)不允許有前概念，但數(shù)學(xué)教育可以有前概念.在這里，慢教育認(rèn)知環(huán)境下，我們把前概念行為看作先行組織行為的一個(gè)例子.這樣，陳述化加工的具體材料就是前概念的背景知識(shí)，陳述化知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程就是前概念生長(zhǎng)的過(guò)程.為此，陳述化加工階段是慢教育全程思維的起始階段，也是前概念系統(tǒng)形成階段.

在知識(shí)加工的陳述化階段，慢教育全程思維通過(guò)類(lèi)比、舉例、歸納、猜想、比較等認(rèn)知加工過(guò)程，將大量不連續(xù)的、孤立的事實(shí)性知識(shí)組織成概念、原理、模型等概念性知識(shí).這些概念性知識(shí)帶有概念理解的初始狀態(tài)特征，是一種主概念的先行組織行為.比如，恰當(dāng)?shù)那榫尘褪乔案拍钜庾R(shí)的外在表現(xiàn).當(dāng)然，從客觀上來(lái)看，知識(shí)加工方式[9]分為理解性加工和支持性加工.從理解性加工方式來(lái)說(shuō)，陳述化加工啟動(dòng)了概念的前概念系統(tǒng).

數(shù)學(xué)慢教育全程思維在陳述化加工階段，是靠“問(wèn)題組塊”的運(yùn)行引動(dòng)前概念系統(tǒng)的.具體加工步驟如下：一是創(chuàng)設(shè)系統(tǒng)情境，激活前概念意識(shí)；二是加工先行組織材料，引動(dòng)前概念行為；三是分析解釋并符號(hào)化表征前概念屬性（模型），形成前概念產(chǎn)生式系統(tǒng).

比如，慢教育研究組在探索“一元二次方程”概念時(shí)，設(shè)計(jì)兩個(gè)維度的問(wèn)題組塊：

其一是，用類(lèi)比的方法基于數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系創(chuàng)設(shè)一元二次方程的前概念情境.即什么是一元一次方程？請(qǐng)寫(xiě)出1個(gè)一元一次方程；你能類(lèi)比一元一次方程概念，給出一元二次方程概念嗎？請(qǐng)寫(xiě)出3個(gè)不同形式的一元二次方程，并嘗試符號(hào)化表達(dá).

其二是，用還原概念的方法設(shè)計(jì)豐富的實(shí)際問(wèn)題情境，啟動(dòng)一元二次方程的前概念系統(tǒng).即讓學(xué)生通過(guò)對(duì)“正方形桌面問(wèn)題”“花圃圍欄問(wèn)題”“圖書(shū)冊(cè)數(shù)增長(zhǎng)率問(wèn)題”“梯子靠墻問(wèn)題”及其系列變式問(wèn)題的解決，建立一元二次方程模型.再讓學(xué)生嘗試用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表征，并符號(hào)化、一般化，終于一元二次方程概念的形成（ax2+bx+c=0，a、b、c為常數(shù)，且a≠0）.

從知識(shí)加工學(xué)來(lái)說(shuō)，加工數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系材料，前概念系統(tǒng)簡(jiǎn)單明了，但抽象思維水平高，需要類(lèi)比、比較以及特殊到一般等數(shù)學(xué)方法的支持，方能獲得高質(zhì)量的陳述性前概念.因此，第一個(gè)情境適合學(xué)優(yōu)生認(rèn)知加工.

而加工實(shí)際背景材料，前概念思維過(guò)程帶有“全程傾向”，即“實(shí)際問(wèn)題→建構(gòu)模型→拓展應(yīng)用與解釋”.思維加工水平起點(diǎn)低，適合“大眾思維”，但是抽象、表征、符號(hào)化以及辨析、舉例、類(lèi)化，需要元認(rèn)知監(jiān)控與調(diào)節(jié)，方能突破前概念的思維定勢(shì)，落實(shí)知識(shí)加工質(zhì)量的“可靠性”.綜上可知，“唯情境生活論”的知識(shí)加工思想“走偏”，需要根據(jù)學(xué)生的“數(shù)學(xué)事實(shí)”來(lái)確定情境創(chuàng)設(shè)走向；無(wú)論加工的材料是數(shù)學(xué)內(nèi)部的、還是外部的世界，都需要讓學(xué)生自主加工前概念模型，才能提升前概念生成的質(zhì)量，終于概念的前概念關(guān)系形成.

2.2 程序化加工定位主概念關(guān)系系統(tǒng)

心理學(xué)研究表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得程序性知識(shí)的質(zhì)量，是通過(guò)運(yùn)用概念和規(guī)則的精準(zhǔn)度來(lái)反映的.程序性知識(shí)[10]包括技能、算法和技術(shù)等，這個(gè)階段的認(rèn)知加工過(guò)程包括應(yīng)用（執(zhí)行和實(shí)施）、分析（區(qū)別、組織和歸因）與評(píng)價(jià)（檢查和評(píng)判）.數(shù)學(xué)慢教育重視程序性知識(shí)的獲得過(guò)程，強(qiáng)調(diào)通過(guò)程序性加工，人人獲得相應(yīng)水平的程序性知識(shí)（差異教學(xué)論）.也就是說(shuō)，給學(xué)生充分的領(lǐng)悟分析、簡(jiǎn)單應(yīng)用和適時(shí)評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì)，使其獲得應(yīng)會(huì)能會(huì)的程序性知識(shí)，體現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同層面發(fā)展的教育理念.

事實(shí)上，在我們獲得陳述性前概念后，需要進(jìn)行程序性加工，在獲得一定程序性心智技能前提下，前概念行為才自然轉(zhuǎn)化為主概念行為（譬如，一元二次方程的解法步驟等）.慢教育數(shù)學(xué)課堂，通常是通過(guò)變式練習(xí)加工，促進(jìn)程序性問(wèn)題解決產(chǎn)生式形成.這一階段，除了要重視練習(xí)的適度性、變式性和針對(duì)性以及層次性特征外，還需要巧妙的滲透方法程序性知識(shí)，才能提高個(gè)體生產(chǎn)的程序性知識(shí)的質(zhì)量（能夠用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?常用的方法程序性知識(shí)[11]有分析與綜合、比較與分類(lèi)、抽象與概括、歸納與演繹、系統(tǒng)化與具體化、抽象、模型化、及其驗(yàn)證.

比如，慢教育研究組在探索“一元二次方程的解法”時(shí)，就是遵循程序性知識(shí)加工的規(guī)律，定位主概念系統(tǒng)的關(guān)系（直接開(kāi)平方法、配方法、求根公式法和因式分解法之間的邏輯關(guān)系）.具體實(shí)施步驟如下：一是讓學(xué)生任意寫(xiě)出1個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次方程表達(dá)式；二是讓學(xué)生在自修的基礎(chǔ)上，自主探索這些方程的可能解法；三是讓學(xué)生借助合作交流平臺(tái)，概括質(zhì)疑解法步驟以及根的狀態(tài)；四是教師進(jìn)行針對(duì)性理答并滲透方法程序性知識(shí)，主要是集中指向分析與比較、概括與歸納、模型化與解釋等程序；最后是讓學(xué)生在“正本清源”的元認(rèn)知監(jiān)控中，獲得系統(tǒng)的適配的一元二次方程的解法.

如果說(shuō)第一步是前概念加工轉(zhuǎn)化為主概念加工的“立交橋”形態(tài)，那么第二、三步是程序性加工的主概念行為，也是主概念定位的關(guān)鍵階段，而第四、五步則是主概念產(chǎn)生式系統(tǒng)高質(zhì)量形成的重要標(biāo)識(shí).就理解性加工來(lái)說(shuō)，第一步是目標(biāo)加工的起始狀態(tài)，第二、三步是過(guò)程性目標(biāo)狀態(tài)，第四、五步則是結(jié)果目標(biāo)狀態(tài)的產(chǎn)物，終于“大概念”關(guān)系的加工與理解.就支持性加工來(lái)說(shuō)，第一步為程序性加工提供先行組織材料；第二、三步是程序性知識(shí)獲得的關(guān)鍵思維事件（歸納、變式與優(yōu)化）；第四、五步是在元認(rèn)知監(jiān)控下的逆向思維加工，終于落實(shí)全程思維范式的題旨（解法選擇力），標(biāo)志概念的主概念系統(tǒng)關(guān)系的建立（雙向回流力）.

2.3 遷移化加工聯(lián)結(jié)后概念關(guān)系系統(tǒng)

遷移在學(xué)習(xí)中普遍存在，是一種認(rèn)知活動(dòng)對(duì)另一種認(rèn)知活動(dòng)的客觀影響，或者是習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)完成其他活動(dòng)的主觀影響.數(shù)學(xué)解題學(xué)中的“會(huì)一題，通一類(lèi)，連一片”就是遷移的典型正例.通過(guò)遷移，各種經(jīng)驗(yàn)得以溝通，經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)得以整合.就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，這也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》為什么強(qiáng)調(diào)“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教”的心理依據(jù).數(shù)學(xué)慢教育突出了學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的遷移作用，尤其是慢課堂教學(xué)的后半段，重視知識(shí)的連續(xù)性教學(xué)，強(qiáng)調(diào)后概念的發(fā)生作用，終于遷移加工對(duì)后概念系統(tǒng)形成的聯(lián)結(jié)作用.

實(shí)踐證明，遷移化加工與后概念系統(tǒng)的聯(lián)結(jié)作用顯著相關(guān).就這一觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，也是慢課堂教學(xué)為什么非常重視教學(xué)環(huán)節(jié)過(guò)渡、章節(jié)體系過(guò)渡的根本原因.一般方法意義，遷移加工是靠模型化加工、系統(tǒng)的問(wèn)題解決加工和元認(rèn)知加工來(lái)實(shí)現(xiàn)的.數(shù)學(xué)慢教育課堂環(huán)境下，遷移加工有三個(gè)層次：一是通過(guò)模型加工，獲得解決變式問(wèn)題的基本套路（經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)）；二是通過(guò)問(wèn)題解決加工，獲得以概念關(guān)系為指向的新問(wèn)題解決策略；三是通過(guò)元認(rèn)知加工，獲得以思想方法為線索的后概念體系的完備性.這些層次常因常態(tài)課堂的“趕進(jìn)度”“抓容量”而消退，是慢教育課堂實(shí)現(xiàn)教學(xué)遷移的可靠方法.

比如，數(shù)學(xué)慢教育研究組在探索“一元二次方程”概念起始課教學(xué)時(shí)，就是從上述三個(gè)層次進(jìn)行過(guò)渡性“結(jié)課”，提高認(rèn)知遷移加工的質(zhì)量.具體實(shí)施如下：其一是，讓學(xué)生任意寫(xiě)出1個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次方程，給這一方程模型賦予適當(dāng)?shù)膯?wèn)題背景并求解解釋?zhuān)黄涠?，讓學(xué)生刻畫(huà)課本提供的實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合算術(shù)平方根的意義，嘗試尋求一元二次方程解法；其三是，讓學(xué)生回歸總結(jié)，在以前哪些知識(shí)學(xué)習(xí)中，用了類(lèi)比化歸以及由特殊到一般的思想方法.這里，“寫(xiě)方程→賦背景→尋求解釋”的過(guò)程，屬于模型加工化遷移過(guò)程，反映單元后概念體系聯(lián)結(jié)關(guān)系；“刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系→探求解法”，屬于問(wèn)題解決加工化遷移，反映章節(jié)后概念體系聯(lián)結(jié)關(guān)系；“概括思想方法→回歸思想方法體系”本身就是由一般到特殊思想的具體化行為，屬于元認(rèn)知監(jiān)控范疇，反映教科書(shū)后概念體系聯(lián)結(jié)關(guān)系.無(wú)論是哪種性質(zhì)的遷移加工，抑或是哪種后概念聯(lián)結(jié)關(guān)系的生長(zhǎng)，最終都為提高知識(shí)獲得質(zhì)量的靈活性目標(biāo)服務(wù)，終于實(shí)施全程思維范式的實(shí)踐創(chuàng)造價(jià)值.

另外，全程思維范式不止于思維學(xué)的教育作用，還在于方法學(xué)的統(tǒng)整價(jià)值.這里，源于“做”文題旨不同，暫時(shí)不予研究，后續(xù)單獨(dú)研究.

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