向量空間理論的公理化研究

[摘 要]公理化方法是根據(jù)盡可能少的概念和彼此獨(dú)立的命題，通過嚴(yán)格的邏輯推理得到其他命題及結(jié)論，最終實(shí)現(xiàn)整個(gè)理論系統(tǒng)的構(gòu)建.公理化方法最具代表性的著作是歐幾里得的《幾何原本》，從實(shí)質(zhì)性公理化、形式公理化方法到現(xiàn)代形式公理化方法理論體系的建立和完善，許多數(shù)學(xué)家終生致力于探討新系統(tǒng)構(gòu)建的一般性和統(tǒng)一性，而向量空間理論體系的建立與發(fā)展正是公理化研究的典型縮影.其中，在現(xiàn)代向量理論體系的建立中，四元數(shù)的研究是重要推動(dòng)因素.皮亞諾、外爾、達(dá)布、舒馬克、維納等人在向量公理化的道路上提供了完善的理論支撐，做出了關(guān)鍵性的貢獻(xiàn).

[關(guān)鍵詞]向量空間;公理化;線性系統(tǒng);賦范向量空

[中圖分類號(hào)] O1-0;O183.1[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2021）08-0072-04

公理化是指根據(jù)盡可能精簡(jiǎn)的概念和盡可能獨(dú)立的命題，采用邏輯推導(dǎo)得到其他相關(guān)命題，最終建立起整個(gè)系統(tǒng)的過程.在向量理論被提出和發(fā)展的過程中，許多數(shù)學(xué)家不斷深化向量理論在數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，并在向量理論的基礎(chǔ)上研究、建立向量空間理論，探索向量空間理論的公理化.

古埃及和古巴比倫是文明的發(fā)源地，在數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程中起到了重要作用.古希臘哲學(xué)家、科學(xué)家泰勒斯（Θαλ??，Thalês，公元前624年-公元前547年），他收集、整理了關(guān)于幾何與計(jì)算的豐富資料后，將實(shí)際生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，上升為理論，這是數(shù)學(xué)史上的飛躍.泰勒斯對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的杰出貢獻(xiàn)是開創(chuàng)性地提出了命題證明的思想.只有論證、推理，才能確保命題的正確性，才能使數(shù)學(xué)具有理論上的嚴(yán)密性和應(yīng)用上的普適性.泰勒斯的積極倡導(dǎo)，為畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立理性的數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ).

在探索演繹證明的道路上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希波克拉茨（Hippocrates，約公元前 470年-430年）做出了重要工作，他所撰寫的《幾何綱要》開創(chuàng)了希臘公理化論著的先河.希波克拉茨由一個(gè)命題出發(fā)，通過邏輯推導(dǎo)，得出另一個(gè)命題.在證明過程中強(qiáng)調(diào)了邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性.柏拉圖的學(xué)生、著名數(shù)學(xué)家歐多克斯（Eudoxus，約公元前408年-前355年）處理不可公度比時(shí)，明確建立了以公理為依據(jù)的演繹法.

在前人研究的基礎(chǔ)上，先哲亞里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將研究對(duì)象進(jìn)行抽象化，不再局限于幾何，而是將真正的重點(diǎn)放在邏輯推導(dǎo)上.亞里士多德提出邏輯學(xué)理論，撰寫了《分析篇》，在歷史上第一次對(duì)公理化方法進(jìn)行了系統(tǒng)論述.

歐幾里得（Euclid，約公元前330年-前275）更是集大成者，在亞里斯多德、希波克拉茨、歐多克斯等人的研究基礎(chǔ)上，以公理化方法為工具，撰寫了史學(xué)巨著《幾何原本》.以5條公理、5條公設(shè)為前提，提出關(guān)于點(diǎn)、線、面23個(gè)定義，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出460余條結(jié)論，形成嚴(yán)密的邏輯演繹體系.《幾何原本》的誕生，標(biāo)志著實(shí)質(zhì)性公理化方法的創(chuàng)立， 是數(shù)學(xué)發(fā)展的不朽豐碑.

公理化方法自亞里士多德的《幾何原本》興起，在歐洲文藝復(fù)興時(shí)期迅速發(fā)展.十八、十九世紀(jì)，學(xué)術(shù)界對(duì)第五公設(shè)進(jìn)行了廣泛的探討，做出重要工作的有意大利數(shù)學(xué)家薩開利（G.Saccheri，1667-1733）、俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）等人.其中，羅巴切夫期基的重大學(xué)術(shù)成果《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》舉世聞名.在實(shí)質(zhì)性公理化發(fā)展的進(jìn)程中，非歐幾何、黎曼幾何、微分幾何粉墨登場(chǎng)、大放異彩.非歐幾何的建立標(biāo)志著實(shí)質(zhì)公理學(xué)向形式公理學(xué)過渡，表明人們的認(rèn)識(shí)已從直觀空間上升到抽象空間.

希爾伯特（Hilbert David，1862-1943）在此基礎(chǔ)上，提出了希爾伯特公理體系，首次提出了一個(gè)簡(jiǎn)明、完整、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交?，從此現(xiàn)代公理法思想進(jìn)入了新階段.范疇論的奠基人、同調(diào)代數(shù)的創(chuàng)立者塞繆爾 · 艾倫伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）是杰出的形式主義者，繼承了希爾伯特、艾米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）等人的理論研究，支持公理化統(tǒng)一論.許多數(shù)學(xué)家們聚焦于探討新系統(tǒng)構(gòu)建的一般性和統(tǒng)一性，向量空間理論系統(tǒng)也順應(yīng)了這一潮流.

向量空間是《高等代數(shù)》最為基本和重要的概念.向量空間的公理化始于格拉斯曼的《擴(kuò)張論》，盡管格拉斯曼的著作在當(dāng)時(shí)沒能產(chǎn)生巨大影響，他的論述太過艱深導(dǎo)致其他科學(xué)家望而卻步，使得從格拉斯曼發(fā)源的向量思想未能真正的大范圍被研究、完善和應(yīng)用.格拉斯曼給出一種線性結(jié)構(gòu)，用公理化方法介紹了研究對(duì)象的基本性質(zhì)，探討了進(jìn)行加、減、數(shù)乘和數(shù)除運(yùn)算這四種運(yùn)算定律.雖然現(xiàn)代向量理論與格拉斯曼系統(tǒng)是相互獨(dú)立的，格拉斯曼系統(tǒng)所描述的概念與現(xiàn)代向量空間理論有相當(dāng)大的區(qū)別，但是對(duì)現(xiàn)代向量空間公理化研究的起步而言，格拉斯曼的工作是具有前瞻性和啟發(fā)性的.

一、皮亞諾的線性系統(tǒng)研究

在格拉斯曼的工作基礎(chǔ)上，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G.Peano，1858-1932）于1888年出版了《幾何演算———基于格拉斯曼的<擴(kuò)張論>》.這部書主要對(duì)格拉斯曼的《擴(kuò)張論》進(jìn)行了評(píng)述，而在文章的末尾，作為總結(jié)部分，皮亞諾給出了蘊(yùn)含他自己獨(dú)立思想的、并被他稱為“線性系統(tǒng)”的第一個(gè)公理化定義.

皮亞諾所給出的公理化系統(tǒng)定義如下：

設(shè)存在這樣一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)滿足以下條件：

1.系統(tǒng)中兩個(gè)元素相等，記作[a=b];

2.系統(tǒng)中兩個(gè)元素相加，記作[a+b]，[a+b]也在這個(gè)系統(tǒng)之中，并且滿足：

[（a=b）<（a+c=b+c），a+b=b+a，a+（b+c）=（a+b）+c];

3.系統(tǒng)中存在兩個(gè)元素a和b，設(shè)m和n為正整數(shù)，有：

[（a=b）<（ma=mb）;m（a+b）=ma+mb;（m+n）a=ma+na;m（na）=（mn）a;1a=a.]其中元素ma表示正整數(shù)m和元素a的積;

4.系統(tǒng)中存在一個(gè)元素0，使得對(duì)任意系統(tǒng)中的元素a，總有0a=0（即元素0和元素a相乘，乘積總為0）.另外，[a-b]可以表示成[a+（-b）]，[a+0=a，a-a=0].

可以看到，皮亞諾對(duì)向量空間所做的公理化表述已經(jīng)很接近現(xiàn)代意義下的向量公理化.雖然和格拉斯曼系統(tǒng)有所相似，但更加簡(jiǎn)潔實(shí)用.從數(shù)學(xué)史上看，皮亞諾是第一個(gè)對(duì)線性系統(tǒng)做出公理化定義的數(shù)學(xué)家，他的研究對(duì)線性代數(shù)的發(fā)展意義重大.

1898年，皮亞諾將自己關(guān)于向量系統(tǒng)的公理化進(jìn)一步完善，提出了第二個(gè)線性系統(tǒng).他在幾何概念的基礎(chǔ)上陳述了十一個(gè)公理，運(yùn)用反向思維，準(zhǔn)備使用向量方法來讓幾何公理化.在他的公理中，前三個(gè)是在描述兩點(diǎn)間“等差”的概念，第四個(gè)說明了交換律的概念.從第五個(gè)開始涉及向量：5.若a是一個(gè)點(diǎn)，u是一個(gè)向量，則存在一個(gè)點(diǎn)b使[b-a=u];6.若a是一個(gè)正整數(shù)，u是一個(gè)向量，如果au=0，則u=0;7.若a是一個(gè)正整數(shù)，u是一個(gè)向量，則存在一個(gè)向量v使av=u;8.把向量u和v的內(nèi)積記作u|v，則u|v是一個(gè)實(shí)數(shù);9.內(nèi)積滿足u|v=v|u;10.內(nèi)積滿足（u+v）|w=u|w+v|w;11.內(nèi)積u|u是一個(gè)正實(shí)數(shù)（u[≠]0）.

皮亞諾的第二次公理化顯然是對(duì)他第一次公理化的完善和補(bǔ)充，他的第二次公理化已經(jīng)相當(dāng)接近現(xiàn)代意義下的向量公理化系統(tǒng)，但可惜的是他的理念在當(dāng)時(shí)并沒有得到廣泛傳播.當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家中只有羅素在他的著作《數(shù)學(xué)原理》中提到了皮亞諾的線性系統(tǒng)，并用向量的公理化定義來解釋歐幾里得空間，他的研究從某種意義上來講可以看作是對(duì)皮亞諾向量公理的詮釋.

二、達(dá)布、舒馬克與漢默爾的公理化工作

達(dá)布（Gaston Darboux，1842-1917）是法國(guó)著名數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)分析（積分、偏微分方程）以及微分幾何（曲線和曲面的研究）領(lǐng)域都有重要貢獻(xiàn).在1875年，他在論文《關(guān)于靜力的合成》中研究了向量公理化的另外一種方法.和皮亞諾的理念完全不同，他分析了力學(xué)中力的合成（即平行四邊形法則）的各種證明，運(yùn)用幾何方法處理問題，并設(shè)立了自己的一套系統(tǒng)：

給定以O(shè)為起點(diǎn)的n條有向線段，有如下四條公理：1.若任意改變分力的順序，合力不變;2.若各個(gè)分力繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)，合力不變;3.力的合成法則同樣適用于分力的代數(shù)加法運(yùn)算;4.合力的方向、大小可作為分力的連續(xù)函數(shù).

到了1903年，達(dá)布的四條公理被德國(guó)人舒馬克（Rudolf Schimmack，1881-1912）和漢默爾（Georg? Hamel，1877-1954）引用.

舒馬克在1903年和1908年分別發(fā)表了兩篇同名的文章《關(guān)于向量加法的公理化建立》.文中首先定義了向量，然后分析了達(dá)布的公理化系統(tǒng)并進(jìn)行討論，最后提出自己的觀點(diǎn)與結(jié)論，并將達(dá)布的4條公理拓展到7條.

比較達(dá)布和舒馬克的公理的不同之處，可以發(fā)現(xiàn)舒馬克把達(dá)布的第一條定理分成了三條來解釋，豐富了它的內(nèi)涵，三條定理分別解釋了向量加法的唯一性、向量的交換性和向量的可結(jié)合性.另外，舒馬克用兩條公理來詮釋達(dá)布的第三條公理.

漢默爾的主要工作是他證明了達(dá)布的第四條公理.1901年到1904年，漢默爾在他的導(dǎo)師希爾伯特影響下，發(fā)表了兩篇關(guān)于證明達(dá)布第四公理的文獻(xiàn)，并指出了達(dá)布第四定理的必要性和合理性.后一篇論文《所有數(shù)的基和代數(shù)函數(shù)方程[f（x+y）=f（x）+f（y）]的非連續(xù)解》在前一篇的基礎(chǔ)上完成，并且更加翔實(shí).漢默爾不僅針對(duì)代數(shù)函數(shù)方程進(jìn)行了非連續(xù)解的探討，同時(shí)還給出了函數(shù)方程的所有解，并予以嚴(yán)格證明.

達(dá)布、舒馬克和漢默爾的工作使向量公理化又往前邁了一大步.

三、外爾和有限維向量空間

盡管皮亞諾、達(dá)布、舒馬克和漢默爾等人在向量的公理化方面做了很多努力，取得了一些成果，但是向量空間公理化的重要性并沒有得到共識(shí)，以至于在接下來的一段時(shí)間里進(jìn)展緩慢.直到德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾（Hermann Weyl，1885-1955）的出現(xiàn)，終于打破僵局.他研究了實(shí)數(shù)域上的有限維向量，將向量與空間聯(lián)系在一起.

外爾在20世紀(jì)上半葉是影響最深遠(yuǎn)、研究最廣泛的數(shù)學(xué)家之一.他在分析學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、超復(fù)數(shù)、廣義微分幾何學(xué)等方面都有非常重要的成就.1918年，外爾的著作《空間，時(shí)間，物質(zhì)》出版.書中他以廣義相對(duì)論為基礎(chǔ)，采用新思維使向量空間公理化，將向量看作空間中的位移，把向量和空間中的點(diǎn)聯(lián)系到了一起.

進(jìn)而外爾把基向量看作一個(gè)n元組，利用坐標(biāo)來處理向量.他使用“張量”代替“向量”，從n維幾何概念開始，逐步討論了度量幾何、歐幾里得空間中的張量、非歐幾何的注釋、張量代數(shù)和張量分析等內(nèi)容.

從上述分析不難發(fā)現(xiàn)，外爾所做的工作實(shí)際上是現(xiàn)代意義下有限維向量空間公理化.

四、賦范向量空間和向量理論的完善

在外爾之后，哈恩（Hans Hahn，1879-1934）、維納（Norbert Wiener，1894-1964）和巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）等人都各自給出了向量空間公理化體系，他們完善了賦范向量空間，并且對(duì)泛函分析和拓?fù)鋵W(xué)有自己獨(dú)到的見解.

為了統(tǒng)一對(duì)奇異積分進(jìn)行處理，哈恩在1922年發(fā)表了論文《連續(xù)線性算子》.文中他將賦范向量空間稱之為“線性空間”，定義了指標(biāo)的完整性，并做了相應(yīng)的泛函分析.之后，哈恩又在“線性空間”中提出“范數(shù)”的概念，使線性空間成了可度量的空間.哈恩一直致力于研究不同的賦范向量空間，討論這些函數(shù)空間上的線性變換、線性子空間、收斂序列和算子等概念.

哈恩的工作傾向于現(xiàn)實(shí)分析，他對(duì)向量空間的公理化并沒有投入太多精力;外爾關(guān)心的則是射影幾何和數(shù)學(xué)物理方面;而維納則更關(guān)注泛函分析，他的研究涉及了大量的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，面向抽象空間.在1920年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，維納首次介紹了他的空間系統(tǒng)，他所給出的公理化定義其實(shí)與現(xiàn)代意義下的賦范空間非常接近，只是沒有提到其完備性.他的“向量系統(tǒng)”是包括點(diǎn)集K和向量集[σ]的系統(tǒng)，在其中他定義了向量加法[⊕]、純量乘法[?]以及模和范數(shù)[]的概念.

巴拿赫所做的研究工作在當(dāng)時(shí)所產(chǎn)生的廣泛影響是外爾、維納等人無法匹敵的.他在嚴(yán)格抽象的公理框架下建立了一個(gè)完備的賦范向量空間——巴拿赫空間.確切地說，巴拿赫空間具有完備的范數(shù)，它包括“實(shí)巴拿赫空間”和“復(fù)巴拿赫空間”，分別將向量空間建立在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上.此外巴拿赫空間將外爾的有限維空間擴(kuò)展到了無限維函數(shù)空間，深入的研究了空間拓?fù)?

1922年巴拿赫發(fā)表了一篇在1920年完成的博士論文，即《關(guān)于抽象集合上的運(yùn)算及其在積分方程上的應(yīng)用》，文中介紹了巴拿赫空間的公理化方法.另外，巴拿赫還在他1932年的著作《線性算子論》中總結(jié)了他關(guān)于賦范向量空間的所有成果，書中提到的關(guān)于泛函分析的拓?fù)涠ɡ?、共鳴定理和閉圖像定理等在今天也被廣泛采用，引導(dǎo)后世的數(shù)學(xué)家們研究基于向量空間和泛函分析的各種理論，具有很大的參考價(jià)值.

五、現(xiàn)代意義下的向量空間公理化定義

向量發(fā)展到21世紀(jì)，經(jīng)過多次完善，形成了現(xiàn)代意義下的向量空間.

設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)n維向量的非空集合，在V中定義了加法，即對(duì)于任意[α，β∈V]，存在[γ=α+β，γ∈V];在P與V之間還定義了數(shù)量乘法，即對(duì)于任意[k∈P，α∈V]，存在[δ=kα，δ∈V]與之對(duì)應(yīng)，[δ]稱為k與[α]的數(shù)量積.若加法與數(shù)量乘法這兩種代數(shù)運(yùn)算滿足8條公理，就稱V是數(shù)域P上的向量空間.

當(dāng)然，向量空間的公理定義不止這一種表述方法，它還有其他的一些同義的可以相互轉(zhuǎn)換的等價(jià)公理.這一現(xiàn)象存在的特殊性主要在于向量空間的定義并非完全獨(dú)立，若元素的加法交換律（公理1）成立，則零元素的存在性（公理3）和負(fù)元素的存在性（公理4）等價(jià).但若加法交換律不成立，兩者不等價(jià).這種不同也造成了加法交換律，即通常意義下的公理1獨(dú)立和不獨(dú)立的兩種情況.此外，公理3與4可以用其他命題等價(jià)替換.

基和維數(shù)將向量空間分為有限維和無限維向量空間，而解析幾何的需求使科學(xué)家們開始關(guān)心向量的度量性質(zhì)，從而衍生出內(nèi)積空間和賦范向量空間.

六、小結(jié)

不管基于向量的抽象空間公理定義如何拓展，向量空間的中心思想和內(nèi)涵是統(tǒng)一的.向量空間和基于向量空間的幾類空間構(gòu)成了整個(gè)向量理論和線性代數(shù)核心理論的基礎(chǔ)支架，一代代數(shù)學(xué)家經(jīng)過漫長(zhǎng)的研究最后形成了向量相關(guān)理論簡(jiǎn)潔、濃縮、實(shí)用的公理定義.向量空間的發(fā)展過程讓我們窺見數(shù)學(xué)之美麗深邃，而科學(xué)文化領(lǐng)域其他概念的發(fā)展大抵如此.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 王守峰，楊文鳳.同構(gòu)思想在高等代數(shù)和近世代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2019（6）：105-110.

[2] 王見勇.賦范錐到賦范線性空間的嵌入定理與賦范錐上的Hahn-Banach定理[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2017（6）：1040-1052.

[3] 沈婧芳，鄒庭榮.新時(shí)期大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特色之旅[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013（4）：13-15.

[4] 王維忠，梁力，范虹霞.關(guān)于工科院校線性代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)[J].大學(xué)教育，2020（1）：74-76.

[5] 沈婧芳，龍容，周碧涵.向量空間理論在中國(guó)的傳播進(jìn)程研究[J].中國(guó)農(nóng)村教育，2019（20）：212-213.

[6] 朱一心，海進(jìn)科，劉蕊，等.線性空間公理化定義研究及反例[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004（3）：1-9.

[7] 郭聿琦，劉海艷，冷靜.有限維線性空間上的極大線性變換群在幾個(gè)線性空間上的群作用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2019（5）：1-4.

[8] 黃勇.張量概念的形成與張量分析的建立[D].山西大學(xué)，2008.

[責(zé)任編輯：林志恒]