利用數(shù)形結(jié)合法巧解疑難問(wèn)題

熊興勇

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)試卷中的綜合試題或是計(jì)算量大，或是幾種知識(shí)混合應(yīng)用，或是題設(shè)結(jié)論之間的聯(lián)系不易被發(fā)現(xiàn)，學(xué)生碰到這類題往往會(huì)覺(jué)得頭痛，甚至放棄做題.其實(shí)通過(guò)訓(xùn)練，這類試題是有規(guī)律破解的.解這類題型最有效的辦法就是數(shù)形結(jié)合.通過(guò)分析題設(shè)或結(jié)論的幾何意義，達(dá)到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，把抽象思維和形象思維進(jìn)行結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而解決問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合 以形助數(shù) 例題

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674 6058（2016）17 0053

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的形式，把抽象思維和形象思維進(jìn)行結(jié)合，達(dá)到將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化的目的，從而解決問(wèn)題.現(xiàn)就利用表達(dá)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合法解決一些不容易入手的或計(jì)算量大的問(wèn)題，希望能幫助學(xué)生掌握解題技巧.

【例1】 函數(shù)f（x）=ln（ x2+x+1 - x2-x+1 ） 的值域是（ ）.

A.（-∞，0） B.（-1，0） C.（0，1） D.（0，+∞）

這是一道2007年高考模擬考試選擇題的壓軸題，不易入手.學(xué)生往往想到用求導(dǎo)的方法去求函數(shù)的值域，但求導(dǎo)過(guò)程很復(fù)雜.若利用數(shù)形結(jié)合法分析，則使解題思路清晰，可以化繁為簡(jiǎn).

解析： 利用函數(shù)的幾何意義，

∴如圖1， x2+x+1 - x2-x+1

可看做x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)M（- 1 2 ， 3 2 ）和N（ 1 2 ， 3 2

）的距離之差，即 x2+x+1

- x2-x+1 =

|PM|-|PN|.

而|PM|-|PN|<|MN|=1，同時(shí)考慮函數(shù)的定義域，

所以0< x2+x+1 -

x2-x+1

<1.

所以函數(shù)f（x）=ln（ x2+x+1 -

x2-x+1

）的值域是（-∞，0）.

【例2】 定義在 R 上的函數(shù)f（x）滿足

f（4）=1，f′（x）為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知

函數(shù)y=f′（x）的圖像如圖2所示，兩個(gè)

正數(shù)a、b滿足f（2a+b）<1，則 b+2 a+2

的取值范圍是（ ）.

A.（ 1 3 ， 1 2 ）

B.（-∞， 1 2 ）∪（3，+∞）

C.（ 1 2 ，3）

D.（-∞，-3）

這是一道西安市八校聯(lián)考試題，學(xué)生摸不著頭腦，不知道題設(shè)與結(jié)論之間有什么聯(lián)系，但利用 b+2 a+2

的幾何意義，則不難理清解題思路.

b+2 a+2 = b-（-2） a-（-2） 可看成過(guò)點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（-2，-2）的直線的斜率.

解析：

當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）>0，∴當(dāng)x>0時(shí)，f（x）為增函數(shù).

∵a>0，b>0，∴2a+b>0.

∴f（2a+b）<1=f（4）2a+b<4.

由此得約束條件

a>0，b>0，2a+b<4.

以a為橫軸、b為縱軸建立直角坐標(biāo)系，

畫(huà)出可行域?yàn)镽t△OAB，

如圖3所示.

b+2 a+2 可看成可行域內(nèi)任意一點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)P（-2，-2）連線的斜率.

∴ 1 2 =kPB< b+2 a+2

∴ b+2 a+2

的

取值范圍為（ 1 2 ，3）.

【例3】 關(guān)于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根可作為一個(gè)橢圓、一個(gè)雙曲線、一個(gè)拋物線的離心率，則 b-1 a+1

的取值范圍是（ ）.

A.（0，2）

B.（-2，0）

C.（0，1）

D.（-1，0）

此題的構(gòu)思與上一題是同一思路，利用方程實(shí)根的取值范圍，確定a、b的取值范圍，則 b-1 a+1

的幾何意義就是坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)（a，b）與定點(diǎn)（-1，1）連線的斜率，但與上一題的區(qū)別是多了一個(gè)待定系數(shù)c.

解析： 由題意知，方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根01，x3=1.

以a為橫軸、b為縱軸建立直角坐標(biāo)系，

畫(huà)出可行域，如圖4.則 b-1 a+1 表示

可行域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（-1，1）連線的斜率k.

∴-2

【例4】 已知△ABC，如果對(duì)一切實(shí)數(shù)t

都有|BA - tBC |≥|AC |，則△ABC一定為（ ）.

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.與t的值有關(guān)

這是2009年鄭州市高中畢業(yè)班質(zhì)量預(yù)測(cè)卷選擇題的壓軸題，是有關(guān)向量方面知識(shí)的試題.學(xué)生初看不知從何下手，但若用

數(shù)形結(jié)合法

去分析，則易知答案.

解法二：

由得點(diǎn)P是以原點(diǎn)為圓心、OF1為半徑的圓與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)

P點(diǎn)縱坐標(biāo)為以后方法同上.

通過(guò)以上幾個(gè)例題的分析可以看到，在處理疑難數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，合理地使用數(shù)形結(jié)合法，

能減少計(jì)算量

，快速地解決問(wèn)題.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）