靜壓下球形空腔吸聲覆蓋層的建模與性能分析

張 沖，何世平，易少強(qiáng)

（1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033；2.海軍航空兵學(xué)院91899部隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125001）

靜壓下球形空腔吸聲覆蓋層的建模與性能分析

張 沖1，2，何世平1，易少強(qiáng)1

（1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033；2.海軍航空兵學(xué)院91899部隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125001）

基于聲波垂直入射下的二維理論，利用COMSOL軟件建立球形空腔吸聲覆蓋層單元模型，得到了在空腔受壓變形基礎(chǔ)上直接進(jìn)行聲學(xué)性能計(jì)算的耦合模型，避免了以往根據(jù)變形量重新建模帶來的誤差，并與靜壓下穿孔率的理論公式進(jìn)行對比，驗(yàn)證了模型的有效性；利用所建模型分析了靜壓下球形空腔的吸聲性能，并比較了內(nèi)部氣壓對空腔變形和吸聲系數(shù)的影響。結(jié)果表明：隨著靜壓的增大，峰值上移頻帶展寬，更顯著的是吸聲效果總體變差；內(nèi)部氣壓使得空腔變形量減少、低頻吸聲效果有所提高。

吸聲覆蓋層；球形空腔；靜壓；內(nèi)部氣壓；吸聲性能；COMSOL

0 引 言

吸聲覆蓋層技術(shù)是水下減振降噪技術(shù)中繼低噪聲螺旋槳技術(shù)和浮筏技術(shù)以后的又一大技術(shù)進(jìn)步[1-2]，對其開展理論研究有助于更好地了解吸聲覆蓋層的聲學(xué)特性，對工程設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。目前對含空腔的吸聲覆蓋層的研究主要有解析方法、數(shù)值方法等[3-5]，這些研究大都是在常壓條件下進(jìn)行的，沒有考慮外部靜水壓力的影響。因此在理論計(jì)算和有限元仿真中，所得到的結(jié)果與實(shí)際測試結(jié)果存在很大差別。實(shí)際使用的吸聲覆蓋層是在幾百米深的水下工作的，其必然要受到靜水壓力的作用，聲學(xué)效果也會(huì)隨之發(fā)生改變。靜壓下吸聲覆蓋層吸聲性能發(fā)生改變的原因主要有兩個(gè)方面：一是材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能會(huì)隨著壓力而變化；二是吸聲覆蓋層受到靜水壓力時(shí)，空腔會(huì)發(fā)生形變。對于材料力學(xué)性能的研究，國內(nèi)外許多學(xué)者針對類橡膠的粘彈性材料進(jìn)行了很多測試和分析。呂林海[6]利用動(dòng)態(tài)黏彈譜儀對高分子聚合物力學(xué)性能的頻變特性進(jìn)行了測試，并基于得出的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)計(jì)算了圓柱形空腔吸聲覆蓋層的聲學(xué)性能；黃修長等[7]利用聲管測試的方法對材料的參數(shù)進(jìn)行了測試，分析了各參數(shù)對諧振型吸聲結(jié)構(gòu)的影響；鄒明松等[8]采用傳遞矩陣法建立了靜壓下吸聲覆蓋層的聲阻抗求解方法。而對于吸聲覆蓋層空腔變形的研究還處于起步階段，姜聞文等[9]利用ANSYS軟件對幾種橡膠結(jié)構(gòu)的吸聲覆蓋層在靜壓下的吸聲性能進(jìn)行了研究，比較了不同結(jié)構(gòu)的空腔對吸聲性能的影響；Panigrahi等[10]基于有限元法對不同組合空腔在靜壓下的聲學(xué)性能進(jìn)行了計(jì)算，并將結(jié)果與解析解、實(shí)驗(yàn)作了對比分析；陶猛[11]推導(dǎo)出了吸聲覆蓋層聲學(xué)特能的簡化計(jì)算方法，計(jì)算了不同靜壓下吸聲覆蓋層的聲學(xué)性能。

當(dāng)前的文獻(xiàn)研究都是基于有限元法，首先計(jì)算靜壓下吸聲覆蓋層單元的幾何變形，然后根據(jù)變形量重新建立規(guī)則形狀的吸聲覆蓋層單元模型。由于空腔在靜壓下的變形是無規(guī)則、無規(guī)律可循的，即使得到靜壓下的變形量，二次建模時(shí)也很難與實(shí)際的空腔變形相吻合，這對后續(xù)的聲學(xué)性能分析帶來一定的誤差；另一方面，關(guān)于靜壓下吸聲覆蓋層的所有研究都沒有考慮空腔內(nèi)部氣壓的影響。本文鑒于以上兩方面的不足，利用COMSOL軟件建立了球形空腔的固體力學(xué)和聲—固耦合模型，然后在空腔受壓發(fā)生形變的模型上直接劃分網(wǎng)格，計(jì)算不同壓力下吸聲覆蓋層的吸聲性能，避免了二次建模；并進(jìn)一步分析了靜壓下空腔內(nèi)部氣壓對吸聲性能的影響。

1 物理模型

1.1 有限元物理模型的建立

具有球形空腔周期性分布的吸聲覆蓋層結(jié)構(gòu)如圖1所示，在粘彈性體內(nèi)有成正三角形排列的相互平行的球形空腔。把整個(gè)吸聲覆蓋層看成是由各個(gè)以球形空腔為中心的正六棱柱體組成，由于結(jié)構(gòu)對稱、重復(fù)，只需要研究其中一個(gè)棱柱體中的波傳播即可。然而要建立一個(gè)六面棱柱體的理論模型，是一件相當(dāng)困難的事情。為了計(jì)算簡便，本文通過幾何轉(zhuǎn)換用圓柱體近似代替六棱柱體[12]，每個(gè)吸聲覆蓋層單元就可以簡化為一段有限長粘彈性圓柱管。吸聲覆蓋層中波的傳播與損耗問題可以模型化為粘彈性圓柱管中波的傳播與損耗，這為建立理論模型提供了極大的方便。

圖1 球形空腔周期性分布的吸聲覆蓋層結(jié)構(gòu)Fig.1 The structure of the absorbing layer of the periodic distribution of the spherical cavities

三維周期邊界條件下的有限元模型雖然能完整地仿真吸聲覆蓋層的聲學(xué)特性，但由于三維模型的體單元節(jié)點(diǎn)數(shù)過多會(huì)造成單次運(yùn)算效率較低，難以滿足多次迭代運(yùn)算需求?？紤]到吸聲覆蓋層單元具有軸對稱性，因此在建模時(shí)將體單元模型（三維周期邊界模型）簡化為面單元模型（二維軸對稱模型），如圖2所示。

圖2左側(cè)邊界處、上下兩端均超出有限元的虛線是模型的旋轉(zhuǎn)中心軸，有限元模型僅為完整單元的一個(gè)旋轉(zhuǎn)截面?；疑珔^(qū)域W、V分別代表入射端水介質(zhì)、橡膠覆蓋層基體，空白區(qū)域C代表球形空腔。吸聲覆蓋層模型的邊界1為固定邊界；三維模型的周期性邊界條件轉(zhuǎn)化為二維軸對稱模型的法向量位移為0的邊界（即邊界2、3）；邊界4、5、6為模型的軸對稱邊界；在有限元模型中通過設(shè)置聲—固耦合邊界（即邊界7）來處理水介質(zhì)—橡膠基體的耦合作用；通過設(shè)置吸收邊界9解決無限水介質(zhì)區(qū)域，即在W外端面法向方向添加平面波輻射條件，使有限厚度的有限元能代表無限厚的水介質(zhì)；邊界8為球形空腔的自由邊界。

聲波從上端面沿旋轉(zhuǎn)軸方向垂直入射模型單元，會(huì)產(chǎn)生聲波的反射、折射、輻射、吸收等作用。通過積分入射聲波、吸收聲波的能量可求得吸聲覆蓋層在聲波垂直入射條件下的吸聲特性。

圖2 吸聲覆蓋層的單元模型Fig.2 The unit cell of anechoic coatings model

1.2 模型的有效性驗(yàn)證

圓柱形空腔的吸聲覆蓋層有限元模型比較成熟，陶猛[13]、譚洪波等[14]已多次驗(yàn)證了其有效性，但對球形空腔單元受壓后直接計(jì)算其吸聲性能的模型還沒驗(yàn)證過其可行性。Gaunaurd[15]理論分析了受壓前后球形空腔吸聲覆蓋層的穿孔率與靜水壓力的關(guān)系，

式中：μ是材料的剪切模量，P代表靜水壓力，Φ代表穿孔率。

本文正是利用（1）式穿孔率的理論模型與COMSOL有限元模型作對比，以驗(yàn)證模型的可行性。在如圖2所示的模型中，穿孔率可以表示為

式中：Vc（P）、Vv分別表示靜壓P下球形空腔的體積、橡膠基體的體積。

要證明模型的有效性，只要驗(yàn)證（1）式、（2）式中的Φ是否相同即可。但在靜壓P下Vc（P）是變化的，要想計(jì)算Vc（P），必須借助于Stokes公式（3）將曲面積分轉(zhuǎn)化為曲線積分

在圖示的二維軸對稱模型中，主要是對空腔內(nèi)表面進(jìn)行曲線積分，

式中：Asphere代表球形空腔的曲線積分，z代表球形空腔內(nèi)表面每一點(diǎn)的z向坐標(biāo)，nz代表z坐標(biāo)的法向矢量，lsphere代表球形空腔的曲線。

得到空腔內(nèi)表面的曲線積分后，再通過COMSOL中的“計(jì)算旋轉(zhuǎn)幾何的積分”選項(xiàng)就可以將求得的Asphere轉(zhuǎn)化為球形空腔受壓后的體積，即Vc（P）。在計(jì)算時(shí)橡膠基體的泊松比在0.499左右，為幾乎不可壓縮材料，故Vv是定值。

在驗(yàn)證計(jì)算時(shí)，采用的橡膠材料的參數(shù)是隨頻率的改變而發(fā)生變化的，參數(shù)表達(dá)式根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到[16]，橡膠材料的楊氏模量（單位：Pa）、損耗因子和泊松比的表達(dá)式為：

由于橡膠的楊氏模量為復(fù)楊氏模量，只要知道復(fù)楊氏模量的實(shí)部E和虛部η就可以求得復(fù)楊氏模量，故可表示為：

以上各式中，f代表頻率，i代表虛數(shù)。

COMSOL有限元與解析公式通過計(jì)算得到的結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，有限元與解析解的穿孔率變化曲線吻合較好。至于在靜壓較大時(shí)，有限元結(jié)果與解析公式的穿孔率存在一定的差別，主要是由于解析公式在推導(dǎo)的過程中，假設(shè)計(jì)算單元中含有均勻分布的小氣泡，而且氣泡在受壓變形后仍是規(guī)則的球形，故理論推導(dǎo)的假設(shè)與空腔受壓后呈橢球形的實(shí)際變形存在誤差。

圖3 有限元與理論結(jié)果比較圖Fig.3 Comparison of FEM and theoretical results

2 不同壓力下吸聲覆蓋層的形變及吸聲性能

圖4 不同靜壓下單元形變及應(yīng)力圖Fig.4 Deformation and stress of unit under different hydrostatic pressure

與目前靜壓下吸聲覆蓋層有限元研究不同，本文在利用COMSOL建模時(shí)，選用“固體力學(xué)”、“聲—固耦合”和“移動(dòng)網(wǎng)格”三大模塊相結(jié)合，主要好處是單元模型在計(jì)算靜壓變形后，可以依靠“移動(dòng)網(wǎng)格”直接將計(jì)算的變形應(yīng)用于聲—固耦合計(jì)算中，不需要根據(jù)變形量二次建模，有效地提高了計(jì)算精度。如圖4所示為1 MPa、3 MPa和5 MPa下的靜壓變形，吸聲覆蓋層的聲學(xué)特性的計(jì)算就是在此變形基礎(chǔ)上直接進(jìn)行的。從圖中可以看出，吸聲覆蓋層隨著壓力的增大，球形空腔的形變量和覆蓋層厚度的壓縮量越大，且應(yīng)力能越大。

圖5 不同靜壓下的吸聲系數(shù)曲線Fig.5 Absorption coefficient curves under different hydrostatic pressure

圖5比較了吸聲覆蓋層在不同靜壓下的吸聲系數(shù)，可以看出，隨著靜壓的增大，吸聲系數(shù)總體呈下降趨勢，低頻吸聲性能變差，且峰值向高頻移動(dòng)，頻帶增寬100 Hz左右。從共振理論分析看，由于空腔體積和覆蓋層厚度被壓縮，等效阻抗失效，反射增強(qiáng)，使得共振峰上移頻帶展寬，而且低頻吸聲效果隨之下降。目前許多學(xué)者研究的圓柱形空腔，雖然表明在靜壓下吸聲峰值發(fā)生移動(dòng)，但在高頻段靜壓越大吸聲系數(shù)也越大[9]，即壓力大的吸聲系數(shù)曲線要穿透壓力小的曲線有上揚(yáng)的走向。而本文研究球形空腔卻發(fā)現(xiàn)，吸聲系數(shù)曲線隨著壓力的增大總體呈下降趨勢（如在5 MPa時(shí)，吸聲系數(shù)比常壓，即0 MPa時(shí)，總體下降高達(dá)近30%），這一點(diǎn)與先前學(xué)者研究的圓柱形空腔存在顯著的差異。

球形空腔與圓柱形空腔雖然結(jié)構(gòu)不同，但吸聲系數(shù)走向不會(huì)發(fā)生太大的不同，趨勢應(yīng)該一致[17]。所以COMSOL計(jì)算結(jié)果與其他學(xué)者研究的結(jié)論存在差別的主要原因是：由于單元模型在靜壓下的變形呈不規(guī)則橢球形（圖4所示），如若用計(jì)算的變形量重新建立模型，不可能與實(shí)際變形相對應(yīng)；本文在計(jì)算聲學(xué)特性時(shí)，單元采用的是受壓變形后的實(shí)際模型，避免了以往根據(jù)變形量重新建模的誤差，而這種不規(guī)則的形變造成了對聲波吸收能力的減弱、對聲波反射能力的增強(qiáng)，故計(jì)算的吸聲系數(shù)總體下降。同時(shí)，從工程設(shè)計(jì)方面表明，若僅僅要求常壓（即無靜壓作用）下設(shè)計(jì)的吸聲覆蓋層滿足工程需要，那么在水下使用時(shí)會(huì)達(dá)不到想要的吸聲效果，因?yàn)樵谒虏粌H吸聲頻帶發(fā)生變化，吸聲性能也會(huì)明顯地減弱。

3 靜壓下空腔內(nèi)部氣壓的影響

無論圓柱形空腔還是球形空腔，內(nèi)部不是真空，都是充滿空氣的。吸聲覆蓋層在靜壓作用下被壓縮，空腔體積會(huì)縮小，內(nèi)部氣體壓力會(huì)隨之增大。那么靜壓下，空腔內(nèi)部氣壓會(huì)對吸聲覆蓋層的形變和吸聲性能產(chǎn)生怎樣的影響，至今沒有相關(guān)文獻(xiàn)對此進(jìn)行過研究。本文在利用COMSOL有限元建模時(shí)，把內(nèi)部氣壓的作用考慮在內(nèi)，分析其對單元形變和吸聲系數(shù)的影響。

受壓前、后空腔內(nèi)氣體壓力存在如下關(guān)系：

式中：p0、p分別代表壓縮前、后空腔內(nèi)的壓強(qiáng)，ρ0、ρ分別代表壓縮前、后空腔內(nèi)空氣的密度，A0、A分別代表壓縮前后二維球形空腔的面積，γ代表氣體常數(shù)。其中，p0=0.1 MPa是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓力，γ=1.4。

隨著壓力的增加，就會(huì)有剩余的空氣壓力作用在空腔內(nèi)壁，對空腔形變產(chǎn)生一定的作用。由（5）式可知，剩余的空氣壓力為：

在COMSOL模型中，將△p作為邊界載荷加載在空腔內(nèi)壁上。圖6和圖7所示分別為有、無空氣壓力作用下，空腔體積的減少量相對于原空腔體積的變化率和靜壓為5 MPa時(shí)吸聲系數(shù)曲線。

圖6 相對體積變化率Fig.6 Relative volume change rate curves

圖7 吸聲系數(shù)曲線比較圖Fig.7 The comparison of absorption coefficient curves

通過相對體積比較圖可以看出，在空腔內(nèi)部，有空氣壓力的變形量要比無空氣壓力的變形量小，原因是空腔受到靜壓壓縮時(shí)，內(nèi)部氣體會(huì)給空腔壁沿著法向向外作用的支撐力，以阻礙空腔的壓縮變形。通過吸聲系數(shù)比較圖可以看出，在低頻段（1 600 Hz以下頻段），有空氣壓力的吸聲系數(shù)要大于無空氣壓力的吸聲系數(shù)，高頻段正好相反。這是因?yàn)闊o空氣壓力的孔腔被壓縮量大，吸聲覆蓋層基體上部的等效阻抗不再是漸變的，與水阻抗失配的增加，使得反射更加增強(qiáng)，孔腔的固有頻率也會(huì)隨之升高，低頻吸聲效果故而比有空氣壓力的要差，高頻反而要強(qiáng)[18]。

4 結(jié) 語

本文基于聲波垂直入射條件下吸聲覆蓋層的解析理論，利用COMSOL有限元軟件建立靜水壓力下球形空腔模型，將計(jì)算的穿孔率與現(xiàn)有解析公式進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了模型的有效性，然后計(jì)算了不同靜壓下模型單元的變形量，并在單元形變的基礎(chǔ)上采用移動(dòng)網(wǎng)格模塊直接計(jì)算聲—固耦合的吸聲系數(shù)，最后討論了空腔內(nèi)部氣壓對空腔形變和吸聲性能的影響。結(jié)果表明：利用移動(dòng)網(wǎng)格直接在單元形變基礎(chǔ)上計(jì)算吸聲系數(shù)時(shí)，峰值向高頻移動(dòng)，頻帶變寬，而且與其他學(xué)者根據(jù)變形量二次建模得到的結(jié)果相比，吸聲效果隨著靜壓的增大整體呈下降趨勢；內(nèi)部氣壓的作用可以使得空腔變形量減小，低頻吸聲性能有所提升。

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Model and absorption performance of anechoic coating embedding sphere cavities

ZHANG Chong1,2,HE Shi-ping1,YI Shao-qiang1
(1.College of Power Engineering,Naval Univ.of Engineering,Wuhan 430033,China; 2.Unit No.91899,Naval Air Force Academy,Huludao 125001,China)

Based on the 2D theory of sound wave normally impinging on the absorption layer,the acousticsolid interaction model of anechoic coating which contains sphere cavities was made by COMSOL software and the model can calculate absorption coefficient directly instead of remodeling according to the volume of deformation under hydrostatic pressure.Perforation rate was compared between COMSOL and analytical solution in order to prove the validity of the model.The absorption property and influence of the internal air pressure were analysed based on the interaction model.The results indicate that with increasing of hydrostatic pressure the peak frequency is towards to the high frequency and becomes wider,the more difference is that effect of sound absorption becomes worse;internal air pressure makes the deformation of the cavity decrease and absorption coefficient in low frequency increase.

anechoic coating;sphere cavity;hydrostatic pressure;internal air pressure; absorption property;COMSOL

TB564

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2016.07.014

1007-7294（2016）07-0909-08

2016-03-19

國家自然科學(xué)基金（11374369）

張 沖（1987-），男，碩士生，E-mail：chzhang0101@foxmail.com；何世平（1972-），男，副教授，碩士生導(dǎo)師。