數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透

周文匯　 ??

[摘 要] 數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有很大的比重.教師在教學(xué)數(shù)列知識(shí)時(shí)，要認(rèn)真挖掘與滲透數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法，并以這些數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生分析、解決數(shù)列問題，從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞] 高考數(shù)學(xué) 數(shù)列 數(shù)學(xué)思想方法

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674 6058（2016）17 0057

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式.實(shí)際上，這兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，所以通常被混稱為數(shù)學(xué)思想方法.常見的四大數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的核心和靈魂.數(shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)列教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義.

一、函數(shù)與方程思想

1.函數(shù)思想

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，數(shù)列中的好多問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)考查數(shù)學(xué)對(duì)象.以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)、理解數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法.

【例1】 （2013·全國卷Ⅱ，理16）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為 .

解析： 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，

很容易求得Sn=-3n+ n（n-1） 2 × 2 3 = 1 3 n2- 10 3 n

.

令f（n）=nSn，則f（n）= 1 3 n3- 10 3 n2.

然后，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)n= 20 3 時(shí)，f（n）取最小值，而n∈ N+ ，f（6）=-48，f（7）=-49，所以當(dāng)n=7時(shí)，f（n）min=-49.

2.方程思想

等差、等比數(shù)列共涉及五個(gè)基本量.在解數(shù)列問題時(shí)，利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程（組），是解決數(shù)列問題的基本方法.

【例2】 （2015·安徽，理14）已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a4=9，a2a3=8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于 .

解析： 由題意得

a1+a4=9

a2·a3=a1·a4=8

，解得：

a1=1a4=8

或

a1=8a4=1

.

而數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，所以 a1=1a4=8

，即q3=

a4 a1 =8

，所以q=2，可求得數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=2n-1.

二、分類討論的思想

對(duì)于復(fù)雜的問題，我們一般無法一次性解決，常需分類討論，化整為零，各個(gè)擊破.數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的需要分類討論的問題，如對(duì)等比數(shù)列中公比的討論.

【例3】 （2015·山東，理18）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn=3n+3.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解析： （1）an=

3，n=13n-1，n>1

.

（2）因?yàn)閍nbn=log3an，

當(dāng)n>1時(shí)，bn=31-nlog33n-1=（n-1）31-n

，所以

Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1 3 +[1×3-1+2×3-2+…+（n-1）31-n]，

所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+（n-1）32-n]，

兩式相減，得2Tn= 2 3 +[30+3-1+…+32-n-

（n-1）·31-n]= 2 3 + 1-31-n 1-3-1 -（n-1）·31-n

= 13 6 -

6n+3 2×3n

.

所以Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，T1=b1= 1 3 滿足Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

綜上可得：Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象，將其變?yōu)槭煜さ幕蛘咭呀?jīng)解決過的數(shù)學(xué)模式.或者從整體著眼，通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其他整體處理后，達(dá)到解題的目的.

【例4】 （2014·全國卷Ⅱ，理17）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

（1）證明{an+ 1 2 }是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明： 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an < 3 2

.

解析： （1）由an+1=3an+1，得an+1+ 1 2 =3（an+ 1 2 ）.

又a1+ 1 2 = 3 2

，所以數(shù)列{an+ 1 2 }是首項(xiàng)為 3 2 ，公比為3的等比數(shù)列，

所以an+ 1 2 =

3 2 ×3n-1=

3n 2 ，

所以an= 3n-1 2 .

（2）略.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）