函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

黃炎哲

摘 要 在整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中不難發(fā)現(xiàn)：函數(shù)思想始終貫穿于整個教學(xué)活動，并將高中數(shù)學(xué)的各個部分緊密聯(lián)系在一起，促使高中數(shù)學(xué)整個知識框架形成系統(tǒng)性。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，掌握函數(shù)思想可以提高解題效率，從而在較短的時間內(nèi)獲得較好的學(xué)習(xí)效果。對高三階段的學(xué)習(xí)而言，掌握函數(shù)思想并應(yīng)用于解題中具有重要的意義。

關(guān)鍵詞 函數(shù)思想 解題 應(yīng)用

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.02.059

Abstract In the study throughout high school math is not difficult to find： the function always thought throughout the teaching and learning activities， and portions of the high school mathematics is closely linked to the entire high school mathematics knowledge to promote the formation of a systematic framework. In the process of studying high school mathematics， problem solving master function can improve the efficiency of thought， resulting in better learning results in a short period of time. For the third year phase of the study， the master function is significant ideological and applied to solving problems.

Key words function thinking； solving problems； application

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，函數(shù)思想主要體現(xiàn)在函數(shù)的概念、性質(zhì)以及典型的常用函數(shù)方面，解題的時候可以根據(jù)其性質(zhì)來求值。函數(shù)性質(zhì)主要包括單調(diào)性、奇偶性、連續(xù)性、周期性等，函數(shù)的圖像會隨著自變量取值的變化而發(fā)生改變。從最近幾年的高考試題中可以看到，以函數(shù)為中心編制的綜合性題目具有明顯的新穎性。因此，在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中，應(yīng)加強(qiáng)對這方面的總結(jié)和提煉，基于函數(shù)概念，掌握函數(shù)的基本屬性與性質(zhì)。掌握了函數(shù)思想后，對于函數(shù)內(nèi)容的解題，處理起來更具實(shí)用性。

1 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

1.1 以函數(shù)為載體，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化

在解題的時候我們不難發(fā)現(xiàn)：方程與不等式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，常常需要定義域，也就是不等式組的解題，而函數(shù)單調(diào)性的求解過程即是對題目中不等式組的證明過程。①此外，方程、不等式內(nèi)容需要在函數(shù)思想的指導(dǎo)下才能進(jìn)行有效解題。例如：對于不等式<0就是求函數(shù)的正負(fù)區(qū)間。解題時，應(yīng)該充分利用函數(shù)思想，將其作為解題突破點(diǎn)，并學(xué)會聯(lián)系交叉方程、不等式等和函數(shù)知識，以提高解題效率。

例 1 假設(shè)二次函數(shù) = + + （>0），方程（）的兩根，需要同時滿足0<<<1/。（1）如果函數(shù)圖象是關(guān)于 = 對稱，證明<1/2；（2）當(dāng)（0，）時，證明<<。

證明：（1） = （）（），在（0，）時，由于<，有（）（）>0，又>0，所以，>0，即<，又 = = +[] = + （）=（）（）[1 + （）]，由于0<<<1/，所以，>0，1+（）=1+>0，所以，>0，<。

（2）依題意可知 = /（），其中，是方程 = 0的根，即，是+（） + = 0的根，所以+=（）/ = /2 = [（+）1]/2=（+1）/2，因?yàn)?1，所以，2 = /2。

1.2 以函數(shù)為載體，促進(jìn)函數(shù)與角的轉(zhuǎn)化

對于高三數(shù)學(xué)中函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，其主要目的是讓學(xué)生掌握函數(shù)值和角的變化之間的相互聯(lián)系，角與三角函數(shù)存在相互依存的關(guān)系，針對這一點(diǎn)就可以展開研究。

例2 已知大于0，且不是1，要使方程（） = （）有解，則的取值范圍是多少。

分析：將原方程中的等式轉(zhuǎn)化為混合不等式是這道題的常規(guī)解法，同時根據(jù)不等式組有解這一條件，對值進(jìn)行分類討論，從而求得值的范圍。這種方式解題方便，但容易漏掉對K值的展開討論，使答案不完整。利用函數(shù)思想，則會使解題等輕松順利。

解：原方程等價于2（）=（）等價于不等式組[（）2 = ，>0，等價于 = （/）。

因?yàn)楱O∣>∣∣，令 = ，∈（ /2，0）∪（0， /2），則 = ∣∣。當(dāng) /2<<0時， = （1/）+（/）=（/2），等價于<1的時， = （1/）+（/） =（/2），等價于0<<1。這一解法就是利用函數(shù)轉(zhuǎn)換思想，將轉(zhuǎn)換為的函數(shù)，同時方程有解這一條件轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，使值的范圍一目了然。

1.3 以函數(shù)思想為載體，在數(shù)列中體現(xiàn)出函數(shù)思想

實(shí)際上，在解數(shù)列題目的時候，可以將數(shù)列作為定義域是N或者其某個子集，自變量的取值則對應(yīng)相應(yīng)的函數(shù)取值?？梢?，應(yīng)用函數(shù)常用方法和技巧對解數(shù)列類的題目具有一定的指導(dǎo)作用。

例3 設(shè)等差數(shù)列{}的前幾項(xiàng)和為，已知=12，>0，<0。

（1）求公差的取值范圍。（2）指出，，中哪一個最大并說明理由。

面對這道題，可先分析題目的原理，繼而解出題目。

解 ：（1）依題意可以求出24/7<<3

（2）因?yàn)椋?122， =（122）+[（1）]/2=/2+（125/2）。因此，二次函數(shù)的對稱軸方程式應(yīng)當(dāng)是=（125/2）/2/2=5/212/。因?yàn)椋?4/7<<3，6<5/21/2<6.5，又的圖象為開口向下的拋物線當(dāng)且僅當(dāng)=6時值最大，即最大。

分析：首項(xiàng)公差是的等差數(shù)列，= +[（1）]/2，也就是=/2+（/2），可見是一個的二次函數(shù)。對于等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大取值的求解，可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)為解題突破口。采用這種解題方法可以在對稱軸為自然數(shù)的時候，取時為最大值。

1.4 利用函數(shù)思想，考察抽象函數(shù)問題

是一個相對來說較抽象的符號，而函數(shù)的抽象問題可以利用函數(shù)圖像來具體化。將函數(shù)的不同性質(zhì)與圖形變化特點(diǎn)相融合，會隱去解析式這一函數(shù)要素，從而使得求解難度加大。在實(shí)際解題過程中，利用背景函數(shù)將函數(shù)解析式充分轉(zhuǎn)化為圖像，將抽象的問題具體化，從而達(dá)到快速解題的目的。

例4 假設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像是關(guān)于直線 =1對稱，對任意的，屬于[0，1/2]，這時候都會有 （+）= （）？（）。（1）假設(shè) （1）=2，求 （1/2）， （1/4）。（2）證明：是周期函數(shù)。

解：（1）由于 （+）= （）？（）， ，屬于[0，1]

知 = （/2）？（/2）=[ （/2）]2不小于0，[0，1]

因?yàn)椋?（1）= （1/2+1/2）= （1/2）？（1/2）=[ （1/2）]2，又 （1）= 2，所以[ （1/2）]2=2，所以 （1/2）=21/2，因?yàn)?（1/2）= （1/4+1/4）= （1/4）？（1/4）=[ （1/4）]2，而 （1/2）=21/2，所以， （1/4）=21/4。

（2）依題意可以了解到， = 是關(guān)于直線 = 1對稱的，因此，= 屬于，由于屬于偶函數(shù)，就可以了解到=，屬于。因而，可以將直接帶入到來替換，即：函數(shù)屬于周期函數(shù)。

點(diǎn)評：根據(jù)教材中的指數(shù)函數(shù)可以了解到，要想求得函數(shù)的值域，賦值可以采取遞推方法，事實(shí)上，這就是將抽象轉(zhuǎn)化為具體的最好方法。在解題的時候要確定函數(shù)的周期問題，就需要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，將抽象問題利用函數(shù)式來轉(zhuǎn)化為具體的內(nèi)容，隨后就可以根據(jù)周期函數(shù)的定義來判斷推理，這也就是對函數(shù)性質(zhì)的研究。

2 函數(shù)思想的具體理論研究

實(shí)際上，函數(shù)思想就是在數(shù)學(xué)題目解題的過程中所體現(xiàn)出來的一種思維策略。即：利用函數(shù)可以描繪自然界中不同事物之間的聯(lián)系與內(nèi)在關(guān)系。數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想就是根據(jù)這一規(guī)律，將不同的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，通過函數(shù)模型的建立來輕松解決。就函數(shù)的思想理論來看，其體現(xiàn)出來的就是“聯(lián)系與變化”的辯證唯物主義思想。解題時函數(shù)思想的體現(xiàn)首先是構(gòu)造函數(shù)（即“規(guī)定思想”），隨后就可以利用函數(shù)的性質(zhì)（已知+未知+規(guī)定思想）來解題。其中，函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、最大值和最小值以及圖像變換等都是利用函數(shù)思想解題時常用的性質(zhì)。因此，高三學(xué)生應(yīng)該熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)的不同性質(zhì)和特點(diǎn)。利用函數(shù)思想解題時要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，提煉出函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)來求解。只有對所給的問題分析、判斷比較深入和全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，從而構(gòu)造出函數(shù)原型。我們在解題的時候運(yùn)用這種思想，就會發(fā)現(xiàn)不同題目所具有的共同性，即定量與變量之間的關(guān)系。在經(jīng)過系統(tǒng)的分析總結(jié)和歸納后，就能使用相對簡潔的公式來描述函數(shù)的性質(zhì)，即：已知+未知+規(guī)定思想。②

3 結(jié)語

總之，函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。平時在解題的時候需要善于挖掘函數(shù)的思想方法，認(rèn)真地體會，從而提高自身的推理能力與論證能力。

注釋

① 王志勇.代數(shù)“圖化”教學(xué)法：一種值得重視的數(shù)學(xué)教學(xué)方法[J].當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2014.16（06）：658-659.

② 慕澤剛.用函數(shù)思想解證不等式問題[J].數(shù)學(xué)大世界（高中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版），2012.14（11）：432.