我們的解題教學(xué)缺少什么？

【摘 要】 解題教學(xué)的核心價值是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.但在教學(xué)過程中，教師卻難以把理念轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)行為.解題教學(xué)應(yīng)該教什么？怎樣教？缺乏深層次的思考是造成解題教學(xué)缺失的主要原因.

【關(guān)鍵詞】 解題教學(xué)；教學(xué)行為；教學(xué)缺失

2015年11月16日，舟山市普陀區(qū)教研室舉行課堂教學(xué)藝術(shù)周活動，數(shù)學(xué)學(xué)科活動主題是“一題一課”同課異構(gòu)的課堂教學(xué)觀摩與評比，賽課對象為青年教師，授課對象是八年級學(xué)生，并邀請市、區(qū)學(xué)科帶頭人參加觀摩與評比.參賽教師在課前2小時抽題，然后以此題為藍(lán)本設(shè)計一節(jié)課，并進(jìn)行課堂展示.通過現(xiàn)場展示與觀摩，筆者發(fā)現(xiàn)部分青年教師對“一題一課”的開發(fā)缺乏經(jīng)驗，對“解題教學(xué)應(yīng)該教什么、怎樣教”缺乏深層次的思考.本文結(jié)合某個教師的教學(xué)案例，談?wù)勛约旱乃伎?

賽題呈現(xiàn) 如圖1，等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED=EC，猜想線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由.

1 教學(xué)案例——教師在教什么？

1.1 教學(xué)片斷

設(shè)置臺階，讓學(xué)生突破思維障礙.

問題1，如圖2，等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED=EC，猜想線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由.

教師：根據(jù)已知條件，你能猜想線段AE=DB嗎？

學(xué)生1：AE=DB.

教師：你能證明AE=DB嗎？

學(xué)生1：如圖2，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠D=∠BCE=30°，可得∠DEB=30°，從而求得BD=BE即可.

教師肯定了學(xué)生1的解法后，又提示還可以用△DBE的外角∠ABC來思考問題.接著，進(jìn)一步提出問題2（即賽題，以下同）.

學(xué)生能馬上判斷結(jié)論“仍然成立”，但沒有立刻給出證明思路，于是教師讓學(xué)生先做，大約3分鐘后，有學(xué)生回答：

學(xué)生2：如圖2，過點(diǎn)E作BC的平行線EF，先證△AEF是等邊三角形，得AE=EF，再證△DEB≌△ECF，得BD=EF即可.

學(xué)生3：如圖2，其實(shí)也可以過點(diǎn)E作EG∥AC交BC于G，證明方法與學(xué)生2相同.

教師：還有別的證法嗎？（于是學(xué)生紛紛嘗試，片刻后有學(xué)生回答）

學(xué)生4：過點(diǎn)D作DA′∥AC，交AB的延長線于點(diǎn)A′，得∠A=∠A′=∠DBA′=60°，可證△EA′D≌△CAE，所以DB=AD′=AE.

教師小結(jié)：有了問題1的探究活動體驗和思維活動鋪墊，問題2中存在的思維障礙獲得突破，問題自然迎刃而解.

然后，教師借用學(xué)生2用作平行線的方法對問題2解答，并作出適當(dāng)變式. 圖3

變式1 如圖3，等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB延長線上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，

（1）求證：AE=BD.

（2）若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長.

變式2 如圖4，等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線CA延長線上運(yùn)動，在線段BC上取一點(diǎn)D，使DC=AE，求證：BE=DE.

師生一起在探索與練習(xí)中結(jié)束了本節(jié)課.

1.2 教學(xué)評析

由于賽題中△DEB與△AEC不全等，按學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維水平，很難找到解決問題的突破口，參賽教師在教學(xué)之前設(shè)計問題1，為學(xué)生設(shè)置臺階，讓學(xué)生突破思維障礙.但從問題1解決中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生自然想到根據(jù)等腰（或等邊）三角形的性質(zhì)來證明，并沒有利用添輔助線的方法去解決，這樣的臺階設(shè)置不僅對培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)沒有幫助，而且降低了思維要求.

由于點(diǎn)E是動點(diǎn)，猜想：你能猜想線段AE與DB相等嗎？從特殊出發(fā)想一般，如果點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)？這樣引入是否會更好？再對特殊情況，讓學(xué)生開展廣泛討論，可以有哪些不同的方法？先猜想，再從特殊點(diǎn)出發(fā)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

從本課例看，教師能引導(dǎo)學(xué)生先做，從不同角度思考問題，得出不同的解法，讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題過程的交流，這有利于學(xué)生體會從不同的角度思考問題，值得好評.但從課堂互動分析，學(xué)生的主要收獲是認(rèn)識各種解題思路，而非怎樣獲得解題思路！也就是說，教師教的是解題思路，而不是怎樣獲得解題思路.筆者認(rèn)為，這是造成解題教學(xué)缺失的主要原因.

2 案例分析——教師應(yīng)該怎樣教？

2.1 教師講題水平的分析

解題教學(xué)的核心價值是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.但在教學(xué)過程中，教師卻難以把理念轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)行為，講題水平也存在著較大的差異，呈現(xiàn)出以下四級水平：

第Ⅰ級水平：粗略審題后，只交待“怎樣解”或直接問學(xué)生“怎樣解”，（個別、部分）學(xué)生作答，幾乎沒有分析，解前無解題計劃.

第Ⅱ級水平：有審題過程，有一點(diǎn)分析，但解題思路未全出（解題計劃未完全形成）或問學(xué)生“你是怎么想的？”學(xué)生說了點(diǎn)想法.

第Ⅲ級水平：有審題過程，給出了整個分析，解題思路已清楚了，形成了解題計劃，

才進(jìn)入解答或問學(xué)生“應(yīng)該（可以）怎樣去想？你為什么要這樣去想？”.

第Ⅳ級水平：完成第Ⅲ級水平，審題——分析思路——實(shí)行解答后還能帶領(lǐng)學(xué)生反思

回顧：“從這個題目中，我們學(xué)到了什么？——知識上、方法上，此類情況下，應(yīng)注意些什么？”

2.2 教師應(yīng)該怎樣教？

一個合格的教師至少要達(dá)到上述第Ⅲ級水平.比如，案例中的教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生2思考：你是怎樣想到要作平行線的呢？

如圖5，先從問題的目標(biāo)出發(fā)思考，要證∠DEB=∠ACE，由于這兩個角分布在不同的三角形中，最好能證三角形全等，很明顯，△BDE與△ACE不全等，考慮構(gòu)造一個三角形，使其與△BDE全等，且∠ACE與∠DEB是對應(yīng)角.

再看問題的條件，因為ED=EC，最好構(gòu)造出的三角形是以EC為一邊，并使它與ED成對應(yīng)邊.這樣就要求在AC上找一點(diǎn)A′，使∠A′EC=∠D=∠ECB，∠BED=∠A′CE.于是就自然想到作BC的平行線EA′.由△BDE≌△A′EC還可以進(jìn)一步得到BD=EA′，從而再根據(jù)等邊△AEA′證明BD=EA′=AE.

其余兩種思路（學(xué)生3、4）也可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類似的分析.

上述幾種解法都是通過添平行線來構(gòu)造全等三角形，實(shí)質(zhì)是構(gòu)造角相等作輔助線.即以一個三角形為基準(zhǔn)，改造另一個三角形，通過添不同的輔助線，找到一個與基準(zhǔn)三角形全等的三角形，從而獲得證明.

另外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考：證明線段相等有哪些方法？你是怎樣思考的？是否可以同時改造兩個三角形，使它們分別與另一組的兩個三角形全等？

如圖6，過點(diǎn)D作DA′⊥直線AB，垂足為點(diǎn)A′，過E作EG⊥直線AC，垂足為點(diǎn)G，易證△EDA′≌△CEG，得出DA′=EG，再證△AEG≌△BDA′，從而得到AE=DB.

這種證法的思路是保留原來相等的一組角，還保留已知相等的一組對邊（或保留求證相等的一組對邊），利用作垂線“封口”制造一組全等的直角三角形.

3 教學(xué)反思——解題教學(xué)缺少什么？

3.1 缺少思考——解題思路是如何想到的

在對解題思路探尋的深刻剖析中，思考教學(xué)生如何想，在問題的深入研究后，利用多解、變式、拓展，思考教學(xué)生如何深入的想.教學(xué)片斷把教學(xué)重點(diǎn)放在解題過程的交流上，其重要原因是沒有在解題教學(xué)中教給學(xué)生最關(guān)鍵的東西——怎樣想到解題思路.在案例分析中，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會思考：“你怎樣想到要作平行線的呢？”，要求學(xué)生講思考過程，充分暴露學(xué)生的思維過程；還提出“證明線段（或角）相等有哪些方法？”，“怎樣構(gòu)造一對全等三角形”，“三角形全等的條件充分嗎？”等問題都在引導(dǎo)學(xué)生思考，而不應(yīng)由教師直接給出解題思路.

3.2 缺少追問——在關(guān)聯(lián)點(diǎn)處深度追問

在一題多解的教學(xué)環(huán)節(jié)中，需要對問題本身適度的追問：如教學(xué)片斷中，在學(xué)生4作過點(diǎn)D作DA′∥AC交AB的延長線于點(diǎn)A′的證明后，教師在肯定學(xué)生4添加平行線方法的同時，應(yīng)該繼續(xù)追問：如過點(diǎn)D還能作什么樣的輔助線，作∠EDA′=∠AEC，或過點(diǎn)D作DA′=DB交直線AB于點(diǎn)A′，能否構(gòu)造△EA′D≌△CAE.從不同的思維起點(diǎn)出發(fā)思考問題，能讓學(xué)生走向問題的深度，解題教學(xué)自然也能追求一定的教學(xué)深度.

33 缺少挖掘——對習(xí)題功能的挖掘

對習(xí)題教學(xué)來說，不僅要通過一題多變，將問題從特殊引向一般，訓(xùn)練思維的深刻性、發(fā)散性，還要注意一題多解的訓(xùn)練，訓(xùn)練同一問題的多樣化求解.參賽教師都對原題作了一題多解或一題多變.從現(xiàn)場觀摩來看，部分教師對原題作了適度的挖掘. 圖7

例如：如圖7，由于∠A=60°，∠DBE=120°=∠A的補(bǔ)角，可延長CA，構(gòu)造△ED′A與△DBE全等.

其實(shí)，也可以利用等腰三角形的軸對稱性、旋轉(zhuǎn)不變性或代數(shù)計算的方法對賽題進(jìn)行挖掘.

①利用等腰三角形的軸對稱性

如圖8，將△DBE沿其對稱軸翻折，ED與EC重合，EB與EB′重合，DB與CB′重合，易證△EB′B為等邊三角形，推出BE=BB′.再根據(jù)BA=BC，可證出AE=CB′=CB. 圖8 圖9

②利用旋轉(zhuǎn)不變性

如圖9，將△AEC繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BE′C，因為CE=CE′，∠ECE′=60°，所以△CEE′是等邊三角形，所以EE′=EC=ED，∠BEE′+∠E′EC=∠BEC=∠A+∠ACE，而∠E′EC=∠A=60°，所以∠BEE′=∠ACE=∠DEB，故△DBE≌△EE′B.

③代數(shù)計算 圖10

如圖10，過E點(diǎn)作EQ⊥CD，過A作AP⊥直線EQ于點(diǎn)

P，設(shè)等邊三角形邊為a，AP=b，依題意可得AE=2b，BE=a-2b，BQ= a 2 -b，而CQ= a 2 +b，ED=EC，所以DQ=CQ= a 2 +b，所以BD=DQ-BQ=2b，所以AE=BD.

在一題多變方面，由于課堂教學(xué)對象是八年級學(xué)生，所以教師對一題多變只停留在利用三角形全等加以證明的變式上（即變式1、變式2），但從活動訪談中發(fā)現(xiàn)教師對習(xí)題的挖掘深度不夠.其實(shí)，只要將等邊三角形弱化為等腰三角形，稍改變條件和結(jié)論，就能挖掘出許多命題. 圖11

變式3 如圖11，△ABC為等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線CB的延長線上，且ED=EC，問當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上運(yùn)動時，AE與DB的比值是否變化？請說明理由.

先討論E在線段AB上，其它情況一樣考慮.如果想知道AE與DB的比值與什么有關(guān)？可以先讓點(diǎn)動起來，讓E點(diǎn)與B重合，則AE=AB，DB=BC，故AE與DB之比為AB與BC之比，故猜測結(jié)論是 AE DB = AB BC .

可由上述幾種證法進(jìn)行證明.但考慮到對應(yīng)邊成比例，則需要用到相似三角形知識，應(yīng)作相應(yīng)的修改.

證明 如圖6，過點(diǎn)D作DA′⊥直線AB，垂足為點(diǎn)A′，過E作EG⊥直線AC，垂足為點(diǎn)G，易證△EDA′≌△CEG，得出DA′=EG，再利用三角函數(shù)，得AE= EG sinA ，DB= DA′ sin∠ABC ，所以 AE BD = sin∠ABC sin∠A ，而 AB BC = sin∠ABC sin∠A ，所以 AE BD = AB BC .

變式4 如圖11，△ABC為等腰三角形，AB=AC，∠BAC=θ，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線CB的延長線上，且ED=EC，問當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上運(yùn)動時，請用含θ代數(shù)式表示AE與DB的比值.

（1）如圖10，設(shè)AP=a，BQ=b，BC=2a+2b，CQ=2a+b=DQ，BD=2a，而AE= AP sin ∠BAC 2 = a sin ∠BAC 2 ，所以 DB AE =2sin ∠BAC 2 = BC AB ，得出 AE BD = 1 2sin θ 2 .

（2）如圖6，由上述證明得出DA′=EG，再利用三角函數(shù)，得AE= EG sinA ，DB= DA′ sin∠ABC ，所以 AE BD = sin∠ABC sin∠A = sin（90°- θ 2 ） sinθ .

（注：高中階段可以證明 sin（90°- θ 2 ） sinθ = 1 2sin θ 2 ）.

賽題看似簡單，深入探究后，發(fā)現(xiàn)涉及等邊（或等腰）三角形、全等三角形、相似三角形、直角三角形、三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)及判定等一些核心知識.解答此題，學(xué)生要經(jīng)歷觀察、比較、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程.在教學(xué)中利用多解、變式、拓展，自主“構(gòu)建”符合其認(rèn)知水平的知識體系，進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)思維層次.

解題教學(xué)的關(guān)鍵是要教學(xué)生“怎樣想”而非只是“怎樣做”，并引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃解題思路過程和思考方法.從案例中可以發(fā)現(xiàn)，教師把解題教學(xué)重點(diǎn)放在解題過程的交流上，這種現(xiàn)象在平時的教學(xué)實(shí)踐中普遍存在，在今后的教學(xué)中要引起足夠的重視.

作者簡介 朱成成，男，1974年3月出生，浙江普陀人，普陀區(qū)東港中學(xué)教務(wù)處副主任，中學(xué)一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)管理及數(shù)學(xué)命題與評價研究.