數(shù)學軟件輔助高等數(shù)學教學的應用探索

劉 尚,周富照,黃創(chuàng)霞,吳志虎

(1.長沙理工大學 數(shù)學與計算科學學院,長沙 410114; 2.中南大學 信息科學與工程學院,長沙 410083)

?

數(shù)學軟件輔助高等數(shù)學教學的應用探索

劉 尚1,周富照1,黃創(chuàng)霞1,吳志虎2

(1.長沙理工大學 數(shù)學與計算科學學院,長沙 410114; 2.中南大學 信息科學與工程學院,長沙 410083)

摘 要:根據(jù)目前高等數(shù)學教學現(xiàn)狀,在教學中充分利用現(xiàn)代信息化教育技術,將高等數(shù)學的主要教學內容分成幾個模塊,合理適當?shù)乩脭?shù)學軟件輔助高等數(shù)學教學,借助數(shù)學軟件強大的圖像功能、計算功能以及分析功能改善現(xiàn)代課堂的教學模式.加強學生在課堂教學中的參與性,激發(fā)學生學習興趣,提高學習效果.進一步提高學生的數(shù)學建模能力,培養(yǎng)學生的實踐應用能力和創(chuàng)新能力.

關鍵詞:高等數(shù)學; 數(shù)學軟件; 教學效果; 創(chuàng)新能力

1　高等數(shù)學教學現(xiàn)狀分析

高等數(shù)學是高等院校大多數(shù)專業(yè)必修的一門重要基礎課,由于其邏輯性強,具有較高的抽象性,內容多而授課學時相對較少,一直以來都被公認為是教師難教,學生難學的一門課程.高等數(shù)學知識掌握的好壞,直接影響學生后繼各理工科專業(yè)課程的學習,這是因為高等數(shù)學所授內容是理工科各專業(yè)學習研究中最基礎的數(shù)學知識.然而在高等數(shù)學的教學中,與高等數(shù)學重要性相對的卻是學生學習積極性不高,興趣缺乏,教學質量不高,甚至一部分基礎較差的學生由于無法接受所學知識,對數(shù)學學習完全失去了信心,干脆不學,使得考試及格率不高.

通過對學生的調研,我們發(fā)現(xiàn)在高等數(shù)學學習中主要存在以下幾個方面的問題: 第一,內容多,速度快.由于學時的限制,要在有限的時間內,學完如此多的知識,沒有預留學生思考的時間,必然導致理解困難,跟不上進度,學習興趣不高; 第二,教學內容枯燥,抽象性強,理解困難; 第三,數(shù)學知識的運用不清晰.學生只感覺學到一些概念公式、定理以及做了大量的習題,對于為什么學習數(shù)學,怎么運用數(shù)學解決實際問題卻不是很清楚; 第四,教學手段單一.針對上述問題,如何改變這種教學現(xiàn)狀,提高學生學習的積極性,提高課堂教學效果和教學質量,這些都是國內外數(shù)學教育工作者一直在積極探討和解決的問題[1～3].

我們提出將數(shù)學軟件與高等數(shù)學教學內容有機結合,充分利用學校建立的數(shù)學建模與創(chuàng)新教育基地,對理工科學生進行數(shù)學軟件在高等數(shù)學教學中的應用探索.一方面,在高等數(shù)學教學內容中把數(shù)學建模最基本的內容和方法融入其中.在教學手段上以Matlab,Mathematica等數(shù)學軟件為工具,在課堂上進行演示性數(shù)學實驗教學.對高等數(shù)學的重點內容如: 函數(shù)導數(shù)、函數(shù)積分、函數(shù)極值等數(shù)值計算問題,編寫簡單的數(shù)學程序,繪制重要的平面函數(shù)圖像及曲面圖形.另一方面階段性的讓學生借助數(shù)學軟件,自己上機演算數(shù)學問題,進行實踐性操作,動腦、動手解決與專業(yè)結合的實際問題[4],讓學生獲得成就感,調動學生的學習興趣,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)創(chuàng)新能力等綜合能力.總之,利用數(shù)學軟件輔助高等數(shù)學的教學,將會在很大程度上降低教與學的難度,縮小數(shù)學理論與數(shù)學應用之間的距離,提高學生學習數(shù)學的興趣,進一步提高數(shù)學教學的效果和教學質量.

2　數(shù)學軟件輔助高等數(shù)學教學的重要性

利用現(xiàn)代計算機技術,將計算機軟件與高等數(shù)學教學相結合,已成為教學改革的熱點.現(xiàn)代社會已進入電子信息技術時代.隨著現(xiàn)代信息技術的不斷發(fā)展,計算機軟件的不斷升級換代,為大學數(shù)學的教與學提供了優(yōu)越的條件.將常用的數(shù)學軟件融于高等數(shù)學的教學中,是數(shù)學教學發(fā)展的必然趨勢.將數(shù)學軟件內容融于數(shù)學課堂教學中,具有以下優(yōu)點.

(1)利用數(shù)學軟件輔助高等數(shù)學教學,能更好地促進師生之間的互動,有效地改善傳統(tǒng)教學的弊端[5].

(2)利用數(shù)學軟件強大的圖像功能,通過直觀圖形、動畫演示進行理論驗證與分析,使得高等數(shù)學教學更生動、直觀、形象.

(3)在高等數(shù)學教學中,借助數(shù)學軟件構建數(shù)學情景引入數(shù)學概念和數(shù)學方法,將抽象復雜的概念形象化、簡單化,彌補直接講授的抽象與乏味,讓學生盡量在快樂中學習,樹立學生學好高等數(shù)學的信心.

(4)利用數(shù)學軟件輔助高等數(shù)學教學,可以提高學生的計算能力,培養(yǎng)分析和解決問題的能力,進一步提高學生創(chuàng)新能力和實踐能力[6].

3　將高等數(shù)學內容分成幾個具體教學模塊,利用數(shù)學軟件輔助教學

我們通過對高等數(shù)學教學內容和教學課時的分析和研究,在高等數(shù)學教學過程中,將教學內容分成以下四個教學模塊,利用數(shù)學軟件設計相應的數(shù)值實驗,用以輔助高等數(shù)學教學.

教學模塊一: 函數(shù)極限.在教學過程中利用數(shù)學軟件編寫實驗程序,選取自變量的不同的變化趨勢,生成函數(shù)圖形,觀察相應的函數(shù)值的變化趨勢.通過描繪的函數(shù)圖形,分析和觀察函數(shù)連續(xù)性和間斷點.通過本模塊實驗對函數(shù)進行計算和作圖,加深對數(shù)列極限和函數(shù)極限定義本質的理解,學會求簡單函數(shù)極限的方法,深入理解函數(shù)的連續(xù)與間斷性質.

輸入>>syms n

limit((1+1/n)^n,n,inf)

輸出為:

ans=

exp(1)

>> ezplot('(1+1/x)^x',[1,200])

輸出圖形如圖1所示.從圖形中可以看出極限值為e.

>> ezplot('x*cos(x)',[0,20*pi])

輸出圖形如圖2所示.結合函數(shù)圖形,學生很容易理解此函數(shù)是無界函數(shù),但不是一個無窮大量.

圖1

圖2

教學模塊二: 函數(shù)求導.編程繪制函數(shù)在對應區(qū)間的圖形,求函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù),計算一階導數(shù),二階導數(shù)等于零的點,確定極值點、拐點、單調區(qū)間、凹凸區(qū)間,并在圖形上標示.利用這些分析使得學生掌握求導數(shù)的方法,掌握函數(shù)、導函數(shù)、切線的繪圖功能,通過軟件的數(shù)形結合功能使學生更好的掌握函數(shù)極值、最值、單調性、凹凸性等知識點.

圖3

輸入>> x=-4:0.1:4;

y=(1+x^2)^(?1);

y1=?(2*x)/(x^2 + 1)^2;

y2=(8*x^2)/(x^2 + 1)^3?2/(x^2 + 1)^2;

y3=zeros(1,length(x));

plot(x,y,'b?',x,y1,'g*',x,y2,'r:',x,y3)

輸出圖形如圖3所示.其中虛線是函數(shù)的二階導數(shù)y2,米子線是函數(shù)的一階導數(shù)y1,觀察二階導數(shù)的正負值與函數(shù)的凹凸之間的關系.

再次輸入

>> f=inline('(8*x^2)/(x^2 + 1)^3 - 2/(x^2 + 1)^2');

a1=fzero(f,[ ?4,0])

a2=fzero(f,[0,4])

輸出結果為:

a1 =?0.5774

a2 = 0.5774

得到二階導數(shù)等于0的點是?0.5774和 0.5774,可知在(?∞,?0.5774)和(0.5774,+∞)上二階導數(shù)大于零,曲線弧向上凹.在(?0.5774,0.5774)上二階導數(shù)小于零,曲線弧向上凸.

再次輸入

>> x= -0.5774;

>> f1=eval('1/(1+x^2)')

>> x=0.5774;

f 2=eval('1/(1+x^2)')

輸出結果為:

f1 = 0.7500

f2 =0.7500

這說明函數(shù)在x = -0.5774和x =0.5774的函數(shù)值都是0.75.因此兩個拐點分別是(?0.5774,0.75)和(0.5774,0.75).

教學模塊三: 空間圖形的繪制.利用繪圖命令,編寫實驗程序,實時生成曲線或曲面,改變曲面的參數(shù)值,改變色彩從不同角度觀察圖形.在同一坐標系下繪制不同的曲面圖形,選擇不同的顏色標注,并添加交線.了解繪圖命令,繪制空間曲面和曲線,通過作圖和觀察,深入理解多元函數(shù)的概念,柱面和旋轉曲面等二次曲面方程及圖形.提高空間想象能力,建立對空間解析幾何的深刻認識.

曲面參數(shù)方程為

輸入:

>> t=?pi/4:0.1:pi/4;

r=0:0.1:2*pi;

[r,t]=meshgrid(r,t);

x=sin(r).*sec(t);

y=cos(r).*sec(t);

z=3*tan(t);

surf(x,y,z)

輸出圖形如圖4所示.

教學模塊四: 無窮級數(shù)與泰勒展開.對已知級數(shù),求其和函數(shù)和收斂半徑; 對已知函數(shù)分別求不同階的泰勒展開式,通過作圖比較函數(shù)和它的近似多項式,并形成動畫進一步觀察對比.掌握求無窮級數(shù)和,冪級數(shù)的收斂域以及函數(shù)的泰勒展開的方法.

圖4

輸入>> for n=1:50;

a=1;

for m=1:n

a=a*10/m;end

plot(n,a,'*')

hold on

end

輸出圖形如圖5所示.

本題的求解調用MATLAB中的Maple內核,再次輸入:

clear;

s1=maple('sum(10^n/factorial(n),n=1..infinity)')

得級數(shù)和為

s1=exp(10)-1

圖5

4　結束語

將數(shù)學軟件融入高等數(shù)學教學,通過課堂提出問題,現(xiàn)場演示操作,讓學生參與進來,使他們直接面對自己的勞動成果.現(xiàn)在大部分學生都有電腦,課后通過設計一系列有實際應用背景的問題,引導學生參與操作,模擬過程,綜合抽象,延伸拓廣,通過對所得圖形、數(shù)據(jù)的觀察或演算,很大程度上能夠滿足他們的好奇心、求知欲和成就感.學生在這種探索分析和計算問題的過程中,能充分發(fā)揮學生主觀能動性,極大地提高學生的學習積極性,從而提高教學質量和教學效果.同時也為培養(yǎng)數(shù)學建模興趣和愛好奠定堅實的基礎,讓更多的學生選修數(shù)學實驗課和數(shù)學建模課,為全國大學生數(shù)學建模競賽挑選隊員儲備了人才.在教學中通過提出問題、發(fā)現(xiàn)問題,讓學生學會合作交流、自主探索,

培養(yǎng)學生的自主學習能力和質疑意識,鼓勵獨立判斷和批判性思維的建立[6].因為只有在尋求問題的解答和質疑的分析、驗證的過程中,在不同意見和觀點相互交流或交鋒的過程中,才能將新的思維認知融入到已有思維認知當中,才能真正培養(yǎng)出具有創(chuàng)新思維的適應21世紀社會和經(jīng)濟發(fā)展需要的新型復合型人才.

參考文獻

[1] 李甲聰.淺談高等數(shù)學的學習方法[J].科技創(chuàng)新導報,2009(24): 112

[2] 徐利治.關于高等數(shù)學教育與教學改革的看法及建議[J].數(shù)學教育學報,2009(2): 4～6

[3] 李士綺.數(shù)學教育心理匯[M].上海: 華東師范大學出版社,2001

[4] 劉 尚,張 麗,黃創(chuàng)霞,等.高等數(shù)學教學應與學生專業(yè)相結合[J].湖南人文科技學院學報20,2013,(3): 51～54

[5] 戴宏亮.運用多媒體改革高等數(shù)學課堂教學的實踐和認識[J].高等數(shù)學研究,2006(6): 54～56

[6] 劉雄偉,王 曉.高等數(shù)學實驗化教學模式的理論研究與實踐[J].高師理科學刊,2012(32): 75～78

Application of Mathematical Software on Advanced Mathematics Teaching

LIU Shang1,ZHOU Fu-zhao1,HUANG Chuang-xia1,WU Zhi-hu2
(1.Changsha University of Science and Technology,mathematics and computing science institute,Changsha 410114; 2.South Central University,school of information science and Engineering ,410083)

Abstract:Considering on the actual situation in the course of advanced mathematics,we can divide the teaching contents into several modules,so the teachers can take full advantage of modern educational technology,and mix some of the teaching contents with mathematical software.It can help to make up the shortcoming of multi-media instruction by the introducing of mathematical software because of its real-time and versatility.We can improve mathematics teaching mode by use of the strong ability of mathematical software on image processing,calculating and analyzing.Following this way,we can encourage the student to join in the teaching course,stimulate their interesting to study,improve the effect of learning.Furthermore,the mathematical modeling ability of students can be enhanced,and can help to cultivate their ability of practice and innovation.

Key words:advanced mathematics,mathematical software,teaching effect,innovation ability

作者簡介:劉 尚(1980?),女,湖南汨羅人,在讀博士,長沙理工大學數(shù)學與計算科學學院講師.主要研究方向: 偏微分方程數(shù)值解

基金項目:湖南省教育廳項目(09C058); 湖南省教育廳教改項目(湘教通【2012】401號); 湖南省教育廳普通高校教學改革研究立項基金項目(湘教通〔2015〕118號); 長沙理工大學教學改革研究項目(JG1443、JG1243); 2012年長沙理工大學校級研究生教改課題(10)

收稿日期:2015-10-02

中圖分類號:G642

文獻標識碼:A

文章編號:1672-5298(2016)01-0075-04