對必修一“集合”單元教學(xué)的思考

尤為軍 王一強(qiáng) 熊翠華

摘要：集合作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的起始內(nèi)容，是因?yàn)榧鲜歉咧袛?shù)學(xué)的基礎(chǔ)，與其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容有著密切聯(lián)系。本文在梳理集合與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上，分析了高中“集合”的定位，并提出了對集合單元教學(xué)的幾點(diǎn)思考。

關(guān)鍵詞：集合；高中數(shù)學(xué)；單元教學(xué)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）09-065-2

一、集合與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性

1.在上高中之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的概念及表示方法、運(yùn)算法則與運(yùn)算律，字母的概念及表示方法、運(yùn)算法則與運(yùn)算律，代數(shù)式的概念及表示方法、運(yùn)算法則與運(yùn)算律。雖然字母和代數(shù)式有點(diǎn)抽象，但都是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上推廣和擴(kuò)展得來的，學(xué)生還能遷移和理解，而高中階段將要學(xué)習(xí)的很多數(shù)學(xué)對象，比如說，集合、函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、簡易邏輯、矩陣等等，不能完全從實(shí)數(shù)及實(shí)數(shù)的運(yùn)算中遷移，需要重新構(gòu)建。蘇教版教材處理這些數(shù)學(xué)對象手法都是從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)概念，然后研究數(shù)學(xué)對象相關(guān)概念及之間的關(guān)系，最后研究它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律及性質(zhì)等內(nèi)容。集合是高中階段學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)對象，它的學(xué)習(xí)路徑將給其他高中數(shù)學(xué)對象（數(shù)列、復(fù)數(shù)、平面向量和矩陣等等）的學(xué)習(xí)提供基本范式。

2.在高中數(shù)學(xué)教材中，許多數(shù)學(xué)對象有多種表示形式，比如說，集合、函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)和平面向量等等。但數(shù)學(xué)對象的表示形式基本上是從“數(shù)”與“形”兩個角度給出的，集合是高中數(shù)學(xué)階段第一個被表示的數(shù)學(xué)對象，因此，集合表示方法的切入方式對其他數(shù)學(xué)對象的表示有重要的借鑒意義。

3.在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中，斯托利亞這樣表述：“集合論概念”這個術(shù)語在這里指的是樸素集合論的最簡單的概念，它是在“類的邏輯”的名稱下首先發(fā)展起來的?！邦惖膶ο蟆本唧w準(zhǔn)確地揭示了集合的本質(zhì)，在小學(xué)和初中階段我們學(xué)習(xí)了很多類的對象，譬如說，我們把0，1，2，……這類數(shù)稱為自然數(shù)集，所有的正方形是一類數(shù)學(xué)對象，一次函數(shù)是一類數(shù)學(xué)對象等等。在立體幾何中，我們也學(xué)習(xí)了很多類的對象，比如說：四棱柱，平行六面體，直平行六面體，長方體，正四棱柱，正方體。從這些數(shù)學(xué)對象的定義可以看出來，后面的集合都是在前一個集合基礎(chǔ)上增加了新的條件得到的，這里還蘊(yùn)含了集合的真包含關(guān)系。

4.集合的含義反映了元素與集合的屬于關(guān)系，也就是個體與整體的關(guān)系。集合的關(guān)系、集合的運(yùn)算都是從元素的角度予以定義的，因此，抓住集合中元素的特征是解決集合問題的基本途徑。在高中數(shù)學(xué)教材中，具有個體與整體關(guān)系的數(shù)學(xué)對象還有函數(shù)值與值域、項(xiàng)與數(shù)列、二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式與二項(xiàng)式展開式，以及矩陣元素與矩陣等等。比如說，函數(shù)值與函數(shù)的值域就是個體與整體的關(guān)系，只有把握了函數(shù)值的特征，才能正確描述函數(shù)的值域。

5.“集合”單元涉及很多數(shù)學(xué)符號，有些集合符號是用其的英文（或德文等）首字母表示的，比如說，N，Q，R都是由英文的頭一個字母來的，Z是由德文zahlen（整數(shù)）的頭一個字母來的；有些集合符號（比如說，∈，，∪，∩）已無法知曉其意義，但有些集合符號可以與數(shù)的關(guān)系進(jìn)行類比，比如說，“”與“≤”、“”與“<”、“”與“0”等等。

6.集合是一種數(shù)學(xué)語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，用集合表述的數(shù)學(xué)內(nèi)容貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程，下面筆者梳理一下蘇教版必修教材中用集合語言描述的數(shù)學(xué)知識。

在必修一函數(shù)章節(jié)中，“集合與對應(yīng)關(guān)系”重新刻畫了函數(shù)的概念，進(jìn)而得到了定義域、值域、單調(diào)區(qū)間等用集合語言描述的數(shù)學(xué)概念；在必修二立體幾何初步章節(jié)中，用集合語言來描述空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；在必修二平面解析幾何初步章節(jié)中，用集合語言給出了圓的定義；在必修三概率章節(jié)中，用集合與集合運(yùn)算，精確地描述了基本事件、基本事件空間、不可能事件、必然事件及對立事件等；在必修四三角函數(shù)章節(jié)中，三角函數(shù)中的單調(diào)區(qū)間，三角函數(shù)圖像的對稱軸等都是用集合語言描述的；在必修五中，一元二次不等式解集、線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的可行域、數(shù)列的定義域等。

7.在高中數(shù)學(xué)階段中，我們將會學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)語言，比如說，集合語言、立體幾何語言、算法語言和簡易邏輯語言等等，它們基本上都是三種語言形式：文字語言、符號語言、圖形語言。而集合語言是高中階段學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)語言，其三種語言形式的學(xué)習(xí)對高中階段其他數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)起到了導(dǎo)向作用。

8.集合與簡易邏輯中邏輯聯(lián)結(jié)詞、四種命題、充要條件以及含特稱量詞的“存在性”問題都聯(lián)系緊密，用集合觀點(diǎn)解釋簡易邏輯中的有關(guān)問題可以使問題變得淺顯易懂，有利于加深學(xué)生對有關(guān)邏輯問題的理解。

二、高中數(shù)學(xué)中“集合”的定位

1.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）明確指出：集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，是一種特殊的符號語言，使用集合語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力。在高中數(shù)學(xué)課程中，一般從“數(shù)”與“形”兩個角度描述數(shù)學(xué)對象，具有“數(shù)集”意義的數(shù)學(xué)對象有：函數(shù)的定義域和值域、不等式（或不等式組）的解集、方程（或方程組）的解集等；用集合語言描述具有“圖形”意義的數(shù)學(xué)對象有：圓、橢圓、雙曲線、拋物線、可行域等等。

2.“類的對象”具體準(zhǔn)確地揭示了集合的本質(zhì)，對“類”的對象的研究和刻畫也成為中學(xué)集合問題研究的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。對研究的對象進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹胺诸悺笔羌系墓δ?。因而，在教學(xué)中讓學(xué)生感知集合是關(guān)于“類”的概念非常必要。

3.集合不僅是一種數(shù)學(xué)語言，而且還是一種思想方法。集合單元中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如分類的思想、子集思想、交集思想、并集思想、補(bǔ)集思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想等。集合思想方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用無處不在，我們可以用子集思想解釋充要條件，用補(bǔ)集思想處理從正面求解較困難或較繁的問題等等。在集合的教學(xué)中教師若能及時向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，不僅能使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法的重要性，還將復(fù)雜的問題變得條理清楚，起到化繁為簡、事半功倍的作用。

4.集合語言的學(xué)習(xí)和其他語言的學(xué)習(xí)一樣，需要一個過程。作為高中數(shù)學(xué)階段第一個數(shù)學(xué)語言，首先要掌握集合語言的表述方式和規(guī)則，其次要學(xué)會準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換文字語言、符號語言和圖形語言，再次需要利用集合語言表述其他數(shù)學(xué)問題，最后要能利用集合思想方法解決其他數(shù)學(xué)問題。當(dāng)然，熟練地運(yùn)用集合語言來揭示數(shù)學(xué)問題有一個理解與掌握的過程。一方面，我們可以利用集合語言復(fù)習(xí)、梳理已有知識，另一方面，隨著學(xué)習(xí)深入，我們可以用新知識鞏固集合語言，還可以用集合語言、思想方法來解決新的數(shù)學(xué)問題。

5.集合，是高中階段學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)對象。應(yīng)通過集合單元的教學(xué)，讓學(xué)生總結(jié)提煉出學(xué)習(xí)一個新數(shù)學(xué)對象的路線圖：定義→表示方法→關(guān)注特殊對象→數(shù)學(xué)對象間的關(guān)系及分類（尤其是相等）→構(gòu)造運(yùn)算及性質(zhì)→應(yīng)用，為以后其他數(shù)學(xué)對象的學(xué)習(xí)提供一個范式，起到示范作用，從而幫助學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展元認(rèn)知。

三、單元教學(xué)中需要注意的問題

1.集合語言的學(xué)習(xí)主要在“用”的過程中實(shí)現(xiàn)，對此，我們倡導(dǎo)從“讀得懂”、“會翻譯”和“活運(yùn)用”多方入手。由此可見，教師在集合的教學(xué)中應(yīng)十分重視集合語言，一切的教學(xué)選材、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)活動都應(yīng)圍繞一個主題，那就是增強(qiáng)學(xué)生對集合語言的理解、翻譯和運(yùn)用的能力。

2.初學(xué)“集合”時，一定要用學(xué)生己有的知識作為學(xué)習(xí)集合的載體，如：用集合表述自然數(shù)、整數(shù)、一元一次不等式的解、方程和方程組的解等；不要用學(xué)生不熟悉的知識增加學(xué)生學(xué)習(xí)“集合”的難度，如盡量不要在這里出現(xiàn)一元二次不等式的求解問題，等等。

3.眾所周知，集合可以看成是由某些確定的對象所組成的全體，其中的每一個確定的對象稱為這個集合的元素。集合的表示、集合之間的關(guān)系、集合的運(yùn)算等等都是從元素的角度予以定義的。集合的表示，運(yùn)用的是集合元素的列舉和描述；集合間的關(guān)系，運(yùn)用的是兩個集合間元素的存在關(guān)系；集合的運(yùn)算，運(yùn)用的是公共元素、所有元素、剩余元素等概念。因此，求解集合問題時，要善于抓住元素的特征進(jìn)行分析，就相當(dāng)于牽牛抓住了牛鼻子。抓住了這個關(guān)鍵因素，解決問題就會事半功倍。

4.掌握集合語言不能一步到位。在整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有很多內(nèi)容是提高學(xué)生掌握集合語言的載體，如：解析幾何、線性規(guī)劃、立體幾何、函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)圖像、概率、統(tǒng)計(jì)，等等，這些都是進(jìn)一步掌握集合語言的載體。

5.在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)符號常是教學(xué)的一個盲點(diǎn)，很少人關(guān)注它的源與流。其原因是應(yīng)試教育的觀點(diǎn)作祟，一切從考試出發(fā)，認(rèn)為集合內(nèi)容高考很簡單只要會做幾個簡單的題目就行了，很少重視集合內(nèi)容的本質(zhì)。學(xué)習(xí)集合語言，首先要弄懂各種符號的意義和用法。熟悉了這些符號后就可以比較方便地表達(dá)集合的一些性質(zhì)。運(yùn)用數(shù)學(xué)符號來表達(dá)可以體現(xiàn)形式上的簡潔性和結(jié)構(gòu)上的完美性。

6.在教學(xué)中，教師要對集合單元中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法及時總結(jié)、歸納，同時結(jié)合后續(xù)教學(xué)內(nèi)容及時滲透與強(qiáng)化，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

7.將“集合”一章作為高中數(shù)學(xué)（甚至整個數(shù)學(xué)）學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)理論建構(gòu)的范例來整體認(rèn)識，也是本章的重要教學(xué)價值之一。

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