借助空間基本圖形提升學(xué)生空間想象能力

黃春霜

摘 要：空間想象能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤其是高中立體幾何學(xué)習(xí)中要求學(xué)生重點(diǎn)掌握的數(shù)學(xué)能力之一.幫助學(xué)生提升空間想象能力，將使學(xué)生在高考立體幾何部分的考查中更加得心應(yīng)手.

關(guān)鍵詞：基本圖形；空間想象能力；內(nèi)在關(guān)系；轉(zhuǎn)化與化歸

學(xué)生的觀察能力、推理論證能力、空間想象能力和直觀感知能力等能力的培養(yǎng)與立體幾何教學(xué)有著很密切的聯(lián)系.借助幾種空間基本圖形為載體，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同幾何體之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過(guò)闡述如何借助常見的空間基本圖形作為幾何載體，幫助學(xué)生樹立空間建構(gòu)意識(shí)，提升學(xué)生空間想象思維，將復(fù)雜問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化與化歸為基本問(wèn)題，達(dá)到提高立體幾何有效學(xué)習(xí)的目的.

1 以正方體或長(zhǎng)方體為載體，進(jìn)行空間建構(gòu)

正方體和長(zhǎng)方體作為基本圖形載體，學(xué)生從小學(xué)已開始接觸，并不陌生.另外在我們的生活中也不乏是正方體、長(zhǎng)方體的模型.若能把新研究的幾何圖形巧妙放入正方體或長(zhǎng)方體這個(gè)載體中來(lái)研究往往能取得事半功倍的效果.

例1 在四面體ABCD中，三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等且依次為 、、5，求此四面體ABCD外接球的半徑.

解析：外接球即球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.通過(guò)作圖幫助分析，發(fā)現(xiàn)若采用常規(guī)做法去求解則很難完成.由于條件中出現(xiàn)三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等，思考可將此四面體放進(jìn)一個(gè)長(zhǎng)方體中，以這三組對(duì)棱為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體，借助長(zhǎng)方體這個(gè)學(xué)生非常熟悉的數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題便可迎刃而解.設(shè)長(zhǎng)方體三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則

點(diǎn)評(píng)：本題將特殊四面體和球聯(lián)系在一起，考查學(xué)生的空間思維能力，同時(shí)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力也在解題中得以體現(xiàn).通過(guò)分析題意準(zhǔn)確抓住問(wèn)題本質(zhì)，學(xué)生的空間想象在所構(gòu)造或回歸的基本圖形中得以形象化、具體化.學(xué)生利用已經(jīng)固化在腦海中的基本圖形，進(jìn)行合理分析，有了基本圖形后，打開了學(xué)生的思維，讓學(xué)生熟悉抓住問(wèn)題本質(zhì)，運(yùn)用構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)輕松解決問(wèn)題，也有利于幾何直觀與空間想象能力的培養(yǎng).

2 以墻角型幾何體為載體，進(jìn)行空間建構(gòu)

墻角型幾何體即存在共點(diǎn)三條兩兩垂直的棱的三棱錐.由于特殊的垂直關(guān)系剛好與長(zhǎng)方體吻合，處理這類幾何體的內(nèi)切、外接問(wèn)題，往往將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，借助長(zhǎng)方體特征來(lái)幫助解題.

例2 已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=2，SB=SC=4，若點(diǎn)P到S、A、B、C這四個(gè)點(diǎn)的距離都是同一個(gè)值，求這個(gè)值.

解析：通過(guò)作圖分析可對(duì)三棱錐S-ABC進(jìn)行補(bǔ)體，將其補(bǔ)成各棱長(zhǎng)為2，4，4的長(zhǎng)方體，這樣長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn)即其外接球球心，與點(diǎn)P重合.故答案為3.

點(diǎn)評(píng)：長(zhǎng)方體是“課程標(biāo)準(zhǔn)”強(qiáng)調(diào)的建立空間概念的載體之一，通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體的截割，可以得到多種多樣的柱體、錐體、臺(tái)體……，在實(shí)際問(wèn)題中通過(guò)細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)某些幾何體與長(zhǎng)方體的密切聯(lián)系，并實(shí)現(xiàn)兩者之間的轉(zhuǎn)化與化歸，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛[1 ].對(duì)于墻角型幾何體由于其特殊的垂直關(guān)系，我們可將其與直角三角形作如下類比：

3 以四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐為載體，進(jìn)行空間建構(gòu)

點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何的折展問(wèn)題并求幾何體的體積以及常規(guī)的線面垂直的證明.訓(xùn)練學(xué)生尋找展開圖與立體圖形中變與不變的量，特別是關(guān)注折展過(guò)程中垂直平行關(guān)系是否改變，為立體幾何的證明提供可行性依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.另外，在求其外接球相關(guān)問(wèn)題時(shí)又巧妙地將其補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，問(wèn)題迎刃而解.

4 以正四面體為載體，進(jìn)行空間建構(gòu)

正四面體是僅次于正方體、長(zhǎng)方體以外學(xué)生非常熟悉的一個(gè)基本圖形。如圖6所示，若正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為 a，由正四面體的對(duì)稱性和球的對(duì)稱性知該四面體外接球球心與內(nèi)切球球心必重合于點(diǎn)O，且O在正四面體的高AG上（G為△BCD的重心）.可求得正四面體 A-BCD外接球半徑為OA=a；內(nèi)切球半徑為OG=a；高為AG=a.

例4 如果一個(gè)正四面體的體積為9立方分米，求其表面積S的值.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于正四面體與球的一些相關(guān)數(shù)據(jù)，若能記住并積累些小結(jié)論，將使做題達(dá)到事半功倍的效果.另外由于正四面體的良好對(duì)稱性，其重心、四條高的交點(diǎn)、外接球球心、內(nèi)切球球心共點(diǎn)，此點(diǎn)稱為中心.常借助其與正方體的關(guān)系，進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹案睢迸c“補(bǔ)”建立起兩者的聯(lián)系，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

總之，基于對(duì)立體幾何基本圖形的探究與思考，在實(shí)際問(wèn)題中通過(guò)恰當(dāng)構(gòu)造模型，讓學(xué)生的空間想象得以具體化、形象化，并借助其輔助教學(xué)與解題顯得尤為重要.在多種立體圖形中，正方體、長(zhǎng)方體、球體三者作為優(yōu)美幾何體的典型代表，成為我們研究幾何問(wèn)題中最常見也是最為重要的幾何模型.實(shí)踐表明，注重立體幾何基本圖形的學(xué)習(xí)與研究，巧妙的補(bǔ)形、合理的轉(zhuǎn)化與化歸將大大提升學(xué)生的圖形處理能力，往往能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)立體幾何的整體理解與把握 [2 ].

參考文獻(xiàn)：

[1]盧蕓蓉.類比推理及其在論證中的應(yīng)用研究[D].湘潭：湘潭大學(xué)， 2007.

[2]胡寅年，李文旺.以基本圖形為載體 增強(qiáng)立體幾何復(fù)習(xí)的有效性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（7）：51-54.