混合湍流模型的參數(shù)優(yōu)化與分析

吳 欽，王國玉，黃 彪

（北京理工大學 機械與車輛工程學院，北京 100081）

混合湍流模型的參數(shù)優(yōu)化與分析

吳 欽，王國玉，黃 彪

（北京理工大學 機械與車輛工程學院，北京 100081）

在以全流場N-S方程為研究對象的空化流動數(shù)值計算中，湍流模型在很大程度上影響了對空化流動的精確預測。為了進一步完善針對非定?？栈鲃訑?shù)值計算構建的基于密度分域的混合湍流模型（FBDCM），利用代理模型方法對FBDCM模型參數(shù)的整體敏感度進行了分析，評價了相關經(jīng)驗系數(shù)的擾動對空化流場及水動力特性預測精確度的影響，建議了針對非定?？栈鲃佑嬎愕哪Ｐ蛥?shù)的具體取值。結果表明，經(jīng)驗系數(shù)C2通過調節(jié)FBDCM中FBM模型和DCM模型的影響比重，成為對模型預測精度影響程度最大的因素；通過代理模型優(yōu)化分析確定經(jīng)驗系數(shù)的混合湍流模型，能更好地調整流場內(nèi)的湍流粘性，精確計算了反向射流區(qū)域大尺度渦團的流動，與實驗結果更為接近。

混合湍流模型；代理模型；整體敏感度；參數(shù)優(yōu)化

0 引 言

空化現(xiàn)象是關系到水下發(fā)射、航空航天及多個工業(yè)領域面臨的核心關鍵技術問題[1-2]。近年來，基于N-S方程框架的計算方法，已經(jīng)成為空化流動數(shù)值計算的主流。在以全流場N-S方程為研究對象的空化流動數(shù)值計算中，湍流模型在很大程度上影響了對空化流動的精確預測。國內(nèi)外研究表明，常用的渦粘系數(shù)模型不能很好地模擬非定?？栈鲃覽3-5]，為了解決標準RANS模型在處理多重湍流尺度決定的動力流動結構的缺陷，Wu[6]、時素果等[7]采用基于標準k-ε模型的濾波器湍流模型（FBM）、Zhou等[8]采用密度修正模型（DCM）求解空化流動，達到了較好的效果。作者基于對實驗現(xiàn)象的分析和總結[9-11]，建立了一種基于密度分域的混合湍流模型（FBDCM），結果表明FBDCM模型可以得到更為顯著的非定常流動特征，較好地揭示了空化流場的運動特性。

然而在現(xiàn)有湍流模型的構建中，由于基于不同的物理假設，需要引進多個經(jīng)驗系數(shù)，如何確定經(jīng)驗系數(shù)，合理地描述空化流動的湍流多尺度和多相可壓縮效應，提高非定?？栈鲃拥臄?shù)值預測精度，仍然是亟須解決的關鍵問題。Sobol等[12]提出了整體敏感度分析方法，通過對預測結果的合理分解，計算出各自變量的影響程度。建立合適的代理模型是進行整體敏感度分析的基礎。Cho等[13]通過不同工程領域的案例研究，介紹了代理模型分析及優(yōu)化的基本概念和技術方法，指出利用代理模型能有效地評估設計變量對目標的影響程度并對多重競爭性目標進行分析，基于分析結果對原問題進行了科學優(yōu)化。Tseng等[14]利用代理模型分析及優(yōu)化技術對基于輸運方程的低溫空化模型進行了研究，結果表明優(yōu)化后的模型參數(shù)有效提高了低溫空化模型的數(shù)值預測精度。Goel等[15]發(fā)展了多重代理模型的加權平均分析方法，并通過解析函數(shù)的代理分析結果闡述了整合代理模型的優(yōu)越性。

本文利用代理模型分析與優(yōu)化技術，基于繞Clark-Y翼型空化流動的實驗與數(shù)值計算結果，對FBDCM模型分域函數(shù)進行分析，獲得影響預測精確度的主要因素，并基于分析結果對模型參數(shù)進行優(yōu)化，以期給出能夠獲得精確預測結果的模型參數(shù)，完善該計算模型。

1 控制方程與FBDCM模型

1.1 基本方程

采用均質平衡流模型，則Farve平均的Navier-Stokes方程為：

式中：下標i和j分別代表坐標方向，u和p分別為速度和壓力，ρm為混合密度，μ和μt分別為混合介質的層流和湍流粘性系數(shù)。

1.2 FBDCM模型

標準k-ε模型[4]的控制方程為：

其中：k，ε分別為湍動能和湍流耗散率，Pt為湍動能生成項。模型常數(shù)分別為：Cε1=1.44，Cε2=1.92，σε= 1.3，σk=1.0。湍流粘性系數(shù)μt定義為：

標準k-ε模型的主要問題在于，它是基于定常平均流動，粘性系數(shù)由湍動能和耗散率求解，這暗示著模型反饋的流場主要湍流尺度很大。Johansen[16]提出了基于標準k-ε模型的濾波器湍流模型（FBM），將湍流粘性系數(shù)修正為：

其中：fFBM為濾波函數(shù)，由濾波尺度（λ）和湍流特征尺度的比值大小決定。

考慮汽液混相的可壓縮特性對湍流粘性系數(shù)的影響，Coutier-Delgosha[17]提出了基于密度修正的湍流模型（DCM），將湍流系數(shù)修正為：

其中：fDCM為密度函數(shù)，根據(jù)相關文獻[17]，n取為10。

針對FBM模型和DCM模型在空化流動模擬應用中的特點，作者提出的FBDCM模型[9]對空化流場基于混合密度的分布進行分域，在不同區(qū)域采用不同的湍流粘性修正方式，形成一種基于混合密度分域的湍流模式，充分發(fā)揮FBM模型和DCM模型的優(yōu)勢，以捕捉湍流和空化之間的交互作用和動態(tài)行為。為了保證湍流粘性系數(shù)的光滑過渡，兩種湍流粘性系數(shù)通過下面分域函數(shù)進行橋接，將湍流系數(shù)修正為：

其中：C1、C2、C3和C4為模型參數(shù)，通過調節(jié)模型參數(shù)的取值，可影響混合模型（FBDCM）中FBM模型和DCM模型在混相介質中的過渡區(qū)間和作用區(qū)域。

1.3 幾何模型與網(wǎng)格

計算采用與實驗[18]一致的Clark-Y翼型空化流動條件，圖1給出計算區(qū)域及其邊界條件。為了較好地匹配翼型頭部形狀，翼型前端區(qū)域采用C型結構化網(wǎng)格劃分，并在翼型近壁區(qū)域進行了網(wǎng)格加密，如圖2所示。采用速度入口、平均靜壓出口邊界條件，流動邊界為無滑移固壁，數(shù)值模擬工況與實驗[18]一致，即σ=0.80，Re=7×105。具體計算細節(jié)參見文獻[9]。

圖1 計算區(qū)域與邊界條件設置示意圖Fig.1 Computational domain and boundary conditions

圖2 水翼周圍網(wǎng)格示意圖Fig.2 Computational grids around the hydrofoil

1.4 分析方法與評價指標

由（10）式可知，混合模型對于空化流場的調節(jié)作用對分域函數(shù)χ（ρm/ρl）中經(jīng)驗系數(shù)（C1、C2等）的取值存在較大的依賴性，目前還難以通過對實驗數(shù)據(jù)的?；瘉泶_定不同空化流場特征區(qū)域的過渡區(qū)間。本文利用基于方差的無量綱整體敏感度分析方法對模型進行評價，說明分域函數(shù)χ（ρm/ρl）中相關經(jīng)驗系數(shù)的擾動對空化流場及水動力特性預測精確度的影響。

基于代理模型的整體敏感度分析方法，其本質是將目標函數(shù)分解成自變量以及反映自變量間相互作用的函數(shù)，關鍵在于建立一個足夠精度的數(shù)學模型。采用一階交叉驗證方法對不同代理模型的近似精確度進行評價，選取PRESS（Predition error sum of squares）作為評價指標，其表達式如下：

其中：Ns為建立代理模型選取的點的個數(shù)，yi為xi點的數(shù)值計算結果，為利用除xi點外其他樣本點建立代理模型在xi點的擬合值。

敏感度指標定義如下：

其中：Vi表示單個自變量的偏方差，Viz表示多個自變量組合的偏方差，總方差V=ΣVi+Vij+…+V1…N。Si為局部敏感度，反映獨立自變量對結果的影響；為全局敏感度，綜合考慮了自變量的局部敏感度和其他自變量對其的相互作用。

2 FBDCM模型優(yōu)化結果與討論

2.1 FBDCM模型的參數(shù)分析

綜合考慮時空復雜度，將分域函數(shù)χ（ρm/ρl）中經(jīng)驗系數(shù)C1、C2、C3和C4作為模型評價的自變量。為實現(xiàn)分域函數(shù)χ（ρm/ρl）在混相介質區(qū)間內(nèi)的合理過渡，根據(jù)初步的試算分析確定自變量取值范圍如表1所示，代理模型的分析目標定義為云狀空化工況下，水翼的時均升力系數(shù)（CL）和阻力系數(shù)（f）實驗值與數(shù)值預測值之差，分別記為 CL_diff和 f_diff。

結合面心立方法（FCCD）和拉丁超立方法（LHS），在自變量空間內(nèi)共生成70個樣本點，然后對各樣本點進行數(shù)值實驗，根據(jù)數(shù)值實驗結果，在標準化的變量空間分別采用多項式響應面方法（PRS）、Kriging方法（KRG）、輻射神經(jīng)元網(wǎng)絡方法（RBNN）以及加權平均值近似方法（WAS）[19]建立目標函數(shù)與自變量之間的近似關系，即代理模型。表2給出了由不同代理模型擬合得到的PRESS指標分布情況。綜合四種模型擬合結果可以看出，WAS模型結果能獲得最小的誤差分布，擬合效果明顯優(yōu)于其它模型，PRS模型次之。因此，選擇WAS模型的擬合結果對目標變量做進一步分析。

表1 自變量取值范圍Tab.1 The range of the variables

表2 不同代理模型擬合誤差分布Tab.2 The error estimates for different surrogate models

利用WAS模型對繞Clark-Y翼型云狀空化流動的數(shù)值計算結果進行擬合，圖3反映了自變量對目標變量的敏感度分布情況。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，相同自變量對同一目標變量的局部敏感度與全局敏感度分布趨勢基本一致，但局部敏感度指標所占比重的具體數(shù)值明顯小于全局敏感度，說明自變量間的交互作用不容忽視。

圖4給出了自變量對目標變量的整體敏感度指標分布。在對目標變量CL_diff和f_diff的敏感度分析中，各自變量敏感程度分布趨勢基本一致，由大到小依次為C2、C3、C4和C1，不同目標變量的整體敏感度分析結果均說明模型預測精度主要受經(jīng)驗系數(shù)C2的影響，受經(jīng)驗系數(shù)C1的影響相對較小。

圖3 自變量對目標變量的敏感度分布圖Fig.3 The distribution of the Main Sensitivity and the Global Sensitivity

圖4 整體敏感度分析餅狀圖Fig.4 Pie-chart of the Global Sensitivity analysis

圖5 目標變量隨自變量C1、C2的變化趨勢圖Fig.5 The variation of the objectives with design variables

考慮到自變量間相互作用對敏感性分析結果的影響，通過目標變量的變化趨勢進一步分析其敏感程度。圖5給出了目標變量隨自變量C1、C2的變化情況。從圖5可以看出，目標變量CL_diff和f_diff沿Y軸方向隨C2的增加分別有減小和增大的趨勢，而沿X軸方向隨著C1的增大，變化趨勢不明顯，且目標變量f_diff的變化范圍較CL_diff大，說明目標變量CL_diff和f_diff均對C2的變化較敏感，且C2對f_diff的影響程度較對CL_diff的影響程度大，這與圖4所述敏感度分布情況一致。

2.2 FBDCM模型的參數(shù)優(yōu)化

為了更直觀地體現(xiàn)與自變量空間相對應的目標函數(shù)分布情況，在自變量空間中隨機生成均勻分布的104個點，WAS模型的擬合結果在目標空間的分布如圖6所示。圖中紅色區(qū)域為最優(yōu)解，即CL_diff和f_diff同時取最小值。由于設計變量與目標函數(shù)是一一對應的，因此由最優(yōu)解可縮小自變量的取值范圍，從而實現(xiàn)對設計空間的優(yōu)化。表3給出了自變量取值范圍的優(yōu)化結果。其中，空間優(yōu)化程度定義為優(yōu)化后取值范圍的減小值與優(yōu)化前取值范圍之比。不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過代理模型優(yōu)化后，設計空間大大縮小，從而減小了進一步分析的時空復雜度。

表3 自變量取值范圍優(yōu)化分析Tab.3 The optimization results of the design variables

由前述分析可知，在當前計算工況下，模型參數(shù)C2對模型預測精度的影響最大，其它參數(shù)在敏感度分析中僅起到參考作用，而非作為優(yōu)化參數(shù)。根據(jù)自變量的優(yōu)化分析結果，固定C1=4、C3=0.6和C4=0.2，圖7給出采用不同C2值（C2=0.1、0.2和0.3）條件下，混合模型分域函數(shù)χ（ρm/ρl）的分布圖。結合（9）、（10）式可知，通過改變分域函數(shù)χ（ρm/ρl）中經(jīng)驗系數(shù)C2的取值可以調節(jié)混合模型（FBDCM）中FBM模型和DCM模型的影響比重，即相同含汽量區(qū)域，當χ（ρm/ρl）較小時，對湍流粘性采用密度函數(shù)的修正方式（DCM），當χ（ρm/ρl）較大時，則采用空間濾波的修正方式（FBM）。

圖6 目標變量分布圖Fig.6 The distribution of the objectives

2.3 FBDCM模型的計算結果分析

在代理模型的優(yōu)化基礎上，對繞水翼的非定常云狀空化發(fā)展過程進行進一步模擬分析。圖8給出了應用不同C2取值的FBDCM模型計算所得空穴形態(tài)與實驗觀測結果的對比。由實驗結果觀察可知，附著空穴的發(fā)展經(jīng)過了透明狀空穴線性增長至最大長度和反向射流向水翼前緣發(fā)展兩個階段，當反向射流達到水翼前緣時，空穴突然斷裂，附著在翼型上的空穴長度驟減。由數(shù)值結果觀察可知，在空穴發(fā)展的前一階段，不同C2取值的數(shù)值計算結果都合理地預測了附著空穴的非定常變化，其中，C2=0.3時混合模型預測得到的空化區(qū)域相對較大，最大空穴長度也較長；在空穴發(fā)展的后一階段，C2=0.1和0.2時混合模型能捕捉到空泡的大尺度脫落現(xiàn)象，與實驗較為一致，而C2=0.3時混合模型過早地預測了空穴的斷裂和脫落過程。這是由于在云狀空化中，反向射流的產(chǎn)生和發(fā)展會直接導致空泡團的斷裂和脫落現(xiàn)象，在這部分區(qū)域內(nèi)，利用濾波尺度的湍流粘性修正方式應起到主導作用，而反向射流往往發(fā)生在含汽量較小的近壁水汽混相區(qū)域。結合圖7所示，當C2= 0.3時，相同含汽量區(qū)域分域函數(shù)χ（ρm/ρl）值較小，即混合模型（FBDCM）中FBM模型比重較小，因此低估了多尺度渦團脫落的湍流信息。

表4給出了不同C2取值條件下數(shù)值預測得到的水翼升力系數(shù)、升力特征頻率與實驗測量值的對比。對比發(fā)現(xiàn)，當C2=0.3時，模型預測的升力特征頻率偏大，當C2=0.1和0.2時，模型預測的結果基本一致。與圖8所示結論一致，C2=0.1和0.2時分域函數(shù)χ（ρm/ρl）值較C2=0.3時大，即在近壁混合密度較大的反向射流區(qū)域，主要采用濾波函數(shù)而非密度函數(shù)對湍流粘性進行修正，因此對大尺度渦團的流動捕捉更精確，由此預測得到的空泡團非定常發(fā)展情況及升力的變化情況與實驗結果更為接近。

圖7 不同C2取值的混合模型分域函數(shù)分布示意圖Fig.7 Distribution of hybrid function χ with different values of C2for the hybrid FBDCM model

圖8 不同C2取值的模型預測得到的空穴形態(tài)隨時間的變化過程Fig.8 Time evolution of cavity shape obtained from experiment and calculation

表4 不同湍流模型預測得到的水翼升力系數(shù)的時均值和特征頻率Tab.4 Comparisons of predicted and measured mean value of lift coefficient(Cl)and frequency f

為了進一步說明不同C2取值對空化流場結構預測精度的影響，提取圖9所示的一組特征截面，圖10給出了繞翼型的時均流場分布情況，并與實驗結果進行了對比。其中，橫坐標為相應特征截面上沿主流方向的時均速度分布，縱坐標為沿Y軸方向的位置，c為水翼弦長，Uref為參考速度。由圖觀察可知，在x/c=0.2與x/c=0.4位置處，不同C2取值的模型預測得到的時均速度變化趨勢基本一致，空穴外部的平均速度大小接近主流平均速度，空穴內(nèi)部速度值迅速減小，呈現(xiàn)出很強的剪切層結構；在x/ c=0.6與x/c=0.8位置處，不同C2取值的模型預測得到的時均速度分布均能有效地反映近壁區(qū)域的反向射流現(xiàn)象，速度剪切層區(qū)域較前一位置更為顯著，其中C2=0.1時模型預測得到的時均速度值小于C2= 0.2和0.3時的預測結果；在x/c=1.0與x/c=1.2的翼型尾部流場中，不同C2取值的模型預測得到的時均速度呈大幅變化趨勢，翼型尾端汽液兩相區(qū)的大規(guī)模非定常運動加強了空穴區(qū)域的動量交換，產(chǎn)生了空泡團的旋渦分離現(xiàn)象，從而對該區(qū)域內(nèi)的時均速度分布產(chǎn)生了較大的影響，其中C2=0.1和0.2時模型預測得到的反向射流區(qū)域時均速度明顯大于C2=0.3時的預測結果，與實驗結果更為接近，這是由于前者通過增大相同含汽量區(qū)域的分域函數(shù)χ（ρm/ρl）值，增大了混合模型中FBM模型的比重，采用濾波函數(shù)對湍流粘性進行修正，對水翼尾緣的湍流運動采用直接求解的方法，精確計算了大尺度渦團的流動，使得時均速度分布具有更好的空間分辨率。綜合以上分析，采用C2=0.2作為混合模型的分域函數(shù)χ（ρm/ρl）經(jīng)驗系數(shù)。

圖9 特征截面位置示意圖Fig.9 Profile location

圖10 不同C2取值的模型預測得到的流場時均速度分布與實驗結果的對比Fig.10 Time-average u-velocity of experimental and simulation results

3 結 論

本文針對繞Clark-Y翼型云狀空化流動進行的數(shù)值計算結果和實驗結果，應用代理模型分析及優(yōu)化方法對基于密度分域的混合湍流模型的參數(shù)取值進行了分析，評價了相關經(jīng)驗系數(shù)對空化流場及水動力特性預測精確度的影響。主要結論如下：

（1）混合模型對于空化流場的調節(jié)作用對分域函數(shù)χ（ρm/ρl）中經(jīng)驗系數(shù)的取值存在較大的依賴性，其預測精度主要受到經(jīng)驗系數(shù)C2的影響，且經(jīng)驗系數(shù)C2通過調節(jié)混合模型（FBDCM）中的FBM模型和DCM模型的影響比重，即對相同含汽量區(qū)域不同湍流粘性的修正方式影響模型的預測精度；

（2）C2=0.2時混合湍流模型（FBDCM）中的分域函數(shù)χ（ρm/ρl）值較C2=0.3時大，后者低估了云狀空化發(fā)展過程中多尺度渦團脫落的湍流信息，而前者在近壁混合密度較大的反向射流區(qū)域，主要采用濾波函數(shù)對湍流粘性進行修正，更精確地計算了大尺度渦團的流動，預測得到的空泡團非定常發(fā)展情況及升力的變化情況與實驗結果更為接近，時均速度分布具有更好的空間分辨率；

（3）通過代理模型優(yōu)化分析，確定混合模型分域函數(shù)χ（ρm/ρl）中經(jīng)驗系數(shù)的取值分別為C1=4、C2= 0.2、C3=0.6和C4=0.2。

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Parameter optimization and analysis of a Filter-Based Density Correction model

WU Qin,WANG Guo-yu,HUANG Biao
(School of Mechanical and Vehicular,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)

Turbulence model has great effect on the prediction precision of cavitating flows.A systematic investigation based on the surrogate modeling techniques is conducted to assess and improve the performance of a filter-based density correction model(FBDCM),which is suggested for the computations of unsteady cavitating flows.Based on the surrogate model,global sensitivity analysis is conducted to assess the role of model parameters.The results show that,the performance of the filter-based density correction model is affected more by model parameter C2,which is used to regulating the proportion of FBM model and DCM model based on local mixture density,so that it will help to limit the over-prediction of the turbulent eddy viscosity in the cavitating regions on the foil wall and in the wake.Based on the recommended model parameter values,better prediction of the cavitating flows can be attained.

Filter-Based Density Correction Model;surrogate model; global sensitivity;parameter optimization

O35

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2016.07.001

1007-7294（2016）07-0789-10

2016-01-08

國家自然科學基金項目資助（50979004）；國家重點自然科學基金項目資助（51239005）

吳 欽（1989-），女，博士研究生，E-mail：wuqin919@163.com；王國玉（1961-），男，教授，博士生導師。