從公理化視角看待自然數(shù)及其算術(shù)運算

曾志斌

[摘 要]重溫了意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾的自然數(shù)公理系統(tǒng)，認(rèn)真研習(xí)并解讀了自然數(shù)公理化的定義，并在自然數(shù)基本定義和公理的基礎(chǔ)上，運用數(shù)學(xué)歸納法，對自然數(shù)加法和乘法的基本運算進(jìn)行了例證，從而探討皮亞諾自然數(shù)公理系統(tǒng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義.

[關(guān)鍵詞]自然數(shù) 算術(shù)運算 公理化

[中圖分類號] G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 16746058（2016）140003

人們從最基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)開始，直至高中及以后的學(xué)習(xí)中，都一直在接觸數(shù)學(xué)中自然數(shù)的概念及其算術(shù)運算.然而，為什么1+1=2，1+2=3，…；1×2=2，2×2=4；…它們是源自于純粹的實際生產(chǎn)生活的經(jīng)驗，還是建立在數(shù)學(xué)公理的基礎(chǔ)上推演獲得的結(jié)論呢？

一、自然數(shù)及其算術(shù)運算的產(chǎn)生

從人類具有原始的識別事物多寡的“數(shù)覺”，到抽象的“數(shù)”的概念的形成，記數(shù)經(jīng)歷了一個漫長的過程.當(dāng)人類的“數(shù)覺”越來越強(qiáng)烈和明確時，記數(shù)便伴隨著計數(shù)的發(fā)展而發(fā)展起來.從手指記數(shù)、石子記數(shù)、結(jié)繩記數(shù)和刻痕記數(shù)，記數(shù)經(jīng)歷了數(shù)萬年的發(fā)展，終于出現(xiàn)了書寫記數(shù)和相應(yīng)的記數(shù)系統(tǒng).此時的記數(shù)當(dāng)然是以“1”為基本單位的.這就是最早的自然數(shù)的產(chǎn)生.而后直至18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們都談不上有完整的數(shù)系概念和建立數(shù)系的企圖.在近代康托集合論產(chǎn)生之后，數(shù)學(xué)家們開始用集合論方法來定義自然數(shù)中的0，1，2，3…自然數(shù)的算術(shù)運算伴隨著自然數(shù)的產(chǎn)生和人們最原始的實踐經(jīng)驗而產(chǎn)生，人們對其法則和結(jié)果確信無疑.

二、自然數(shù)公理化系統(tǒng)建立的背景

數(shù)學(xué)的發(fā)展并非如原始的感受般那么自然.“數(shù)學(xué)的發(fā)展絕不是一帆風(fēng)順的，在更多的情況下是充滿猶豫、徘徊，要經(jīng)歷艱難曲折，甚至?xí)媾R危機(jī)……”隨著時代的發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)產(chǎn)生了許多令人們難以接受的概念和結(jié)論.比如，無理數(shù)2的出現(xiàn)，動搖了古希臘人對世界“萬物皆數(shù)”的信仰；無窮小量理解的混亂與定義的不嚴(yán)格，使得以其作為根基的微積分理論始終存在瑕疵；

羅素悖論使得當(dāng)時數(shù)學(xué)家們建立在康托集合論上的許多研究成果都面臨了基礎(chǔ)崩潰的尷尬.人們不得不重新考慮自然數(shù)的定義問題.特別是非歐幾何的出現(xiàn)，使人們不得不重新考慮自然數(shù)算術(shù)系統(tǒng)的相容性問題.19世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米、德國數(shù)學(xué)家克萊因等人先后在歐幾里得空間中給出了羅巴切夫斯基幾何的片段的模型，尤其是法國數(shù)學(xué)家龐加萊對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐氏模型，使羅氏幾何具有對歐氏幾何的相對相容性.通過解析法，可以建立歐幾里得幾何與實數(shù)系模型的對應(yīng)關(guān)系，而通過擴(kuò)充自然數(shù)系，可以得到實數(shù)系.于是，自然數(shù)算術(shù)系統(tǒng)是否相容成為數(shù)學(xué)上層建筑是否穩(wěn)固的關(guān)鍵，也成為數(shù)學(xué)家們迫切需要解決的問題.

而此時產(chǎn)生于實踐經(jīng)驗的自然數(shù)還沒有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)定義，用康托集合論給出的定義方法，又因為羅素悖論而受到置疑.自然數(shù)的一切性質(zhì)和算術(shù)運算規(guī)律被實踐所驗證，但無法進(jìn)行邏輯推演，無法證明其是否絕對相容.在這樣的背景下，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾撇開集合論的觀點，對已有的、實踐中產(chǎn)生的自然數(shù)的基本特點和性質(zhì)進(jìn)行了高度抽象的歸納.1889年，他在《算術(shù)原理新方法》中完成了對自然數(shù)的公理化處理，給出關(guān)于自然數(shù)的五條公理，創(chuàng)立了自然數(shù)的公理化定義.

三、自然數(shù)公理解讀及算術(shù)運算性質(zhì)的舉例證明

自然數(shù)的五條公理用非形式化的方法敘述為：

（1）0是自然數(shù)；

（2）每一個確定的自然數(shù)a都有一個確定的后繼數(shù)a′，a′也是自然數(shù)；

（3）0不是任何自然數(shù)的后繼；

（4）如果b，c的后繼都是a，則b=c；

（5）任何關(guān)于自然數(shù)的命題，如果對0真，并且如果對n真，則對n′也真，那么該命題對所有自然數(shù)都真.

下面筆者對這五條公理作一個簡單的分析和解釋.前兩個公理歸納了從“無”到“有”和如何延伸的原始經(jīng)驗，給出了起始元素和后繼定義，可是要完整描述自然數(shù)，這些還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.例如，可以構(gòu)造數(shù)字系統(tǒng)“1，0，1，0，…”來滿足公理（1）（2）的描述，其中，0的后繼數(shù)為1，1的后繼數(shù)為0.它只包含了兩個數(shù)，顯然不符合人們對自然數(shù)系統(tǒng)的期望.于是公理（3）對自然數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了限制，不允許0作為任何自然數(shù)的后繼.但是，前三條定理仍會產(chǎn)生新的問題.例如，可以構(gòu)造數(shù)字系統(tǒng)“0，1，2，2，…”其中，2的后繼也是2.在這樣的構(gòu)造例子中，看起來第三條定理只給我們的自然數(shù)系統(tǒng)多帶來了一個數(shù)字.為了杜絕此類漏洞，追求更嚴(yán)密的定義，皮亞諾引入了公理（4），使得不同數(shù)的后繼必不同，避免了上例中1和2的后繼都為2的可能.最后，為了排除一些非自然數(shù)的數(shù)（如0.5），也為了滿足制訂運算規(guī)則的需要，皮亞諾引入了公理（5），也就是歸納公理.于是，數(shù)學(xué)歸納法的正確性得到了保證.依據(jù)以上五條公理定義的自然數(shù)系的基礎(chǔ)，就可以定義自然數(shù)的基本算術(shù)運算.

首先，定義自然數(shù)加法是滿足下列兩條規(guī)則的二元運算：

（1）m∈N，0+m=m；對于任意一個自然數(shù)，0與這個數(shù)的和等于該數(shù).

第一條規(guī)則定義了自然數(shù)的加法零元——0.

（2）m，n∈N，n′+m=（n+m）′.對于任意兩個自然數(shù)m，n，n的后繼與m的和等于n與m的和的后繼.

這條規(guī)則使得任意兩個自然數(shù)的加法運算都能回歸到第一條規(guī)則，從而使運用數(shù)學(xué)歸納法推演所有自然數(shù)的加法運算成為可能.例如：

2+4=1′+4=（1+4）′=（0′+4）′=（（0+4）′）′=（（4）′）′=5′=6.

有了這兩條僅依賴于“后繼”關(guān)系的加法定義，就能確定任意兩個自然數(shù)相加的結(jié)果.筆者以五條公理和兩條加法規(guī)則為工具，對自然數(shù)加法的前兩個基本性質(zhì)做一個簡單的例證，其余性質(zhì)僅給出：

1.1+1=2.

證明：1+1=0′+1 （根據(jù)自然數(shù)公理）

=（0+1）′ （根據(jù)加法定義（2））

=1′ （根據(jù)加法定義（1））

=2 （根據(jù)自然數(shù)公理）

2.結(jié)合律：對于任意自然數(shù)m，n，k，有（m+n）+k=m+（n+k）.

證明：（1）當(dāng)m=0時，（0+n）+k=n+k=0+（n+k）；

（2）假設(shè)命題對m成立，則有：

（m′+n）+k=（m+n）′+k （根據(jù)加法定義（2））

=[（m+n）+k]′ （根據(jù)加法定義（2））

=[m+（n+k）]′ （根據(jù)假設(shè)條件）

=m′+（n+k） （根據(jù)加法定義（2））

即命題對m′也成立.

由（1）（2）可知，對于任意自然數(shù)m，n，k，結(jié)合律（m+n）+k=m+（n+k）成立.

3.對于任意自然數(shù)m，m′=m+1.

4.對于任意自然數(shù)m，m+0=m.

5.交換律：對于任意自然數(shù)m，n，有m+n=n+m.

其次，定義自然數(shù)乘法是滿足下列兩條規(guī)則的二元運算：

（1）對于任意自然數(shù)m，m·0=0；任意一個自然數(shù)與0的乘積都等于0.

（2）m·n′=m·n+m.

下面筆者以五條公理和規(guī)則為工具，對自然數(shù)乘法的一條基本性質(zhì)進(jìn)行例證，其余性質(zhì)僅給出：

1.乘法對加法的分配律：對于任意自然數(shù)m，n，k，有m·（n+k）=m·n+m·k.

證明：對n進(jìn)行歸納

（1）當(dāng)n=0時，m·（0+k）=m·k=0+m·k=m·0+m·k，命題成立；

（2）假設(shè)命題對n成立，則有

m·（n′+k）

=m·（n+k）′ （根據(jù)加法定義（2））

=m·（n+k）+m （根據(jù)乘法定義（2））

=（m·n+m·k）+m （根據(jù)假設(shè)條件）

=m·n+（m·k+m） （根據(jù)加法結(jié)合律）

=m·n+（m+m·k） （根據(jù)加法交換律）

=（m·n+m）+m·k （根據(jù)加法結(jié)合律）

=m·n′+m·k （根據(jù)乘法定義（2））

即命題對n′也成立.

由（1）（2）可知，對于任意自然數(shù)m，n，k，m·（n+k）=m·n+m·k成立.

2.乘法結(jié)合律：對于任意自然數(shù)m，n，k，有（m·n）·k=m·（n·k）.

3.對于任意自然數(shù)n，0·n=0.

4.對于任意自然數(shù)m，n，n′·m=n·m+m..

5.乘法交換律：對于任意自然數(shù)m，n，有m·n=n·m.

根據(jù)這個建立在公理基礎(chǔ)之上的自然數(shù)體系，可以通過定義減法得到整數(shù)系，定義除法得到有理數(shù)系.同時，通過定義有理數(shù)的基本序列的等價類（由康托提出）或者通過有理數(shù)集的分割（由戴德金提出）定義實數(shù).數(shù)學(xué)在數(shù)系擴(kuò)充的發(fā)展歷程中逐漸充實起來.

四、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中介紹皮亞諾自然數(shù)公理系統(tǒng)的意義

1.教育意義

當(dāng)前，高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，容易出現(xiàn)兩類極端現(xiàn)象：一類是崇尚捷徑，追求各種公式化和套路化，這類學(xué)生勤于做題，擅長解題，甚至還沒看完題目，就能報出答案，但是一旦問題條件有所變動，他們首先想到的不是如何重新思考、解決問題，而是認(rèn)為題目出錯了，完全忽略了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本源；另一類則是在枯燥的數(shù)學(xué)知識教學(xué)模式下，對數(shù)學(xué)感到畏懼，甚至視之為天敵，這類學(xué)生害怕思考，逃避數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，害怕一切形式的考查，最終喪失學(xué)習(xí)新知的興趣和能力.這顯然都不是數(shù)學(xué)教育的最終目的.而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)發(fā)展史，了解一些數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的由來和背景，能讓學(xué)生用心體會真正的數(shù)學(xué)思維過程，通過那一段段輝煌或蕭條的時代背景、一個個引人入勝的真實故事，揭示數(shù)學(xué)并非是枯燥乏味的，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，并使學(xué)生真正做到“知其然，知其所以然”.

2.學(xué)科意義

筆者在現(xiàn)在的大學(xué)生群體中做過一個小范圍的簡單調(diào)查：請調(diào)查對象說出自然數(shù)的定義.有部分調(diào)查對象思考一番后，說：“不知道.”有部分調(diào)查對象反問：“自然數(shù)還需要定義嗎？”大部分調(diào)查對象的回答是：“自然數(shù)就是0，1，2，3…”不論是不是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，都應(yīng)該

對從小就接觸的數(shù)學(xué)概念

有一個完整且準(zhǔn)確的了解.在當(dāng)前拓展延伸知識內(nèi)容、豐富學(xué)生知識面的目標(biāo)驅(qū)動下，適當(dāng)?shù)貙W(xué)科知識作進(jìn)一步的深入探究勢在必行.所以，在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中介紹自然數(shù)公理系統(tǒng)具有重要的學(xué)科意義.

3.傳承意義

數(shù)學(xué)史是整個人類文明史非常重要的組成部分.數(shù)學(xué)史的研究對象不僅包括數(shù)學(xué)內(nèi)容及其發(fā)展歷程，還涉及歷史、哲學(xué)、宗教、政治、經(jīng)濟(jì)等社會科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容.不了解數(shù)學(xué)史，就不可能全面了解人類的發(fā)展史.但從當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)狀況來看，不少有關(guān)數(shù)學(xué)史的知識都被授課教師忽略或者一筆帶過.這或多或少是因“以考定教”的現(xiàn)狀造成的.但從學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教學(xué)的促進(jìn)作用，認(rèn)真對待教材中的數(shù)學(xué)史知識，并結(jié)合學(xué)生的實際情況，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由欤`放數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力.

4.可行性意義

首先，高中生對自然數(shù)并不陌生，較容易接受這一公理系統(tǒng)的切入口.教師針對學(xué)生已經(jīng)習(xí)以為常的自然數(shù)算術(shù)運算進(jìn)行設(shè)問，容易激發(fā)學(xué)生的研究興趣.其次，皮亞諾自然數(shù)五條公理之間的邏輯關(guān)系其實也正對應(yīng)了人們對自然數(shù)的認(rèn)知層次，且高中生的知識能力水平

已達(dá)到一定層次，完全能夠理解和接受其中的演繹、推理過程.在自然數(shù)加法和乘法基本運算性質(zhì)的證明中使用的數(shù)學(xué)歸納法，本就是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容.這能充分讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)歸納法本身的運用絕不僅僅是解決課本上或習(xí)題集中的幾道題目，它在數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷程中扮演著重要的角色，從而使學(xué)生重新認(rèn)識課內(nèi)所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識.因此，

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中介紹皮亞諾數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)

在具備多種必要性意義的同時，還具有可行性.

五、結(jié)束語

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在他著名的講演《數(shù)學(xué)問題》中提出了23個問題，揭開了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的序幕.他在講演的開頭說：“我們當(dāng)中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域，新世紀(jì)將會帶來什么樣的新方法和新成果？”我們有理由相信，數(shù)學(xué)的發(fā)展將有更廣闊的天地，未來各個領(lǐng)域范圍內(nèi)的競爭必然在很大程度上受到數(shù)學(xué)發(fā)展的影響.我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙曾說：“如果說小學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)上是實用性數(shù)學(xué)，那么初中數(shù)學(xué)的本質(zhì)已經(jīng)是智力型數(shù)學(xué)了……有理數(shù)的運算、幾何論證、平行線與無理數(shù)的無限特性都超出了日常生活經(jīng)驗的范圍……怎樣設(shè)計教學(xué)？這是一個很大、很要緊的課題，那肯定需要創(chuàng)新，乃至形成中國數(shù)學(xué)教育的一種特色.”筆者認(rèn)為，這段話同樣適用于我國當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識和理論進(jìn)行更深入的探索和研究，引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)、了解相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的背景知識，可培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]（美）Howard Eves著，歐陽絳譯.數(shù)學(xué)史概論[M]（第六版）.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]（德）弗雷格著，王路譯.算術(shù)基礎(chǔ)[M].上海：商務(wù)印書館，1998.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）