閻禮波
[摘 要] 三角函數公式繁多,學生面對眾多公式,該怎樣從中選擇合適的公式來化簡解析式呢?對需要化簡成一角一函數的三角函數解析式,化簡模型是:有軸線角時用誘導公式;有特殊角時用兩角和差公式;有平方時用降冪(余弦倍角逆運用)公式;有同角正余弦乘積時逆用正弦二倍角公式,最后用輔助角公式收官.
[關鍵詞] 三角函數 一角一函數 解題模型
[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058(2016)17 0051
三角函數是高中數學中基本的初等函數之一,該部分內容歷來是高考的重點、熱點之一.因其難度相對較低,普遍屬于基礎題、中檔題,利用公式化簡三角函數解析式并求其性質,是大多數學生的爭分點.
對于求三角函數的性質,如周期性、最值、值域、單調區(qū)間、對稱性、奇偶性等,若函數解析式已經是一角一函數y=Asin(ωx+φ)+b形式,學生可以直接求解;
若函數解析式不是y=Asin(ωx+φ)+b形式,就必須先利用公式將函數解析式化簡成該形式,才能求其性質.眾所周知,三角函數是整個中學數學課程內容中公式最為繁多的知識.面對眾多的三角函數公式,該怎樣從中選擇合適的公式來化簡解析式呢?許多學生覺得無從下手.雖然也有很多學生能化簡出來,但他們也有一種思緒凌亂,難以把握規(guī)律的感覺.本文針對一角一函數的化簡,給學生總結、歸納一個規(guī)律方法和解題技巧.
對復雜的三角函數解析式的化簡,我們所用的解題簡模型為:
在化簡過程中,每個步驟都有明顯的標志,但每次做題并不是五個步驟都要用上,有時只用到其中的一個或幾個.具體的做法如下.
第一步,有軸線角(或相關的角)用誘導公式
判斷表達式有沒有軸線角或者與軸線角有關的角,如 π 2 +α, 3π 2 ±α
,kπ±α,2kπ±α,(k∈ Z ),若有,就可以馬上用誘導公式;若沒有,可以進行第二步.
第二步,有特殊角用兩角和差公式
判斷有沒有兩角和或差,如sin(x+ π 3 ),cos(x- π 4 )等,它們通常會含有 π 3 , π 4 , π 6 等特殊角.若有特殊角,即可直接用兩角和差公式展開;若沒有特殊角,則進行第三步.
第三步,有平方則用降冪公式
判斷解析式有沒有sin2x或cos2x,若有,就分別用sin2=
1-cos2x 2 ,cos2x= 1+cos2x 2
進行降冪;若沒有,則進行第四步.
第四步,含同角正余弦乘積逆用正弦二倍角公式
判斷解析式是否含有sinx·cosx,若有,就用2sinx·cosx=sin2x代入;若沒有,則可以進行最后一步.
第五步,用輔助角公式收官
經過上面四個步驟的變化,解析式會帶有asinx+bcosx的形式,最后用輔助角公式asinx+bcosx= a2+b2 sin(x+φ)
,就能達到最終的目的.
下面,我們來看經典例題:
【例1】 把以下各式化簡成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.
(1)f(x)=sin( π 3 -2x)+sin2x;
(2)f(x)=2sin(π-x)cosx;
(3)f(x)=2sinxcosx+2 3 sin2x;
(4)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx;
(5)f(x)=2sinxcos( π 2 -x)- 3 sin(π+x)cosx+sin( π 2 +x)cosx.
解析: (1)此題沒有軸線角,不用第一步誘導公式;沒有sin2x,cos2x,不用第三步降冪公式;沒有sinx·cosx,不用第四步.
f(x)=sin( π 3 -2x)+sin2x(有 π 3 -2x,用第二步兩角和差公式)
= 3 2 cos2x- 1 2
sin2x+sin2x
= 3 2
cos2x+ 1 2 sin2x(用第五步輔助角公式)
=sin(2x+ π 3 ).
(2)此題不用第二步兩角和差公式;沒有sin2x,cos2x,不用第三步降冪公式.
f(x)=2sin(π-x)cosx(用第一步誘導公式)
=2sinxcosx(用第四步逆用正弦二倍角公式)
=sin2x.(不用第五步輔助角公式)
(3)此題沒有軸線角,不用第一步誘導公式,不用第二步兩角和差公式.
f(x)=2sinxcosx+2 3 sin2x(用第三步降冪公式和第四步逆用正弦二倍角公式)
=sin2x+2 3 · 1-cos2x 2
=sin2x+ 3 cos2x+ 3 (用第五步輔助角公式)
=2sin(2x+ π 3 )+ 3 .
(4)此題沒有軸線角,不用第一步誘導公式,不用第二步兩角和差公式.
f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(用第三步降冪公式)
=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2· 1+cos2ωx 2
(逆用正弦二倍角公式)
=sin2ωx+cos2ωx+2
= 2 sin(2ωx+ π 4 )+2.(用第五步輔助角公式)
(5)不用第二步兩角和差公式.
f(x)=2sinxcos( π 2 -x)- 3 sin(π+x)cosx+sin( π 2 +x)cosx(用第一步誘導公式)
=2sin2x+ 3 sinxcosx+cos2x(用第三步降冪公式和第四步逆用正弦二倍角公式)
=2· 1-cos2x 2 +
3 2
sin2x+
1+cos2x 2
= 3 2
sin2x- 1 2 cos2x+ 3 2 (用第五步輔助角公式)
=sin(2x- π 6 )+ 3 2 .
【例2】
(2013·安徽)已知函數f(x)=4cosωx·sin(ωx+ π 4 )(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0, π 2 ]上的單調性.
分析: 此題
不需要用
第一步誘導公式、第三步降冪公式,只要用第二步兩角和差公式、第四步逆用正弦二倍和公式和第五步輔助角公式.
解: (1)f(x)=4cosωx·sin(ωx+ π 4 )
=2 2 sinωx·cosωx+2 2 cos2ωx
= 2 (sin2ωx+cos2ωx)+ 2
=2sin(2ωx+ π 4 )+ 2 .
因為f(x)的最小正周期為π,且ω>0,
從而有 2π 2ω =π,故ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ π 4 )+ 2 .
由0≤x≤ π 2 ,得 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 .
當 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ π 2 ,即0≤x≤ π 8 時,f(x)單調遞增;
當 π 2 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 ,即 π 8 ≤x≤ π 2 時,f(x)單調遞減.
綜上可知,f(x)在區(qū)間[0, π 8 ]上單調遞增,在區(qū)間[ π 8 , π 2 ]上單調遞減.
【例3】 (2013·陜西)已知向量 a =(cosx,- 1 2 ), b =( 3 sinx,cos2x),x∈ R ,設函數f(x)= a · b .
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在[0, π 2 ]上的最大值和最小值.
分析: 此題是三角與向量的簡單結合,
不需要用
第一步誘導公式、第二步兩角和差公式和第三步降冪公式,只要用第四步逆用正弦二倍角公式和第五步輔助角公式.
解析: f(x)=(cosx,- 1 2 )·( 3 sinx,cos2x)
= 3 cosxsinx- 1 2 cos2x
= 3 2 sin2x- 1 2 cos2x
=sin(2x- π 6 ).
(1)f(x)最小正周期為T= 2π ω = 2π 2 =π.
(2)∵0≤x≤ π 2 ,∴- π 6 ≤2x- π 6 ≤ 5π 6 .
由正弦函數的性質,知
當2x- π 6 = π 2 ,即x= π 3 時,f(x)取得最大值1.
當2x- π 6 =- π 6 ,即x=0時,f(x)取得最小值- 1 2 .
因此,f(x)在[0, π 2 ]上的最大值是1,最小值是- 1 2 .
模型解題法是近年來國家研究的重點課題.面對數學問題,我們需要不斷地提煉、總結解題策略,形成程序化的思考過程或步驟.這被稱為解題思維策略模型.我們可把一些題目的解決方法進行系統(tǒng)的歸納、概括,從中抽出有共性的、規(guī)律性的東西,形成解題的統(tǒng)一思維模型.我們稱之為數學模型解題法.
用解題模型的具體操作方法進行思考與應用,能形成條件反射,變成我們解題的自覺行為,從而高效解題.本文介紹了—角—函數的化簡五部曲,如果學生掌握了這五部曲,找到規(guī)律,便能輕而易舉地化簡解析式.
(特約編輯 嘉 卉)