試分析高中三角函數(shù)問題與解題技巧

施先玲

摘要：在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)是考查的重點(diǎn)，在高考數(shù)學(xué)考題中三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)占有很大比例，同時(shí)，三角函數(shù)問題也是最容易出現(xiàn)失誤的問題。本文通過具體教學(xué)案例分析高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)解題過程常遇到的問題，就這些問題列出幾種三角函數(shù)解題技巧，以期提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)，并取得數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)步。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題技巧；存在問題

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，特別是對(duì)于理科學(xué)生來講，物理、化學(xué)等科目中都會(huì)運(yùn)用到三角函數(shù)。三角函數(shù)除了能解決數(shù)學(xué)等科目難題外，還能提高學(xué)生利用三角函數(shù)思維解決問題的能力。所以，在高中數(shù)學(xué)中進(jìn)行三角函數(shù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，注重三角函數(shù)公式的運(yùn)用、三角函數(shù)單調(diào)性等，盡量在三角函數(shù)問題解題中少犯錯(cuò)誤，獲得良好的學(xué)習(xí)效果。

一、高中三角函數(shù)解題中常遇到的問題

1、對(duì)三角函數(shù)名稱選擇不當(dāng)（多數(shù)出現(xiàn)在求角度的問題中）。利用已知角來進(jìn)行三角函數(shù)的求解，是以一種逆向思維，而學(xué)生常常會(huì)對(duì)角的范圍以及象限進(jìn)行錯(cuò)誤的判斷，導(dǎo)致三角函數(shù)解題進(jìn)入誤區(qū)。

2、對(duì)三角函數(shù)平移概念的誤讀。平移的運(yùn)用是三角函數(shù)的重點(diǎn)，在解題過程中學(xué)生通常難以把握平移的原則，將平移圖形以及公式分開來看，對(duì)平移問題產(chǎn)生錯(cuò)誤的解讀，所以，梳理平移的概念必不可少，正確運(yùn)用平移技巧進(jìn)行三角函數(shù)的解題，確保解題的順利。

例題：已知曲線方程式為，它首先沿著x軸靠右平移個(gè)基本單位，接著沿著y軸靠下平移1個(gè)基本單位，平移后的方程式改變?yōu)椋?）

解題思路：原曲線方程式可變形為，將曲線向右平移、接著向下平移后可以得出方程式為，根據(jù)四個(gè)答案格式要求來看，可以將該方程式變形為。故該題正確答案為C。

分析：這道題所涉及到的三角函數(shù)考點(diǎn)就是平移問題，在熟練掌握三角函數(shù)公式和概念的基礎(chǔ)上，還需要對(duì)平移概念進(jìn)行梳理，就可以將已知的量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到問題的答案。

二、高中三角函數(shù)的解題技巧

1、化弦切割。所謂化弦切割指的是將已知問題中三角函數(shù)的正切、余切，以及三角函數(shù)中的正割、余割轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)正弦、余弦，將復(fù)雜的三角函數(shù)問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)行三角函數(shù)的解答。

例題：將sin50°（1+tan10°）進(jìn)行化簡(jiǎn)。

解題技巧：該題屬于典型的三角函數(shù)化弦切割問題，可以通過相應(yīng)的三角函數(shù)公式進(jìn)行解題。題目中包含著兩種三角函數(shù)，即正弦、正切，通過運(yùn)用切化弦進(jìn)行正弦、余弦的轉(zhuǎn)換，接著使用倍角公式和兩角和公式，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

故原式可以化簡(jiǎn)為

2、對(duì)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化。由于三角函數(shù)對(duì)角的要求比較特殊，所以將已知條件中的角轉(zhuǎn)化為單角，同時(shí)將其中的一個(gè)角看成基礎(chǔ)量，可以便于學(xué)生通過角的轉(zhuǎn)化進(jìn)行三角函數(shù)的解答。

例題：sin20°cos70°+sin10°sin50°的值為多少。

解題技巧：將上述題目中的特殊角利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為便于計(jì)算的數(shù)值，通過這些特殊角值的相互消除、化簡(jiǎn)，找出sin20°cos70°+sin10°sin50°的值。

正解：

3、化弦成切?；页汕械募记膳c化弦切割技巧類似，都是通過分析已知條件進(jìn)行函數(shù)的轉(zhuǎn)化來便于自己計(jì)算，化弦成切可以將三角函數(shù)各個(gè)公式之間的形式轉(zhuǎn)換，也能提高運(yùn)用三角函數(shù)解題的速度。

例題：已知sinα=，α∈（，π），tan（π-β）=，求出tan（α-2β）的值。

解題技巧：通過將正弦余弦化成切進(jìn)行該題運(yùn)算，由已知條件可以知道，sinα的值不會(huì)為0，所以，可以通過分子分母同時(shí)與cosα相除的方法進(jìn)行換算，由此可以得出答案。

正解：

由已知條件sinα=，α∈（，π）可知cosα=-，tanα=-

又由tan（π-β）=→tanβ=-

所以tanβ==-

4、參數(shù)的引用。參數(shù)的引用在三角函數(shù)解題中比較常見，通過引用參數(shù)來替換相應(yīng)的函數(shù)式子，在這個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)找到最大值和最小值，方便三角函數(shù)解題。

例題：已知0

解題技巧：根據(jù)已知條件可以知道，正弦和余弦的最大值和最小值都有一個(gè)范圍，將這兩個(gè)弦的和進(jìn)行參數(shù)的代換，可以得出正弦和余弦的平方和等于1，這是一個(gè)特殊基數(shù)，故原函數(shù)用參數(shù)t進(jìn)行替換，為后面的求值提供一個(gè)特殊條件。

正解：

根據(jù)已知條件可以得出y=（1+）（1+）=（1+sinx+cosx）（）

將參數(shù)t引入，令sinx+cosx=t（1

可以得出y=1+

又由1

y≥3+2，該函數(shù)的的最小值為3+2。

三、結(jié)語(yǔ)

在進(jìn)行高中三角函數(shù)解題中，需要盡量避免對(duì)知識(shí)點(diǎn)的錯(cuò)誤應(yīng)用，運(yùn)用合理正確的解題技巧進(jìn)行輔助，綜合把握三角函數(shù)的定義和常用公式，角象限的的變化以及值域的變化，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，提高學(xué)習(xí)效率。

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